Duplikace krychle - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:51:24Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:51
Řádka 39:		Řádka 39:
	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.		**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
	*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]</~~math~~>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</~~math~~> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>$T[\sqrt{q}]$</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>$[T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2$</big> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]</~~math~~>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>$T[\sqrt{q}]$</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.		** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:19Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 39:		Řádka 39:
	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.		**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
	*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <~~math~~>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <~~math~~>[T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</math> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</math> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <~~math~~>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.		** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

Sysop: /* Legenda */ Typo

2014-08-06T10:15:50Z

Legenda: Typo

← Starší verze		Verze z 6. 8. 2014, 10:15
Řádka 12:		Řádka 12:
	== Historie ==		== Historie ==
	=== Legenda ===		=== Legenda ===
-	Podle staré [[legenda\|legendy]] stojí u vzniku problému zdvojení krychle společenství ~~[[pythagorejci\|~~pythagorejců]]. Ti v rámci svého „kultu čísel“ vyznávali, že čtyři základní [[živel\|element]]y: [[oheň]], [[vzduch]], [[voda]] a [[země]] jsou ve světě zastoupeny v [[poměr]]u takzvané „[[úměra\|úměry]] o čtyřech členech“. Proto pro ně měla tato úměra velmi velký význam. Čísla ''a,b,c,d'' jsou v úměře o čtyřech členech, je-li ''a'' nejmenší, ''d'' největší a poměry ''a:b'',''b:c'' a ''c:d'' jsou si rovny.	+	Podle staré [[legenda\|legendy]] stojí u vzniku problému zdvojení krychle společenství pythagorejců. Ti v rámci svého „kultu čísel“ vyznávali, že čtyři základní [[živel\|element]]y: [[oheň]], [[vzduch]], [[voda]] a [[země]] jsou ve světě zastoupeny v [[poměr]]u takzvané „[[úměra\|úměry]] o čtyřech členech“. Proto pro ně měla tato úměra velmi velký význam. Čísla ''a,b,c,d'' jsou v úměře o čtyřech členech, je-li ''a'' nejmenší, ''d'' největší a poměry ''a:b'',''b:c'' a ''c:d'' jsou si rovny.

-	[[Pythagorejci]] považovali za důležité nalézt obecnou [[euklidovská konstrukce\|(euklidovskou) konstrukci]], jak k daným [[úsečka\|úsečkám]] délek ''a,d'' nalézt úsečky délek ''b,c'', tak aby čísla ''a,b,c,d'' byla v úměře o čtyřech členech. Tento úkol však nikdo z nich nebyl schopen vyřešit. Proto se rozhodli, že zajistí, aby problém vešel ve všeobecnou známost, a doufali, že ho někdo jiný vyřeší za ně. Protože však pythagorejský řád byl velmi uzavřený a přísně střežil svá tajemství, nechtěli pythagorejci prozradit světu, že se zajímají právě o úměru o čtyřech členech. Z tohoto důvodu uvažovali takto. Rozumně předpokládali, že podaří-li se vyřešit tento problém pro ''a=1, d=2'', nebude již zobecnění příliš složitou záležitostí. Pythagorejcům bylo rovněž známo, že jsou-li délky čtyř [[úsečka\|úseček]] v úměře o čtyřech členech, pak jsou v této úměře i [[objem]]y [[krychle\|krychlí]] nad těmito úsečkami, a naopak. Pro ''a=1, d=2'' jsou objemy nejmenší resp. největší krychle rovny ''1'' resp. ''8''. Doplnit mezi tato dvě čísla zbývající dvě tak, aby tvořily úměru o čtyřech členech, je snadné - těmito čísly jsou ''2'' a ''4''. Podle výše řečeného tedy délky hran krychlí o objemech ''1,2,4,8'' tvoří úměru o čtyřech členech. Podařilo-li by se sestrojit hranu [[krychle]] o [[objem]]u ''2'', nebylo by již sestrojení hrany krychle o objemu ''4'' problémem. Tedy vše, co pythagorejci potřebovali, bylo k dané krychli o hraně jedna sestrojit hranu krychle s dvojnásobným objemem. Tento úkol byl již natolik odlišný od původního, že nikdo (ani ten, kdo by ho vyřešil) nemohl poznat, o co pythagorejcům ve skutečnosti jde. Takto zašifrovaný problém tedy vypustili do světa.	+	Pythagorejci považovali za důležité nalézt obecnou [[euklidovská konstrukce\|(euklidovskou) konstrukci]], jak k daným [[úsečka\|úsečkám]] délek ''a,d'' nalézt úsečky délek ''b,c'', tak aby čísla ''a,b,c,d'' byla v úměře o čtyřech členech. Tento úkol však nikdo z nich nebyl schopen vyřešit. Proto se rozhodli, že zajistí, aby problém vešel ve všeobecnou známost, a doufali, že ho někdo jiný vyřeší za ně. Protože však pythagorejský řád byl velmi uzavřený a přísně střežil svá tajemství, nechtěli pythagorejci prozradit světu, že se zajímají právě o úměru o čtyřech členech. Z tohoto důvodu uvažovali takto. Rozumně předpokládali, že podaří-li se vyřešit tento problém pro ''a=1, d=2'', nebude již zobecnění příliš složitou záležitostí. Pythagorejcům bylo rovněž známo, že jsou-li délky čtyř [[úsečka\|úseček]] v úměře o čtyřech členech, pak jsou v této úměře i [[objem]]y [[krychle\|krychlí]] nad těmito úsečkami, a naopak. Pro ''a=1, d=2'' jsou objemy nejmenší resp. největší krychle rovny ''1'' resp. ''8''. Doplnit mezi tato dvě čísla zbývající dvě tak, aby tvořily úměru o čtyřech členech, je snadné - těmito čísly jsou ''2'' a ''4''. Podle výše řečeného tedy délky hran krychlí o objemech ''1,2,4,8'' tvoří úměru o čtyřech členech. Podařilo-li by se sestrojit hranu [[krychle]] o [[objem]]u ''2'', nebylo by již sestrojení hrany krychle o objemu ''4'' problémem. Tedy vše, co pythagorejci potřebovali, bylo k dané krychli o hraně jedna sestrojit hranu krychle s dvojnásobným objemem. Tento úkol byl již natolik odlišný od původního, že nikdo (ani ten, kdo by ho vyřešil) nemohl poznat, o co pythagorejcům ve skutečnosti jde. Takto zašifrovaný problém tedy vypustili do světa.

