Sysop: + Aktualizace

2025-04-29T08:57:01Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 29. 4. 2025, 08:57
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs~~\|Cauchyho-Riemannovy podmínky\|~~700}}~~	+	V [[matematika\|matematice]], konkrétně v [[komplexní analýza\|komplexní analýze]], jsou '''Cauchyho-Riemannovy podmínky''' nutnou (ne však postačující) podmínkou, aby daná funkce byla [[holomorfní funkce\|holomorfní]] (tedy komplexně diferencovatelná). Postačující podmínkou je např. pokud mají [[Funkce (matematika)\|funkce]] ''u'',''v'' spojité [[parciální derivace]]. Jde o [[parciální diferenciální rovnice]] pojmenované po [[Augustin Louis Cauchy\|Augustinu Cauchym]] a [[Bernhard Riemann\|Bernhardu Riemannovi]]. Poprvé se tyto rovnice objevily roku 1752 v práci D'Alemberta.

		+	== Cauchyova-Riemannova věta ==
		+	Následující tvrzení, které charakterizuje [[holomorfní funkce]] pomocí Cauchyových-Riemannových podmínek, bývá označováno jako '''Cauchyova-Riemannova věta'''.
		+
		+	Buď ''f''(''x'' + ''iy'') = ''u'' + ''iv'' [[funkce (matematika)\|funkce]] z [[otevřená množina\|otevřené podmnožiny]] [[komplexní číslo\|komplexních čísel]] '''C''' do '''C''', kde ''x'' a ''y'' jsou [[reálné číslo\|reálná čísla]] a ''u'', ''v'' jsou reálné funkce definované na otevřené podmnožině '''R'''<sup>2</sup>. Potom ''f'' je holomorfní právě když ''u'' a ''v'' jsou spojitě diferencovatelné a jejich parciální derivace splňují Cauchyho-Riemannovy podmínky:
		+
		+	:'''<big>\({ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over \partial y}\)</big>'''
		+
		+	a
		+
		+	:'''<big>\({ \partial u \over \partial y } = -{ \partial v \over \partial x}.\)</big>'''
		+
		+	=== Kompaktní formulace ===
		+	Tyto dvě podmínky lze ekvivalentně vyjádřit pomocí jediného vztahu:
		+
		+	:'''<big>\({ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over \partial y } . \)</big>'''
		+
		+	=== Formulace v polárních souřadnicích ===
		+	Je-li komplexní číslo zapsáno v polárních souřadnicích: '''<big>\(z=re^{i\theta}\)</big>''', lze zapsat Cauchyho-Riemannovy podmínky ve tvaru:
		+	:'''<big>\({ \partial u \over \partial r } = {1 \over r}{ \partial v \over \partial \theta},\)</big>'''
		+
		+	:'''<big>\({ \partial v \over \partial r } = -{1 \over r}{ \partial u \over \partial \theta}.\)</big>'''
		+
		+	=== Kompaktní formulace v polárních souřadnicích ===
		+	Opět lze tyto dvě rovnice zapsat pomocí jediné:
		+
		+	:'''<big>\({\partial f \over \partial r} = {1 \over i r}{\partial f \over \partial \theta},\)</big>'''
		+
		+	kde derivace uvažujeme v bodě <big>\(re^{i\theta}\)</big>.
		+
		+	== Odvození ==
		+	=== Jako derivace funkce dvou proměnných ===
		+	První možností jak vést důkaz je říci, že má-li funkce parciální derivaci jako funkce dvou proměnných, potom musí mít stejnou hodnotu podél všech křivek procházejících daným bodem. Máme-li funkci ''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'', ''y'') nad '''C''', a počítáme-li derivaci v bodě, ''z''<sub>0</sub>, přibližujeme se k ''z''<sub>0</sub> nejprve po křivce podél reálné osy a poté podél imaginární osy. Obě hodnoty derivací musí vyjít stejné.
		+
		+	Podél reálné osy:
		+
		+	:{\|
		+	\|-
		+	\|'''<big>\(f'(z)\,\)</big>'''
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+h)-f(z) \over h}\)</big>'''</big>
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x+h,y)+iv(x+h,y)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over h}\)</big>'''</big>
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{[u(x+h,y)-u(x,y)]+i[v(x+h,y)-v(x,y)]\over h}\)</big>'''</big>
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+i\frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}\right]},\)</big>'''
		+	\|}
		+	což je z definice [[parciální derivace]] rovno
		+
		+	:<big><big>\(f'(z)={\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x}.\)</big></big>
		+
		+	Podél imaginární osy:
		+
		+	:{\|
		+	\|-
		+	\|'''<big>\(f'(z)\,\)</big>'''
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0} {f(z+ih)-f(z) \over ih}\)</big>'''
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{u(x,y+h)+iv(x,y+h)-[u(x,y)+iv(x,y)]\over ih}\)</big>'''
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{ih} +i\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{ih}\right]}\)</big>'''
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}+\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}\right]}\)</big>'''
		+	\|-
		+	\|
		+	\|'''<big>\(=\lim_{h\rightarrow 0}{\left[\frac{v(x,y+h)-v(x,y)}{h}-i\frac{u(x,y+h)-u(x,y)}{h}\right]}.\)</big>'''
		+	\|}
		+	tedy opět z definice parciální derivace:
		+
		+	:'''<big>\(f'(z)={\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)</big>'''
		+
		+	Porovnáním těchto dvou výsledků
		+
		+	:'''<big>\({\partial u \over \partial x} + i {\partial v \over \partial x} = {\partial v \over \partial y} - i {\partial u \over \partial y}.\)</big>'''
		+
		+	Má-li se rovnat reálná i imaginární část bude
		+
		+	:'''<big>\({\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial y}\)</big>'''
		+
		+	:'''<big>\({\partial u \over \partial y} = - {\partial v \over \partial x}. \quad\square\)</big>'''
		+
		+	=== Pomocí reprezentace derivace jako lineárního zobrazení ===
		+	Další možností, jak odvodit Cauchyho-Riemannovy podmínky je uvažovat komplexní [[derivace\|derivaci]] jako [[lineární zobrazení]] a to dvěma způsoby – jako zobrazení z <big>\(\mathbb{C}\)</big> do <big>\(\mathbb{C}\)</big> a jako zobrazení z <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big> do <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big>.
		+
		+	Chápeme-li ''f'' přirozeným způsobem jako funkci z <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big> do <big>\(\mathbb{R}^{2}\)</big>, je lineární zobrazení ''L'' [[totální diferenciál\|totálním diferenciálem]] ''f'' v bodě ''z'', platí-li:
		+
		+	:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + L(h) + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\\|h\\|}=0.\)</big>
		+
		+	Na druhou stranu si uvědomme, že komplexní číslo ''w'' je komplexní derivací funkce <big>\(f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\)</big> v bodě ''z'', právě když pro všechna <big>\(h\in\mathbb{C}\)</big> platí:
		+
		+	:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + w\cdot h + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je opět funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.\)</big>
		+
		+	Přitom ''w = s + it'' určuje jednoznačně lineární zobrazení <big>\(W:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\)</big> dané maticí
		+
		+	:<big>\(W= \begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}.\)</big>
		+
		+	Toto zobrazení splňuje (stále při přirozeném ztotožňování komplexních čísel s vektory z <big>\(\mathbb{R}^2\)</big>) vztah <big>\(W(h)= w\cdot h\)</big>, tedy platí:
		+
		+	:<big>\(\,f(z+h)=f(z) + W(h) + \xi(h)\)</big>, kde <big>\(\xi\)</big> je opět funkce splňující <big>\(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\xi(h)}{\|h\|}=0.\)</big>.
		+
		+	Tedy na jednu stranu, má-li ''f'' v bodě ''z'' komplexní derivaci ''w'', je zobrazení ''W'' totálním diferenciálem <big>\(f(x,y)=u(x,y)+i\cdot v(x,y)\)</big> a tedy platí:
		+
		+	:<big>\(W=\begin{pmatrix} s & -t \\ t & \;\; s \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z)\end{pmatrix}, \)</big>
		+
		+	odkud Cauchyho-Riemannovy podmínky zřejmě plynou.
		+
		+	Na druhou stranu, má-li ''f = u + iv'' spojité parciální derivace v ''z'', má v ''z'' totální diferenciál:
		+
		+	:<big>\(\mathrm{d}f(z)= \begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}(z) & \frac{\partial u}{\partial y}(z) \\ \frac{\partial v}{\partial x}(z) & \frac{\partial v}{\partial y}(z) \end{pmatrix}.\)</big>
		+
		+	Pak z dříve dokázaných vztahů je číslo <big>\(w=\frac{\partial u}{\partial x}(z)+i\cdot\frac{\partial v}{\partial x}(z)\)</big> komplexní derivací funkce ''f'', neboť díky platnosti Cauchyho-Riemannových podmínek je lineární zobrazení ''W'' určené takto definovaným ''w'' rovno <big>\(\mathrm{d}f(z)\)</big>.
		+	<big>\(\quad\square\)</big>
		+
		+	== Reference ==
		+	* Jiří Veselý: Komplexní analýza, Karolinum [[Praha]], [[2000]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+	* {{MathWorld\|id=Cauchy-RiemannEquations}}
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Komplexní analýza]]		[[Kategorie:Komplexní analýza]]
	[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]		[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Sysop: 1 revizi

2014-04-27T14:07:20Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 27. 4. 2014, 14:07

Sysop: + Nový článek...

2012-11-11T16:53:54Z

+ Nový článek...

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Cauchyho-Riemannovy podmínky|700}}

[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Cauchyho-Riemannovy podmínky - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: + Nový článek...