Sysop: ++

2022-08-29T09:58:53Z

← Starší verze		Verze z 29. 8. 2022, 09:58
Řádka 1:		Řádka 1:
-	[[File:Divergence vektorového pole.jpg\|thumb\|~~240px~~\|Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.]]	+	[[File:Divergence vektorového pole.jpg\|thumb\|250px\|Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.]]
-	: Tento článek je o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce: Divergence (rozcestník).	+	: ''Tento článek je o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce'': [[Divergence (rozcestník)]].
-	Ve [[vektorový počet\|vektorovém počtu]] je '''divergence''' [[diferenciální operátor]] udávající '''zřídlovost''' [[vektorové pole\|vektorového pole]]. Udává, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně. Je-li ~~např.~~ zkoumaným polem [[vedení tepla\|tok tepla]], potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká [[teplo]], záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.	+	Ve [[vektorový počet\|vektorovém počtu]] je '''divergence''' [[diferenciální operátor]] udávající '''zřídlovost''' [[vektorové pole\|vektorového pole]]. Udává, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně.
		+
		+	Je-li třeba zkoumaným polem [[vedení tepla\|tok tepla]], potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká [[teplo]], záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

	V praktických aplikacích '''divergence''' figuruje v [[Rovnice_kontinuity\|rovnici kontiniuty]] a používá se tak k modelování [[vedení tepla]], [[difuze]], proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů..		V praktických aplikacích '''divergence''' figuruje v [[Rovnice_kontinuity\|rovnici kontiniuty]] a používá se tak k modelování [[vedení tepla]], [[difuze]], proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů..

Sysop: + NEW

2022-08-29T09:29:32Z

+ NEW

Nová stránka

[[File:Divergence vektorového pole.jpg|thumb|240px|Vektorové pole na obrázku má kladnou divergenci, protože tok ven převažuje a tato vlastnost zůstane i po limitním stažení kruhu do bodu.]]
: Tento článek je o operátoru v matematice. Další významy jsou uvedeny na stránce: Divergence (rozcestník).
Ve [[vektorový počet|vektorovém počtu]] je '''divergence''' [[diferenciální operátor]] udávající '''zřídlovost''' [[vektorové pole|vektorového pole]]. Udává, zda tok vyjádřený vektorovým polem v daném místě sílí či slábne a jak intenzivně. Je-li např. zkoumaným polem [[vedení tepla|tok tepla]], potom v případě stacionárního vedení tepla kladná divergence v daném bodě znamená, že v daném bodě vzniká [[teplo]], záporná naopak, že v daném místě teplo zaniká.

V praktických aplikacích '''divergence''' figuruje v [[Rovnice_kontinuity|rovnici kontiniuty]] a používá se tak k modelování [[vedení tepla]], [[difuze]], proudění podzemní vody a obecně k matematickému modelování transportních dějů..

Ve vektorové analýze '''divergenci''' využívá [[Gaussova věta]], která převádí výpočet toku [[vektorové pole|vektorového pole]] uzavřenou [[plocha|plochou]] na výpočet [[integrál]]u divergence daného vektorového pole přes [[objem]] [[plocha|plochou]] uzavřený.

== Definice ==
Jsou-li <big>\(x\)</big>, <big>\(y\)</big>, <big>\(z\)</big> [[kartézské souřadnice]] v [[3D|3-rozměrném]] [[Eukleidovský prostor|Eukleidovském prostoru]], a <big>\(e_x\)</big>, <big>\(e_y\)</big>, <big>\(e_z\)</big> je odpovídající [[Báze (algebra)|báze]] [[jednotkový vektor|jednotkových vektorů]], a
:<big>\(\mathbf{F} = F_x \mathbf{e}_x+F_y \mathbf{e}_y+F_z \mathbf{e}_z\)</big>
je [[spojitá funkce|spojitě]] diferencovatelné [[vektorové pole]], potom jeho divergenci označujeme <big>\(\operatorname{div}{}\mathbf{F}\)</big> nebo <big>\(\nabla\cdot\mathbf{F}\)</big> a definujeme jako [[skalár]]ní veličinu
:<big>\(\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}. \)</big>
Přestože je '''divergence''' definována v [[kartézské souřadnice|kartézských souřadnicích]], jde o [[invariance|invariantní veličinu]], která nabývá stejných hodnot ve všech [[soustava souřadnic|souřadných soustavách]].

V ''n''-rozměrném prostoru lze operátor divergence vyjádřit prostřednictvím [[skalární součin|skalárního součinu]] operátoru [[nabla]] a vektoru <big>\(\mathbf{v}\)</big>, tzn.
:<big>\(\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \sum_{k=1}^n \frac{\partial v_k}{\partial x_k} = \frac{\partial v_1}{\partial x_1} + \frac{\partial v_2}{\partial x_2} + \cdots + \frac{\partial v_n}{\partial x_n}\)</big>.
S využitím [[Einsteinovo sumační pravidlo|Einsteinova sumačního pravidla]] můžeme psát zkráceně
:<big>\(\mathrm{div}\,\mathbf{v} = \nabla \cdot \mathbf{v} = \frac{\partial v_i}{\partial x_i}.\)</big>

[[parciální derivace|Derivací]] [[tenzor]]u <big>\(\mathbf{T}\)</big> <big>\(n\)</big>-tého řádu dostaneme tenzor řádu <big>\(n+1\)</big> se složkami <big>\(\frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_t}\)</big>. [[kontrakce tenzoru|Kontrakcí]] indexu <big>\(t\)</big> proti indexu <big>\(s\)</big> získáme ''divergenci tenzoru'' <big>\(\mathbf{T}\)</big>, což je tenzor řádu <big>\(n-1\)</big>.
:<big>\(\mathbf{D}_{ij\cdots r} = \frac{\partial \mathbf{T}_{ij\cdots rs}}{\partial x_s}\)</big>
Divergence tedy snižuje řád tenzoru o jedničku, např. divergencí vektoru získáme skalár.

