http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?action=history&feed=atom&title=Banach%C5%AFv_prostorBanachův prostor - Historie editací2026-08-19T14:53:08ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.16.5http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?title=Banach%C5%AFv_prostor&diff=2398932&oldid=prevSysop: + NEW2022-08-29T19:09:33Z<p>+ NEW</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>'''Banachovy prostory''' jsou [[normovaný lineární prostor|normované lineární prostory]], které jsou navíc [[Úplný metrický prostor|úplné]]. Jsou to jedny z ústředních objektů zkoumání [[funkcionální analýza|funkcionální analýzy]]. <br />
<br />
Jsou pojmenovány podle Stefana Banacha (* březen 1892, † srpen 1945), který je studoval.<br />
<br />
== Definice ==<br />
'''Banachovým prostorem''' rozumíme úplný normovaný lineární prostor. To znamená, že Banachův prostor je [[vektorový prostor]] <big>\(V\)</big> nad [[Těleso (algebra)|tělesem]] [[Reálné číslo|reálných]] nebo [[Komplexní číslo|komplexních]] čísel s [[Norma (matematika)|normou]] <big>\(\|\cdot\|\)</big>, ve kterém má každá&nbsp;[[cauchyovská posloupnost]] v indukované [[Metrika|metrice]] <big>\(d(x,y) = \|x - y\|\)</big> [[limita|limitu]].<br />
<br />
== Příklady ==<br />
* Prostory <big>\(\mathbb{R}^n\)</big> a <big>\(\mathbb{C}^n\)</big> (všechny ''n''-tice reálných či komplexních čísel) jsou Banachovy v libovolné normě. Opatříme-li prostory <big>\(\mathbb{R}^n\)</big> a <big>\(\mathbb{C}^n\)</big> [[eukleidovská norma|eukleidovskou normou]]<br />
<br />
::<big>\(\|x\| := \sqrt{|x_1|^2+\cdots+|x_n|^2}\)</big>,<br />
<br />
:pro <big>\(x = (x_1, \ldots ,x_n)\)</big>, budou dokonce [[Hilbertův prostor|Hilbertovy]].<br />
<br />
* Prostor všech [[spojitá funkce|spojitých funkcí]] <big>\(f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}\)</big> opatřený normou<br />
<br />
::<big>\(\|f\|_\infty := \max_{t \in [a,b]} |f(t)|\)</big><br />
<br />
:je Banachův.<br />
* Vybavíme-li předchozí prostor normou<br />
::<big>\(\|f\|_1 :=\int_a^b |f(t)|dt\)</big> nebo <big>\(\|f\|_2 :=\sqrt{\int_a^b |f(t)|^2dt}\)</big>,<br />
:Banachův již nebude.<br />
<br />
* Jestliže ''X'' je normovaný lineární prostor a ''Y'' je Banachův prostor, potom prostor všech omezených lineárních operátorů z ''X'' do ''Y'' s normou<br />
::<big>\(\|A\| := \sup\{\|Ax\|: x\in X, \|x\|\leq 1\}\)</big><br />
:je Banachův prostor. Speciálně [[duální prostor]] ''X*'' k prostoru ''X'' je vždy Banachův, neboť v takovém případě <big>\(Y=\mathbb{C}\)</big>.<br />
<br />
== Související články ==<br />
* [[Hilbertův prostor]]<br />
* [[Lebesgueovy prostory]]<br />
<br />
== Externí odkazy ==<br />
<br />
{{Commonscat|Banach spaces}}{{Článek z Wikipedie}}<br />
[[Kategorie:Funkcionální analýza]]</div>Sysop