	Když občané [[Athény\|Athén]], jejichž město bylo postiženo [[mor]]em, vyslali roku 430 př. n. l. poselstvo do [[Apollón]]ova [[orakleum\|oraklea]] na ostrově [[Délos]], aby získalo radu, jak řádění moru ukončit, orakleum ovlivněné pythagorejci odpovědělo, že Athéňané musí zdvojnásobit velikost svého krychlového [[oltář]]e. Žádný z athénských učenců však nebyl schopen určit, jak dlouhá má být hrana nového oltáře, a tak [[mor]] řádil ještě po dlouhou dobu. Úloha, jejíž řešení pythagorejci tak toužili znát, však byla vypuštěna do světa a podle místa, na němž se její zadání Athéňané dozvěděli, obdržela název '''délský problém'''.		Když občané [[Athény\|Athén]], jejichž město bylo postiženo [[mor]]em, vyslali roku 430 př. n. l. poselstvo do [[Apollón]]ova [[orakleum\|oraklea]] na ostrově [[Délos]], aby získalo radu, jak řádění moru ukončit, orakleum ovlivněné pythagorejci odpovědělo, že Athéňané musí zdvojnásobit velikost svého krychlového [[oltář]]e. Žádný z athénských učenců však nebyl schopen určit, jak dlouhá má být hrana nového oltáře, a tak [[mor]] řádil ještě po dlouhou dobu. Úloha, jejíž řešení pythagorejci tak toužili znát, však byla vypuštěna do světa a podle místa, na němž se její zadání Athéňané dozvěděli, obdržela název '''délský problém'''.

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-06T10:14:16Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 6. 8. 2014, 10:14
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Duplikace krychle\|~~700}}~~	+	'''Duplikace krychle''' (také '''zdvojení krychle''', '''reduplikace krychle''' či '''délský problém''') je jeden ze tří nejslavnějších antických [[konstrukce (geometrie)\|konstrukčních problémů]] (zbylé dva jsou [[kvadratura kruhu]] a [[trisekce úhlu]]; souhrnně jsou nazývány ''[[Tři klasické problémy antické matematiky]]''). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné.

