Sysop: + Aktualizace

2025-04-20T08:48:47Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 20. 4. 2025, 08:48
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-cs\|~~Analýza hlavních komponent~~\|~~700~~}}	+	'''Analýza hlavních komponent''' (''{{Cizojazyčně\|en\|Principal Component Analysis}}'', '''PCA''') je v [[teorie signálu\|teorii signálu]] [[transformace]] sloužící k dekorelaci [[data\|dat]]. Často se používá ke [[snížení dimenze]] dat s co nejmenší ztrátou [[informace]].<ref>{{Citace elektronického periodika
		+	\| titul = Martin Sebera - FSpS MU - Vícerozměrné statistické metody
		+	\| periodikum = www.fsps.muni.cz
		+	\| url = https://www.fsps.muni.cz/~sebera/vicerozmerna_statistika/pca.html
		+	\| datum přístupu = 2022-01-17
		+	\| url archivu = https://web.archive.org/web/20220302060409/https://www.fsps.muni.cz/~sebera/vicerozmerna_statistika/pca.html
		+	\| datum archivace = 2022-03-02
		+	}}</ref> PCA je možno najít také jako Karhunen-Loèveho transformaci, Hotellingovu transformaci, nebo jako [[singulární rozklad]] (SVD; v [[Lineární algebra\|lineární algebře]]).

		+	Z následujícího vzorce je vidět, že PCA je jen přepsáním vstupu do jiné [[souřadná soustava\|souřadné soustavy]]:
		+
		+	<big>\(Y = X P\)</big>
		+
		+	kde ''X'' je centrovaná matice ''n'' ''x'' ''d'' se vstupními ''d''-rozměrnými daty v ''n'' řádcích, ''Y'' obdobná matice výstupních dat,
		+	''P'' je ''d'' ''x'' ''d'' matice [[vlastní vektor\|vlastních vektorů]] [[kovariance\|kovarianční matice]] <big>\(C_X\)</big> splňující vztah <big>\(C_X = P \Lambda P^T\)</big>, kde <big>\(\Lambda\)</big> je [[diagonální matice]] obsahující na diagonále vlastní čísla <big>\(C_X\)</big> a matice vlastních vektorů <big>\(P\)</big> je ortonormální, tj. <big>\(P^T P = I_d\)</big>, kde
		+	<big>\(I_d\)</big> je [[jednotková matice]] dimenze <big>\(d\)</big>.
		+
		+	Vlastní vektory (sloupce matice ''P'') tvoří onu novou souřadnou soustavu.
		+	Centrování matice ''X'' dosáhneme odečtením příslušného [[Výběrový průměr\|výběrového průměru]] od každého sloupce.
		+	{{RIGHTTOC}}
		+	== Odvození ==
		+	Matice ''Y'' je zřejmě také centrovaná, tj. [[aritmetický průměr]] každého jejího sloupce je 0.<ref>{{Citace elektronického periodika \|titul=Archivovaná kopie \|url=https://k101.unob.cz/~neubauer/pdf/ekon_PCA.pdf \|datum přístupu=2022-01-17 \|url archivu=https://web.archive.org/web/20220118182931/https://k101.unob.cz/~neubauer/pdf/ekon_PCA.pdf \|datum archivace=2022-01-18 }}</ref>
		+
		+	Spočítáme, jak musí vypadat kovarianční matice nových dat ''Y'':
		+
		+	<big>\(C_Y = E(Y^T Y) = E[(X P)^T (XP)] = E (P^T X^T X P) = P^T E(X^T X) P = P^T C_X P = P^T P \Lambda P^T P = \Lambda.\)</big>
		+
		+	Vzhledem k tomu, že matice <big>\(\Lambda\)</big> je diagonální,
		+
		+	<big>\(C_Y = \Lambda = \left ( \begin{matrix} \lambda_1 & & \\ & \ddots & \\ & & \lambda_d \\ \end{matrix}\right ), \)</big>
		+
		+	vidíme, že sloupce matice ''Y'' jsou nekorelované a výběrový rozptyl každého sloupce se rovná příslušnému vlastnímu číslu.
		+
		+	== Použití ==
		+	Seřadíme-li vlastní vektory v P podle velikosti vlastních čísel <big>\(\lambda_i\)</big>, budeme
		+	dostávat složky v ''Y'' setříděné podle rozptylu. Pokud chceme snížit dimenzi dat,
		+	stačí z ''Y'' vzít jen tolik prvních složek kolik uznáme za vhodné. Vybírání
		+	komponenty s největším rozptylem nemusí být vždy nejlepší. Například pokud
		+	máme rozpoznávat třídy, které se liší právě ve složkách s malým rozptylem, které
		+	tímto postupem zahodíme.
		+
		+	=== Rozpoznávání ===
		+	V [[rozpoznávání]] slouží PCA jako jedna z tzv. ''Feature Extraction metod'' ([[extrakce rysů]]).
		+	Používají ji například kriminalisté pro rozpoznávání obličejů.
		+
		+	=== Komprese ===
		+	Jednoduchá komprese barevného nebo multispektrálního obrazu. Využívá vysoké [[korelace]] mezi jednotlivými spektrálními kanály a převede
		+	obrázek pomocí PCA na jednu nebo několik málo složek s většinou informace.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[singulární rozklad]]<ref>{{Citace elektronického periodika
		+	\| titul = dimensionality reduction - Relationship between SVD and PCA. How to use SVD to perform PCA?
		+	\| periodikum = Cross Validated
		+	\| url = https://stats.stackexchange.com/questions/134282/relationship-between-svd-and-pca-how-to-use-svd-to-perform-pca
		+	\| datum přístupu = 2022-01-17
		+	}}</ref>
		+	* [[samoorganizující síť]]
		+
		+	== Reference ==
		+	<references />
		+	== Externí odkazy ==
		+	* http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf — jednoduché vysvětlení PCA spolu s matematickým základem
		+	* https://web.archive.org/web/20040809034742/http://robotics.eecs.berkeley.edu/~rvidal/cvpr03-gpca-final.pdf — vysvětlení pokročilejší zobecněné PCA
		+	* [https://web.archive.org/web/20070318013042/http://www.reindeergraphics.com/foveapro/pca.shtml Příklady využití analýzy hlavních komponent na zřetelnější zobrazení struktur u grafických souborů] (anglicky)
		+
		+
		+	{{Commonscat\|Principal component analysis}}{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Statistika]]		[[Kategorie:Statistika]]
	[[Kategorie:Strojové učení]]		[[Kategorie:Strojové učení]]
	[[Kategorie:Zpracování obrazu]]		[[Kategorie:Zpracování obrazu]]

Sysop: 1 revizi

2014-01-02T14:33:27Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 2. 1. 2014, 14:33

Sysop: 1 revizi

2012-10-23T11:24:44Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Analýza hlavních komponent|700}}

[[Kategorie:Statistika]]
[[Kategorie:Strojové učení]]
[[Kategorie:Zpracování obrazu]]

Analýza hlavních komponent - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi