Sysop: + NEW

2025-01-10T10:50:04Z

+ NEW

Nová stránka

[[Soubor:Boldog Számok.jpg|thumb|240px|Graf šťastných čísel menších než 200]]
'''Šťastné číslo''' ({{Vjazyce2|en|''happy number''}}) je v [[matematika|matematice]] [[definice|definováno]] následujícím způsobem: vezme se libovolné [[Kladné a záporné číslo|kladné]] [[celé číslo]], nahradí se součtem [[Druhá mocnina|druhých mocnin]] svých [[číslice|číslic]] a tento proces se opakuje, dokud se nedojde k číslu jedna (kde se proces zastaví) nebo dokud se v [[posloupnost]]i neobjeví některé číslo dvakrát (posloupnost se zacyklí). Ta čísla, která tímto způsobem skončí jedničkou, se nazývají '''šťastná''', ostatní pak '''nešťastná'''.

Formálněji řečeno: mějme číslo <big>\(n=n_0\)</big> a definujme posloupnost <big>\(n_1\)</big>, <big>\(n_2\)</big>, ... kde <big>\(n_{i+1}\)</big> je součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla <big>\(n_i\)</big>. Poté <big>\(n\)</big> je ''šťastné'' právě tehdy, když existuje ''i'' takové, že <big>\(n_i = 1\)</big>.

Pokud je nějaké číslo ''šťastné'', pak také všechny členy jemu příslušné posloupnosti jsou také ''šťastnými'' čísly.

== Příklad ==
Například 7 je šťastné číslo a přísluší mu tato posloupnost:

:72 = 49
:42 + 92 = 97
:92 + 72 = 130
:12 + 32 + 02 = 10
:12 + 02 = 1

číslo 1663 je také šťastné číslo:

:12 + 62 + 62 + 32 = 82
:82 + 22 = 68
:62 + 82 = 100
:12 + 02 + 02 = 1

i číslo 13, obecně pokládané za nešťastné (například [[Triskaidekafobie|triskaidekafobiky]]), je dle této definice šťastné číslo:

:12 + 32 = 10
:12 + 02 = 1

== Chování posloupnosti ==
Když <big>\(n\)</big> ''není šťastné'', pak se jeho posloupnost nedostane k 1. Namísto toho se zacyklí (například pro číslo 4):
:4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, ...
Pokud <big>\(n\)</big> má <big>\(m\)</big> číslic, poté součet druhých mocnin jimi vyjádřených čísel může být nejvýše <big>\(81m\)</big> (to nastane, pokud jsou všechny číslice devítky). 
Pro <big>\(m=4\)</big> a více je
:<big>\(n\geq10^{m-1}>81m\)</big>
tedy každé číslo větší než 1000 se definovaným postupem zmenšuje. V číslech menších než 1000 je číslo, jehož součet druhých mocnin jeho cifer je největší, 999, které dá výsledek 3 krát 81, což je 243.
* V rozmezí 100 až 243 největší hodnotu, a to 163, dává číslo 199.
* V rozmezí 100 až 163 největší hodnotu, a to 107, dává číslo 159.
* V rozmezí 100 až 107 největší hodnotu, a to 50, dává číslo 107.
U čísel v intervalech [244,999], [164,243], [108,163] a [100,107] je vidět, že každé číslo větší než 99 se tímto procesem rychle zmenšuje. Tedy bez ohledu na to, s kterým číslem se začne, nakonec vznikne číslo menší než 100. Každé číslo z intervalu [1,99] je buď šťastné nebo se zacyklí.

== Šťastná prvočísla ==
''Šťastné prvočíslo'' je takové ''šťastné'' číslo, které je zároveň [[prvočíslo|prvočíslem]]. ''Šťastná prvočísla'' menší než 500 jsou:
:7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 ([http://oeis.org/A035497 Sekvence A035497] v [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS]]).