== Vlastnosti ==
Označíme-li <big>\(\mathbf F\)</big>, <big>\(\mathbf G\)</big> [[vektorové pole|vektorová pole]], <big>\(f\)</big> [[skalární pole]], <big>\(a\)</big>, <big>\(b\)</big> [[reálné číslo|reálná čísla]], potom operátor divergence splňuje následující identity:
Je [[Lineární operátor|lineární]] vůči [[reálné číslo|reálným číslům]]
:<big>\(\nabla\cdot( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\nabla\cdot \mathbf{F}+ b\;\nabla\cdot \mathbf{G}, \)</big>
aplikována na [[součin]] [[Funkce (matematika)|funkce]] a [[vektorové pole|vektorového pole]] splňuje identitu
:<big>\(\nabla\cdot(f \mathbf{F}) = \nabla f \cdot \mathbf{F} + f \;\nabla\cdot\mathbf{F} = \mathrm{grad}f\cdot\mathbf{F} + f \; \mathrm{div}\mathbf{F}\)</big>.

Pro '''divergenci''' [[vektorový součin|vektorového součinu]] platí
:<big>\(\nabla\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\nabla\times\mathbf{G}) = (\mathrm{rot}\,\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot(\mathrm{rot}\,\mathbf{G})\)</big>,
kde <big>\(\nabla \times \mathbf F\)</big> je [[rotace (operátor)|rotace]] '''<big>\(\mathbf F\)</big>'''.

Divergence [[rotace (operátor)|rotace]] je rovna [[nula|nule]]:
:<big>\(\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) = \mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = 0\)</big>.

== Vyjádření v různých soustavách souřadnic ==
Následující vztahy udávají vyjádření '''divergence''' v nejrůznějších [[soustava souřadnic|souřadných soustavách]] v trojrozměrném prostoru. Je-li <big>\(F\)</big> [[vektorové pole]] v daných souřadnicích, pak platí

Ve [[válcová soustava souřadnic|válcových souřadnicích]] má operátor divergence tvar
:<big>\(\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r}{\partial ( r F_r ) \over \partial r} + {1 \over r}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi} + {\partial F_z \over \partial z}.\)</big>

Ve [[Sférická soustava souřadnic|sférických souřadnicích]] má operátor divergence tvar
:<big>\(\nabla \cdot \mathbf{F} = {1 \over r^2}{\partial ( r^2 F_r ) \over \partial r} + {1 \over r\sin\theta}{\partial \over \partial \theta} ( F_\theta\sin\theta ) + {1 \over r\sin\theta}{\partial F_\varphi \over \partial \varphi}.\)</big>

V obecných [[ortogonální souřadnice|ortogonálních souřadnicích]] má divergence s využitím [[Laméovy koeficienty (křivočaré souřadnice)|Laméových koeficientů]] <big>\(h_1\)</big>,<big>\(h_2\)</big>,<big>\(h_3\)</big> tvar
:<big>\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{h_1 h_2 h_3} \left(\frac{\partial \left(h_2 h_3 F_1\right)}{\partial q_1} +\frac{\partial \left(h_1 h_3 F_2\right)}{\partial q_2} +\frac{\partial \left(h_1 h_2 F_3\right)}{\partial q_3} \right).\)</big>

Ve zcela [[obecné souřadnice|obecných souřadnicích]] (viz také [[Souřadnicový zápis vektorů]]) pro složky vektoru divergence platí
: <big>\(\nabla_{\underline{m}} \left({F}^k \frac{\boldsymbol{\partial}^{\underline{m}}}{\boldsymbol{\partial} x^k} \right) = {F^k}_{;k} = {F^k}_{,k} + {\Gamma^{i}}_{ij}{F^j}.\)</big>

'''Úmluva''': Zatímco v předchozím textu jsme za [[Báze (algebra)|bázi]] brali [[ortonormální báze|ortonormální bázi]] v daných souřadnicích, ve vzorci v [[obecné souřadnice|obecných souřadnicích]] používáme bázi vektorů nebo diferenciálních forem a explicitně vypisujeme jakou. Stejně tak v předchozím textu nerozlišujeme polohu indexů a všechny indexy (ortonormální báze i souřadnic) píšeme dole, zatímco v [[obecné souřadnice|obecných souřadnicích]] polohu indexů důsledně rozlišujeme.

== Související články ==
* [[Parciální derivace]]
* [[Nabla]]

== Externí odkazy ==

{{Commonscat|Divergence}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Diferenciální operátory]]
[[Kategorie:Vektorový počet]]

Divergence - Historie editací

Sysop: ++

Sysop: + NEW