		+	== Přesné zadání úlohy ==
		+	Obecné zadání úlohy zdvojení krychle zní v jazyce moderní [[matematika\|matematiky]] takto:
		+
		+	''Nalezněte obecnou [[euklidovská konstrukce\|euklidovskou konstrukci]], pomocí níž bude k libovolné [[krychle\|krychli]] možné zkonstruovat hranu krychle o dvojnásobném [[objem]]u.''
		+
		+	Poněkud méně formálně:
		+
		+	''K dané krychli zkonstruujte krychli s dvojnásobným objemem pouze za užití [[pravítko\|pravítka]] a [[kružítko\|kružítka]].''
		+
		+	== Historie ==
		+	=== Legenda ===
		+	Podle staré [[legenda\|legendy]] stojí u vzniku problému zdvojení krychle společenství [[pythagorejci\|pythagorejců]]. Ti v rámci svého „kultu čísel“ vyznávali, že čtyři základní [[živel\|element]]y: [[oheň]], [[vzduch]], [[voda]] a [[země]] jsou ve světě zastoupeny v [[poměr]]u takzvané „[[úměra\|úměry]] o čtyřech členech“. Proto pro ně měla tato úměra velmi velký význam. Čísla ''a,b,c,d'' jsou v úměře o čtyřech členech, je-li ''a'' nejmenší, ''d'' největší a poměry ''a:b'',''b:c'' a ''c:d'' jsou si rovny.
		+
		+	[[Pythagorejci]] považovali za důležité nalézt obecnou [[euklidovská konstrukce\|(euklidovskou) konstrukci]], jak k daným [[úsečka\|úsečkám]] délek ''a,d'' nalézt úsečky délek ''b,c'', tak aby čísla ''a,b,c,d'' byla v úměře o čtyřech členech. Tento úkol však nikdo z nich nebyl schopen vyřešit. Proto se rozhodli, že zajistí, aby problém vešel ve všeobecnou známost, a doufali, že ho někdo jiný vyřeší za ně. Protože však pythagorejský řád byl velmi uzavřený a přísně střežil svá tajemství, nechtěli pythagorejci prozradit světu, že se zajímají právě o úměru o čtyřech členech. Z tohoto důvodu uvažovali takto. Rozumně předpokládali, že podaří-li se vyřešit tento problém pro ''a=1, d=2'', nebude již zobecnění příliš složitou záležitostí. Pythagorejcům bylo rovněž známo, že jsou-li délky čtyř [[úsečka\|úseček]] v úměře o čtyřech členech, pak jsou v této úměře i [[objem]]y [[krychle\|krychlí]] nad těmito úsečkami, a naopak. Pro ''a=1, d=2'' jsou objemy nejmenší resp. největší krychle rovny ''1'' resp. ''8''. Doplnit mezi tato dvě čísla zbývající dvě tak, aby tvořily úměru o čtyřech členech, je snadné - těmito čísly jsou ''2'' a ''4''. Podle výše řečeného tedy délky hran krychlí o objemech ''1,2,4,8'' tvoří úměru o čtyřech členech. Podařilo-li by se sestrojit hranu [[krychle]] o [[objem]]u ''2'', nebylo by již sestrojení hrany krychle o objemu ''4'' problémem. Tedy vše, co pythagorejci potřebovali, bylo k dané krychli o hraně jedna sestrojit hranu krychle s dvojnásobným objemem. Tento úkol byl již natolik odlišný od původního, že nikdo (ani ten, kdo by ho vyřešil) nemohl poznat, o co pythagorejcům ve skutečnosti jde. Takto zašifrovaný problém tedy vypustili do světa.
		+
		+	Když občané [[Athény\|Athén]], jejichž město bylo postiženo [[mor]]em, vyslali roku 430 př. n. l. poselstvo do [[Apollón]]ova [[orakleum\|oraklea]] na ostrově [[Délos]], aby získalo radu, jak řádění moru ukončit, orakleum ovlivněné pythagorejci odpovědělo, že Athéňané musí zdvojnásobit velikost svého krychlového [[oltář]]e. Žádný z athénských učenců však nebyl schopen určit, jak dlouhá má být hrana nového oltáře, a tak [[mor]] řádil ještě po dlouhou dobu. Úloha, jejíž řešení pythagorejci tak toužili znát, však byla vypuštěna do světa a podle místa, na němž se její zadání Athéňané dozvěděli, obdržela název '''délský problém'''.
		+
		+	=== Skutečnost ===
		+	Již ve starověku a po celý středověk a renesanci se největší učenci své doby pokoušeli problém zdvojení krychle vyřešit. Až v 19. století Pierre Wantzel užitím nových výsledků algebry dokázal, že úlohu zdvojení krychle nelze pouze za použití pravítka a kružítka provést.
		+
		+	== Důkaz neřešitelnosti ==
		+	[[Matematický důkaz\|Důkaz]] nemožnosti provést požadovanou konstrukci sestává ze dvou nezávislých částí, z nichž první je obdobná pro důkazy neřešitelnosti všech tří klasických problémů:
		+	# ověření, že lze zkonstruovat jen ty délky (vzdálenosti), které jsou [[algebraické číslo\|algebraickým číslem]] stupně (nad [[těleso (algebra)\|tělesem]] [[racionální číslo\|racionálních čísel]]) mocniny dvou
		+	# ověření, že délka hrany krychle o objemu dvojnásobném oproti objemu krychle s hranou délky jedna je algebraické číslo stupně tři
		+
		+	Tyto dva kroky nyní provedeme odděleně.
		+
		+	=== Konstruovatelné délky ===
		+	Za konstruovatelnou délku (resp. [[Soustava souřadnic\|souřadnici]]) označíme takovou délku (resp. [[Soustava souřadnic\|souřadnici]]), kterou lze zkonstruovat z dané jednotkové [[úsečka\|úsečky]] a daného počátku pouze pomocí [[pravítko\|pravítka]] a [[kružítko\|kružítka]]. Velmi snadno ověříme, že každá [[racionální číslo\|racionální]] délka (souřadnice) je konstruovatelná. [[Matematická indukce\|Indukcí]] podle počtu kroků nejkratší konstrukce ověříme, že každá konstruovatelná [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] (jak x-ová, tak y-ová) je [[algebraické číslo]] stupně [[mocnina\|mocniny]] dvou. Nechť je tedy dána konstruovatelná souřadnice ''s'' a nechť
		+	* její nejkratší konstrukce (přesněji konstrukce [[bod]]u majícího tuto souřadnici) má ''0'' kroků
		+	** Pak ''s'' může být pouze souřadnice koncového [[bod]]u jednotkové [[úsečka\|úsečky]] nebo počátku (tj. ''s=1'' nebo ''s=0''), což je v obou případech algebraické číslo stupně ''1=2<sup>0</sup>''.
		+	* její nejkratší konstrukce má ''n+1'' kroků, přičemž víme, že všechny souřadnice, které lze zkonstruovat v méně než ''n+1'' krocích jsou algebraické stupně mocniny dvou
		+	** Proveďme nyní prvních ''n'' kroků oné ''n+1'' krokové konstrukce souřadnice ''s''. Označme ''T'' [[těleso (algebra)\|těleso]] generované všemi dosud zkonstruovanými souřadnicemi a jeho stupeň nad tělesem ''Q'' všech [[racionální číslo\|racionálních čísel]] (délek) označme ''[T:Q]''. Protože ''T'' vzniklo postupným rozšiřováním ''Q'' o souřadnice konstruované v prvních ''n'' krocích, je ''[T:Q]'' mocnina dvou (snadnou aplikací indukčního předpokladu). Dále určíme stupeň ''[T[s]:T]'', kde ''T[s]'' je těleso generované prvky ''T'' a souřadnicí ''s''. Víme (z definice ''T''), že souřadnici ''s'' lze zkonstruovat v jediném kroku ze souřadnic obsažených v [[těleso (algebra)\|tělese]] ''T''. Souřadnice ''s'' tedy může být souřadnicí [[bod]]u,
		+	*** který již byl zkonstruován v prvních ''n'' krocích
		+	**** Pak ''s'' je prvkem ''T'' a tedy ''[T[s]:T]=1''.
		+	*** který vznikl protnutím dvou [[úsečka\|úseček]] v (''n+1'')-ním kroku
		+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
		+	*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
		+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <math>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <math>[T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</math> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
		+	*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
		+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <math>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
		+	** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.
		+
		+	Dále zřejmě každá konstruovatelná délka je vzdáleností dvou [[bod]]ů s konstruovatelnými [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi, a tedy její čtverec je prvkem [[těleso (algebra)\|tělesa]] generovaného konečně mnoha konstruovatelnými souřadnicemi. Proto čtverec konstruovatelné vzdálenosti má stupeň mocniny dvou nad ''Q''. Opět z věty o multiplikativitě stupňů rozšíření plyne, že i daná vzdálenost má stupeň mocniny dvou nad ''Q''.
		+
		+	=== 2<sup>1/3</sup> je stupně 3 nad ''Q'' ===
		+	Délkou hrany [[krychle]] o [[objem]]u 2 je číslo ''L=2<sup>1/3</sup>''. Dokážeme, že tato délka je [[algebraické číslo]] stupně 3 nad ''Q''. Zřejmě ''L'' je kořenem [[polynom]]u ''t<sup>3</sup>-2''. Pokud by tento polynom byl reducibilní, měl by faktor stupně jedna, a tedy [[racionální číslo\|racionální]] kořen. Podle věty o racionálních kořenech (je-li ''p/q'' kořenem polynomu ''P'', pak ''q'' dělí [[vedoucí koeficient]] ''P'' a ''p'' jeho [[absolutní člen]]) by tento kořen byl jedno z čísel ''2,1,-1,-2'', což evidentně nemůže být. Proto polynom ''t<sup>3</sup>-2'' je minimálním polynomem délky ''L'', a tedy ''L'' je stupně tři nad ''Q''. Tím je důkaz dokončen.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[trisekce úhlu]]
		+	* [[kvadratura kruhu]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Matematické problémy]]		[[Kategorie:Matematické problémy]]
	[[Kategorie:Geometrie]]		[[Kategorie:Geometrie]]

Sysop: 1 revizi

2014-05-04T10:23:00Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 4. 5. 2014, 10:23

Sysop: 1 revizi

2012-10-25T10:48:56Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Duplikace krychle|700}}

[[Kategorie:Matematické problémy]]
[[Kategorie:Geometrie]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:51
Řádka 39:		Řádka 39:
	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.		**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
	*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]</~~math~~>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</~~math~~> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]\)</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2\)</big> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]</~~math~~>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]\)</big>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.		** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 39:		Řádka 39:
	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.		**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava lineárních rovnic\|soustavy lineárních rovnic]] ''y=ax+b'', ''y=cx+d'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se úseček. Protože však krajní [[bod]]y těchto úseček byly zkonstruovány již v prvních ''n'' krocích, jsou jejich [[Soustava souřadnic\|souřadnice]] a v důsledku i [[koeficient]]y ''a,b,c,d'' prvky ''T''. Proto i obě složky řešení ''(x,y)'' jsou v ''T'', a tedy opět ''[T[s]:T]=1''.
	*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím [[úsečka\|úsečky]] a [[kružnice]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <~~math~~>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <~~math~~>[T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</math> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení lineárně kvadratické [[soustava rovnic\|soustavy rovnic]] ''y=ax+b'', ''(x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', kde první (resp. druhá) [[rovnice]] popisuje analyticky úsečku (kružnici). Opět - obdobně jako v předchozím bodě - jsou ''a,b,c,d'' prvky ''T'', a protože čtverec vzdálenosti každých dvou [[bod]]ů se [[Soustava souřadnic\|souřadnice]]mi z ''T'' leží rovněž v ''T'', je i ''r<sup>2</sup>'' v ''T''. Vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v [[těleso (algebra)\|tělese]] <big>\(T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Protože zřejmě <big>\([T[\sqrt{q}]:T]=1 \mbox{ nebo } 2</math> a podle obecné teorie [[algebraické rozšíření\|algebraických rozšíření]] dělí stupeň každého prvku rozšíření stupeň tohoto rozšíření, je nutně ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku		*** který vznikl protnutím dvou [[kružnice\|kružnic]] v (''n+1'')-ním kroku
-	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <~~math~~>T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.	+	**** Pak ''s'' je jednou ze složek řešení [[soustava rovnic\|soustavy]] [[kvadratická rovnice\|kvadratických rovnic]] (x-a)<sup>2</sup>+(y-b)<sup>2</sup>=r<sup>2</sup>'', (x-c)<sup>2</sup>+(y-d)<sup>2</sup>=t<sup>2</sup>'', kde první a druhá [[rovnice]] popisují analyticky první a druhou z protínajících se kružnic. Opět jako v předchozích bodech jsou ''a,b,c,d,r,t'' prvky ''T''. Opět vyjádřením řešení ''(x,y)'' zjistíme, že obě jeho složky leží v tělese <big>\(T[\sqrt{q}]</math>, kde q je vhodný prvek ''T''. Zcela stejně jako v předchozím bodě můžeme vidět, že ''[T[s]:T]=1 nebo 2''.
	** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.		** Ve všech čtyřech popisovaných případech je tedy ''[T[s]:T]=1 nebo 2''. Protože z předchozího víme, že ''[T:Q]'' je [[mocnina]] dvou, plyne z obecného algebraického tvrzení o multiplikativitě stupňů rozšíření, že ''[T[s]:Q]=[T[s]:T][T:Q]'' je rovněž mocnina dvou. Dále stupeň ''s'' nad ''Q'' je roven ''[T[s]:Q]'', tedy je také mocninou dvou, čímž je indukční krok dokončen.

Duplikace krychle - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: /* Legenda */ Typo

Sysop: + Masivní vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“