Všechna čísla, a tedy i všechna prvočísla tvaru <big>\(10^n + 3\)</big> a <big>\(10^n + 9\)</big> pro ''n'' větší než 0 jsou šťastná. Je tomu tak proto, že:
* Všechna tato čísla mají nejméně 2 číslice.
* První číslicí je vždy ''1''.
* Poslední číslicí je vždy ''3'' nebo ''9''.
* Všechny další číslice jsou ''0 ''(jejich druhá mocnina je taktéž ''0'', a tedy součet nijak neovlivní).
** Posloupnost při přidání 3 je: 12 + 32 = 10 → 12 = 1
** Posloupnost při přidání 9 je: 12 + 92 = 82 → 64 + 4 = 68 → 100 → 1

[[Palindromické číslo|Palindromické]] prvočíslo 10150006 + 7426247×1075000 + 1, které má 150007 číslic, je taktéž šťastné číslo, neboť obsahuje mnoho nul, které součet neovlivňují a zbylá čísla dávají <big>\(1^2 + 7^2+4^2+2^2+6^2+2^2+4^2+7^2 + 1^2 = 176\)</big>, což je šťastné číslo.

Toto prvočíslo bylo objeveno Paulem Joblingem v roce [[2005]].

== Šťastná čísla v jiné než desítkové soustavě ==
Definice šťastných čísel je závislá na [[Desítková soustava|desítkové soustavě]]. Tuto definici lze rozšířit na ostatní [[číselná soustava|číselné soustavy]].

K vyznačení čísel v jiných soustavách je možné používat číslo v pravém dolním indexu, které představuje zvolenou soustavu. Například <big>\(100_2\)</big> představuje číslo 4 ve [[dvojková soustava|dvojkové soustavě]].
V každé číselné soustavě existují ''šťastná'' čísla. Například čísla
:<big>\(1_b,10_b,100_b,1000_b,...\)</big>
jsou ''šťastná'' pro jakoukoliv číselnou soustavu <big>\(b\)</big>.

Ze stejného důvodu jako výše se lze přesvědčit, že každé ''nešťastné'' číslo v číselné soustavě <big>\(b\)</big> vede k zacyklení v číslech menších než <big>\(1000_b\)</big>. Využije se to, že když <big>\(n < 1000_b\)</big>, pak součet druhých mocnin čísel vyjádřených číslicemi čísla <big>\(n\)</big> v soustavě <big>\(b\)</big> je menší nebo roven
:<big>\(3(b-1)^2\)</big>.
Lze dokázat, že tento výraz je vždy menší než <big>\(b^3 = 1000_b\)</big>. Z toho lze usoudit, že jakmile se posloupnost dostane do čísla menšího než <big>\(1000_b\)</big>, zůstane v tomto rozmezí, a musí se tedy zacyklit (neboť čísel menších než <big>\(1000_b\)</big> je jen konečně mnoho) či se dostat na 1.

Ve [[dvojková soustava|dvojkové soustavě]] jsou všechna čísla šťastná. Všechna čísla ve dvojkové soustavě menší než 10002 jsou totiž šťastná:
:<big>\( 111_2 \rightarrow 11_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)</big>
:<big>\( 110_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)</big>
:<big>\( 101_2 \rightarrow 10_2 \rightarrow 1 \)</big>
:<big>\( 100_2 \rightarrow 1. \)</big>

[[Dvojková soustava]] je tedy '''šťastná číselná soustava'''. Další takovou soustavou je soustava čtyřková.

== Externí odkazy ==
* Šťastné číslo v encyklopedii [[MathWorld]] [http://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html Happy Number -- from Wolfram MathWorld (anglicky)]
* [http://oeis.org/A007770 OEIS – A007770 (Happy numbers, anglicky)]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Přirozená čísla]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]
[[Kategorie:Rekreační matematika]]

Šťastné číslo - Historie editací

Sysop: + NEW