Sysop: + Aktualizace

2024-04-14T17:22:16Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 14. 4. 2024, 17:22
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Úplný svaz\|~~700}}~~	+	'''Úplný svaz''' je [[Matematika\|matematický]] pojem z oboru [[teorie uspořádání]], který vymezuje mezi [[uspořádaná množina\|uspořádanými množinami]] ty, které jsou uspořádány „rozumně“ (to znamená, že zachovávají [[Supremum\|suprema]] a [[Infimum\|infima]]).

		+	Na rozdíl od [[Svaz (matematika)\|svazu]], kde je zachování suprem a infim požadováno pro dvouprvkové podmnožiny, pro úplný svaz je toto požadováno pro libovolné (tedy i nekonečné) podmnožiny.
		+
		+	== Definice ==
		+	Množinu <big>\( X \,\! \)</big> uspořádanou [[Binární relace\|relací]] <big>\( R \,\! \)</big> nazveme úplným svazem, pokud pro každou svou [[Podmnožina\|podmnožinu]] obsahuje i její supremum a infimum.<br />
		+	<big>\( ( \forall Y \subseteq X) (\exists i,s \in X) ( i = \inf\nolimits_R(Y) \land s = \sup\nolimits_R(Y) ) \,\! \)</big>
		+
		+	== Příklady a vlastnosti ==
		+	Už z názvu je vidět, že každý úplný svaz je zároveň [[Svaz (matematika)\|svaz]]. (Pokud obsahuje supremum a infimum pro každou podmnožinu, pak je obsahuje určitě i pro dvouprvkové podmnožiny – a to je přesně to, o co jde v definici svazu).
		+
		+	Je proto přirozené hledat příklady úplného svazu mezi svazy a ptát se, které z nich jsou úplné.
		+
		+	=== Úplný svaz potenční algebry ===
		+	[[Potenční algebra]] (tj. množina všech podmnožin nějaké množiny s uspořádáním relací „být podmnožinou“) je úplný svaz, protože sjednocení je v tomto případě supremem a průnik infimem.<br />
		+	Pokud je tedy <big>\( X = \mathbb{P}(X_0) \,\!\)</big> [[potenční množina]] a <big>\( Y \subseteq X \,\! \)</big> je nějakou množinou podmnožin <big>\( X_0 \,\!\)</big>
		+	* <big>\( inf_{\subseteq}(Y) = \bigcap Y \,\! \)</big>
		+	* <big>\( sup_{\subseteq}(Y) = \bigcup Y \,\! \)</big>
		+
		+	=== Svazy, které nejsou úplné ===
		+	Úplný svaz musí mít [[největší prvek]] a [[nejmenší prvek]] – musí totiž obsahovat supremum a infimum sebe sama (tj. celé množiny <big>\( X \,\! \)</big>).
		+
		+	Z toho vyplvývá, že například [[Přirozené číslo\|přirozená čísla]] nebo [[Reálné číslo\|reálná čísla]] při běžném uspořádání podle velikosti nemohou být úplný svaz (nemají totiž největší prvek) – jedná se o dva příklady [[Svaz (matematika)\|svazu]], který není úplným svazem.
		+
		+	=== Zúplnění svazu reálných čísel ===
		+	O reálných číslech <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> víme, že se jedná o svaz, navíc jejich [[Omezená množina\|omezené množiny]] mají supremum a infimum. Pokud by se podařilo nějak přidělit supremum a infimum i neomezeným množinám reálných čísel, získali bychom úplný svaz.
		+
		+	Uvažujme o [[Množina\|množině]], která vznikne z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> jejich rozšířením o dva prvky: <big>\( +\infty \,\! \)</big> je větší, než všechny čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> a <big>\( -\infty \,\! \)</big> je menší, než všechna čísla z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>. (Díky [[Tranzitivní relace\|tranzitivitě]] uspořádání platí také, že <big>\( -\infty < +\infty \,\! \)</big> ).
		+
		+	Získali jsme množinu <big>\( \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \} \,\! \)</big>, která již je úplný svaz:
		+	* omezené množiny z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> mají supremum a infimum v <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big>
		+	* zdola neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big>
		+	* shora neomezená množina z <big>\( \mathbb{R} \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big>
		+	* množina obsahující <big>\( -\infty \,\! \)</big> má infimum <big>\( -\infty \,\! \)</big>
		+	* množina obsahující <big>\( +\infty \,\! \)</big> má supremum <big>\( +\infty \,\! \)</big>
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Svaz (matematika)\|Svaz]]
		+	* [[Potenční algebra]]
		+	* [[Reálné číslo\|Reálná čísla]]
		+	* [[Dedekindův řez]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Algebraické struktury]]		[[Kategorie:Algebraické struktury]]
	[[Kategorie:Teorie uspořádání]]		[[Kategorie:Teorie uspořádání]]

Sysop: 1 revizi

2013-06-06T07:40:28Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 6. 6. 2013, 07:40

Sysop: 1 revizi

2012-10-23T08:20:31Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Úplný svaz|700}}

[[Kategorie:Algebraické struktury]]
[[Kategorie:Teorie uspořádání]]

Úplný svaz - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi