Elektrická kapacita - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:51:33Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:51
Řádka 26:		Řádka 26:

	== Výpočet ==		== Výpočet ==
-	Izolované [[Elektrický vodič\|vodivé]] těleso s [[elektrický náboj\|nábojem]] <big>\(Q</~~math~~> vytváří ve svém okolí [[elektrický potenciál\|potenciál]] <big>\(\varphi</~~math~~>. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na <big>\(Q^\prime=kQ</~~math~~>, kde <big>\(k</~~math~~> je [[konstanta]], změní se také potenciál na <big>\(\varphi^\prime=k\varphi</~~math~~>. Bude tedy platit	+	Izolované [[Elektrický vodič\|vodivé]] těleso s [[elektrický náboj\|nábojem]] <big>$Q$</big> vytváří ve svém okolí [[elektrický potenciál\|potenciál]] <big>$\varphi$</big>. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na <big>$Q^\prime=kQ$</big>, kde <big>$k$</big> je [[konstanta]], změní se také potenciál na <big>$\varphi^\prime=k\varphi$</big>. Bude tedy platit
-	:<big>\(\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}</~~math~~>	+	:<big>$\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}$</big>
-	Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li <big>\(\varphi_0</~~math~~> hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem <big>\(Q</~~math~~>, pak platí	+	Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li <big>$\varphi_0$</big> hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem <big>$Q$</big>, pak platí
-	:<big>\(C = \frac{Q}{\varphi_0}</~~math~~>,	+	:<big>$C = \frac{Q}{\varphi_0}$</big>,
-	kde <big>\(C</~~math~~> se nazývá '''elektrická kapacita'''.	+	kde <big>$C$</big> se nazývá '''elektrická kapacita'''.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
Řádka 36:		Řádka 36:

	== Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty ==		== Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty ==
-	Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je [[elektrování tělesa\|nabité]] s nábojem <big>\(Q_1\ne 0</~~math~~> a druhé je nenabité, tzn. <big>\(Q_2=0</~~math~~>. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo <big>\(Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}</~~math~~>, kde <big>\(C_{01}</~~math~~> je jeho kapacita a <big>\(\varphi_{01}^{(0)}</~~math~~> je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví [[indukovaný náboj]], který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje <big>\(Q_1</~~math~~> na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován [[konstanta\|konstantní]] potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na <big>\(\varphi_{01}^{(1)}</~~math~~> a <big>\(\varphi_{02}^{(1)}</~~math~~>.	+	Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je [[elektrování tělesa\|nabité]] s nábojem <big>$Q_1\ne 0$</big> a druhé je nenabité, tzn. <big>$Q_2=0$</big>. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo <big>$Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}$</big>, kde <big>$C_{01}$</big> je jeho kapacita a <big>$\varphi_{01}^{(0)}$</big> je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví [[indukovaný náboj]], který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje <big>$Q_1$</big> na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován [[konstanta\|konstantní]] potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na <big>$\varphi_{01}^{(1)}$</big> a <big>$\varphi_{02}^{(1)}$</big>.


-	Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje <big>\(Q_1</~~math~~> na hodnotu <big>\(Q_1^\prime = kQ_1</~~math~~>, získáme na tělesech potenciály <big>\(k\varphi_{01}^{(1)}</~~math~~> a <big>\(k\varphi_{02}^{(1)}</~~math~~>. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem <big>\(Q_1</~~math~~>, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát	+	Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje <big>$Q_1$</big> na hodnotu <big>$Q_1^\prime = kQ_1$</big>, získáme na tělesech potenciály <big>$k\varphi_{01}^{(1)}$</big> a <big>$k\varphi_{02}^{(1)}$</big>. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem <big>$Q_1$</big>, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát
-	:<big>\(\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1</~~math~~>,	+	:<big>$\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1$</big>,
-	:<big>\(\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1</~~math~~>,	+	:<big>$\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1$</big>,
-	kde <big>\(B_{11},B_{21}</~~math~~> jsou konstanty.	+	kde <big>$B_{11},B_{21}$</big> jsou konstanty.


-	Použijeme-li stejnou úvahu pro případ <big>\(Q_1=0</~~math~~> a <big>\(Q_2\ne 0</~~math~~>, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem <big>\(Q_2</~~math~~> a potenciály <big>\(\varphi_{01}^{(2)}</~~math~~> a <big>\(\varphi_{02}^{(2)}</~~math~~>, tedy	+	Použijeme-li stejnou úvahu pro případ <big>$Q_1=0$</big> a <big>$Q_2\ne 0$</big>, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem <big>$Q_2$</big> a potenciály <big>$\varphi_{01}^{(2)}$</big> a <big>$\varphi_{02}^{(2)}$</big>, tedy
-	:<big>\(\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2</~~math~~>	+	:<big>$\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2$</big>
-	:<big>\(\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2</~~math~~>	+	:<big>$\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2$</big>


-	[[superpozice\|Superpozicí]] předchozích případů dostaneme zobecnění pro <big>\(Q_1\ne 0</~~math~~> a <big>\(Q_2\ne 0</~~math~~>, tzn.	+	[[superpozice\|Superpozicí]] předchozích případů dostaneme zobecnění pro <big>$Q_1\ne 0$</big> a <big>$Q_2\ne 0$</big>, tzn.
-	:<big>\(\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2</~~math~~>	+	:<big>$\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2$</big>
-	:<big>\(\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2</~~math~~>	+	:<big>$\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2$</big>


-	Pro <big>\(n</~~math~~> těles, kde <big>\(i</~~math~~>-té těleso má náboj <big>\(Q_i</~~math~~> lze postupným opakováním předchozího postupu získat	+	Pro <big>$n$</big> těles, kde <big>$i$</big>-té těleso má náboj <big>$Q_i$</big> lze postupným opakováním předchozího postupu získat
-	:<big>\(\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</~~math~~>,	+	:<big>$\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k$</big>,
-	kde <big>\(\varphi_{0i}</~~math~~> označuje potenciál <big>\(i</~~math~~>-tého tělesa. Koeficienty <big>\(B_{ik}</~~math~~> se označují jako '''potenciálové koeficienty'''. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.	+	kde <big>$\varphi_{0i}$</big> označuje potenciál <big>$i$</big>-tého tělesa. Koeficienty <big>$B_{ik}$</big> se označují jako '''potenciálové koeficienty'''. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.


	Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy		Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy
-	:<big>\(B_{ij} = B_{ji}</~~math~~>	+	:<big>$B_{ij} = B_{ji}$</big>
-	tedy [[matice]] koeficientů <big>\(B_{ik}</~~math~~> je [[symetrická matice\|symetrická]].	+	tedy [[matice]] koeficientů <big>$B_{ik}$</big> je [[symetrická matice\|symetrická]].


-	Zápis <big>\(\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</~~math~~> představuje [[soustava lineárních rovnic\|soustavu]] <big>\(n</~~math~~> [[lineární rovnice\|lineárních rovnic]] o <big>\(n</~~math~~> neznámých <big>\(Q_i</~~math~~>. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je [[determinant]] <big>\(B_{ij}</~~math~~> nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako	+	Zápis <big>$\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k$</big> představuje [[soustava lineárních rovnic\|soustavu]] <big>$n$</big> [[lineární rovnice\|lineárních rovnic]] o <big>$n$</big> neznámých <big>$Q_i$</big>. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je [[determinant]] <big>$B_{ij}$</big> nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako
-	:<big>\(Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}</~~math~~>	+	:<big>$Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}$</big>

-	Diagonální prvky matice <big>\(C_{ik}</~~math~~>, tzn. <big>\(C_{ii}</~~math~~>, se označují jako '''kapacitní koeficienty''', a nediagonální prvky matice <big>\(C_{ik}</~~math~~>, tzn. prvky <big>\(C_{ik}</~~math~~> pro <big>\(i\ne k</~~math~~>, se nazývají '''influenčními koeficienty'''.	+	Diagonální prvky matice <big>$C_{ik}$</big>, tzn. <big>$C_{ii}$</big>, se označují jako '''kapacitní koeficienty''', a nediagonální prvky matice <big>$C_{ik}$</big>, tzn. prvky <big>$C_{ik}$</big> pro <big>$i\ne k$</big>, se nazývají '''influenčními koeficienty'''.

-	Také matice <big>\(C_{ik}</~~math~~> je [[symetrická matice\|symetrická]].	+	Také matice <big>$C_{ik}$</big> je [[symetrická matice\|symetrická]].

	=== Kapacita a koeficienty ===		=== Kapacita a koeficienty ===
-	Kapacitní koeficient <big>\(C_{ii}</~~math~~> <big>\(i</~~math~~>-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity <big>\(C</~~math~~> stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita <big>\(C</~~math~~> je vždy větší než [[nula]], neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na <big>\(i</~~math~~>-tém vodiči, což způsobí, že <big>\(C_{ii}>C</~~math~~>. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty <big>\(C_{ii}</~~math~~> a <big>\(C</~~math~~> k sobě blížit.	+	Kapacitní koeficient <big>$C_{ii}$</big> <big>$i$</big>-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity <big>$C$</big> stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita <big>$C$</big> je vždy větší než [[nula]], neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na <big>$i$</big>-tém vodiči, což způsobí, že <big>$C_{ii}>C$</big>. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty <big>$C_{ii}$</big> a <big>$C$</big> k sobě blížit.

-	Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí <big>\(C_{ik}<0</~~math~~> pro <big>\(i\ne k</~~math~~>. Pokud se snižuje vliv <big>\(i</~~math~~>-tého vodiče na <big>\(k</~~math~~>-tý, blíží se influenční koeficient <big>\(C_{ik}</~~math~~> k [[nula\|nule]].	+	Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí <big>$C_{ik}<0$</big> pro <big>$i\ne k$</big>. Pokud se snižuje vliv <big>$i$</big>-tého vodiče na <big>$k$</big>-tý, blíží se influenční koeficient <big>$C_{ik}$</big> k [[nula\|nule]].

	Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci [[kondenzátor]]ů.		Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci [[kondenzátor]]ů.

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:22Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + NEW

2020-09-08T07:21:56Z

+ NEW

Nová stránka

'''Elektrická kapacita''' je množství [[Elektrický náboj|elektrického náboje]] ve [[Elektrický vodič|vodiči]] s jednotkovým [[Elektrický potenciál|elektrickým potenciálem]].

''Elektrická kapacita'' vyjadřuje schopnost vodiče uchovat [[elektrický náboj]]. Čím větší kapacita, tím větší množství náboje může být na vodiči.

Přestože je elektrická kapacita obecně vlastností každého vodiče, využívá se především v [[kondenzátor]]u, pro nějž je kapacita definována jako množství náboje na deskách kondenzátoru, je-li mezi deskami jednotkové [[elektrické napětí]] (1 V).

== Značení ==
* Značka [[fyzikální veličina|veličiny]]: ''C''
* Hlavní [[fyzikální jednotka|jednotka]] v [[Soustava SI|soustavě SI]]: [[farad]], značka ''F''<ref name="Radio">{{Citace monografie
| příjmení = Nečásek
| jméno = Sláva
| titul = Radiotechnika do kapsy
| vydavatel = SNTL
| místo = Praha 1
| rok = 1981
| kapitola = Základní elektrotechnické vztahy
| strany = 33
}}</ref>
* Další jednotky: Z praktického hlediska je farad příliš velká jednotka, takže se běžně používají [[dílčí jednotka|dílčí jednotky]], především
:''milifarad'', 1 mF = 10−3 F
:''mikrofarad'', 1 μF = 10−6 F
:''nanofarad'', 1 nF = 10−9 F
:''pikofarad'', 1 pF = 10−12 F

V [[Elektronika|elektronice]] se kapacita kondenzátorů někdy udává v pikofaradech, proto je možné se setkat s hodnotami např. 3k3 = 3300 pF = 3,3 nF nebo 10M = 10 μF.

== Výpočet ==
Izolované [[Elektrický vodič|vodivé]] těleso s [[elektrický náboj|nábojem]] <math>Q</math> vytváří ve svém okolí [[elektrický potenciál|potenciál]] <math>\varphi</math>. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na <math>Q^\prime=kQ</math>, kde <math>k</math> je [[konstanta]], změní se také potenciál na <math>\varphi^\prime=k\varphi</math>. Bude tedy platit
:<math>\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}</math>
Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li <math>\varphi_0</math> hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem <math>Q</math>, pak platí
:<math>C = \frac{Q}{\varphi_0}</math>,
kde <math>C</math> se nazývá '''elektrická kapacita'''.

== Vlastnosti ==
Elektrická kapacita je závislá na tvaru a velikosti tělesa a na prostředí, v němž se nachází. Kapacita osamoceného vodivého tělesa vyjadřuje schopnost tohoto tělesa shromažďovat elektrický náboj. Těleso s menší kapacitou bude daným nábojem přivedeno na vyšší potenciál než těleso s větší kapacitou.

== Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty ==
Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je [[elektrování tělesa|nabité]] s nábojem <math>Q_1\ne 0</math> a druhé je nenabité, tzn. <math>Q_2=0</math>. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo <math>Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}</math>, kde <math>C_{01}</math> je jeho kapacita a <math>\varphi_{01}^{(0)}</math> je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví [[indukovaný náboj]], který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje <math>Q_1</math> na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován [[konstanta|konstantní]] potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na <math>\varphi_{01}^{(1)}</math> a <math>\varphi_{02}^{(1)}</math>.

Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje <math>Q_1</math> na hodnotu <math>Q_1^\prime = kQ_1</math>, získáme na tělesech potenciály <math>k\varphi_{01}^{(1)}</math> a <math>k\varphi_{02}^{(1)}</math>. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem <math>Q_1</math>, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát
:<math>\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1</math>,
:<math>\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1</math>,
kde <math>B_{11},B_{21}</math> jsou konstanty.

Použijeme-li stejnou úvahu pro případ <math>Q_1=0</math> a <math>Q_2\ne 0</math>, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem <math>Q_2</math> a potenciály <math>\varphi_{01}^{(2)}</math> a <math>\varphi_{02}^{(2)}</math>, tedy
:<math>\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2</math>
:<math>\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2</math>

[[superpozice|Superpozicí]] předchozích případů dostaneme zobecnění pro <math>Q_1\ne 0</math> a <math>Q_2\ne 0</math>, tzn.
:<math>\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2</math>
:<math>\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2</math>

Pro <math>n</math> těles, kde <math>i</math>-té těleso má náboj <math>Q_i</math> lze postupným opakováním předchozího postupu získat
:<math>\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math>,
kde <math>\varphi_{0i}</math> označuje potenciál <math>i</math>-tého tělesa. Koeficienty <math>B_{ik}</math> se označují jako '''potenciálové koeficienty'''. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.

Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy
:<math>B_{ij} = B_{ji}</math>
tedy [[matice]] koeficientů <math>B_{ik}</math> je [[symetrická matice|symetrická]].

Zápis <math>\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math> představuje [[soustava lineárních rovnic|soustavu]] <math>n</math> [[lineární rovnice|lineárních rovnic]] o <math>n</math> neznámých <math>Q_i</math>. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je [[determinant]] <math>B_{ij}</math> nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako
:<math>Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}</math>

Diagonální prvky matice <math>C_{ik}</math>, tzn. <math>C_{ii}</math>, se označují jako '''kapacitní koeficienty''', a nediagonální prvky matice <math>C_{ik}</math>, tzn. prvky <math>C_{ik}</math> pro <math>i\ne k</math>, se nazývají '''influenčními koeficienty'''.

Také matice <math>C_{ik}</math> je [[symetrická matice|symetrická]].

=== Kapacita a koeficienty ===
Kapacitní koeficient <math>C_{ii}</math> <math>i</math>-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity <math>C</math> stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita <math>C</math> je vždy větší než [[nula]], neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na <math>i</math>-tém vodiči, což způsobí, že <math>C_{ii}>C</math>. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty <math>C_{ii}</math> a <math>C</math> k sobě blížit.

Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí <math>C_{ik}<0</math> pro <math>i\ne k</math>. Pokud se snižuje vliv <math>i</math>-tého vodiče na <math>k</math>-tý, blíží se influenční koeficient <math>C_{ik}</math> k [[nula|nule]].

Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci [[kondenzátor]]ů.

== Související články ==
* [[Elektrický náboj]]
* [[Elektrický potenciál]]
* [[Kondenzátor]]
* [[Měřič kapacity]]
== Reference ==
<references/>

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Elektromagnetismus]]
[[Kategorie:Fyzikální veličiny]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 26:		Řádka 26:

	== Výpočet ==		== Výpočet ==
-	Izolované [[Elektrický vodič\|vodivé]] těleso s [[elektrický náboj\|nábojem]] <~~math~~>Q</math> vytváří ve svém okolí [[elektrický potenciál\|potenciál]] <~~math~~>\varphi</math>. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na <~~math~~>Q^\prime=kQ</math>, kde <~~math~~>k</math> je [[konstanta]], změní se také potenciál na <~~math~~>\varphi^\prime=k\varphi</math>. Bude tedy platit	+	Izolované [[Elektrický vodič\|vodivé]] těleso s [[elektrický náboj\|nábojem]] <big>\(Q</math> vytváří ve svém okolí [[elektrický potenciál\|potenciál]] <big>\(\varphi</math>. Pokud dojde ke změně náboje tělesa na <big>\(Q^\prime=kQ</math>, kde <big>\(k</math> je [[konstanta]], změní se také potenciál na <big>\(\varphi^\prime=k\varphi</math>. Bude tedy platit
-	:<~~math~~>\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}</math>	+	:<big>\(\frac{Q^\prime}{\varphi^\prime(\mathbf{r})}=\frac{Q}{\varphi(\mathbf{r})} = \mbox{konst}</math>
-	Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li <~~math~~>\varphi_0</math> hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem <~~math~~>Q</math>, pak platí	+	Poměr velikosti náboje tělesa a hodnoty potenciálu v určitém bodě tedy závisí pouze na geometrickém uspořádání tělesa a daného bodu. Je-li <big>\(\varphi_0</math> hodnota potenciálu na povrchu tělesa s nábojem <big>\(Q</math>, pak platí
-	:<~~math~~>C = \frac{Q}{\varphi_0}</math>,	+	:<big>\(C = \frac{Q}{\varphi_0}</math>,
-	kde <~~math~~>C</math> se nazývá '''elektrická kapacita'''.	+	kde <big>\(C</math> se nazývá '''elektrická kapacita'''.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
Řádka 36:		Řádka 36:

	== Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty ==		== Potenciálové, kapacitní a influenční koeficienty ==
-	Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je [[elektrování tělesa\|nabité]] s nábojem <~~math~~>Q_1\ne 0</math> a druhé je nenabité, tzn. <~~math~~>Q_2=0</math>. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo <~~math~~>Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}</math>, kde <~~math~~>C_{01}</math> je jeho kapacita a <~~math~~>\varphi_{01}^{(0)}</math> je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví [[indukovaný náboj]], který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje <~~math~~>Q_1</math> na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován [[konstanta\|konstantní]] potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na <~~math~~>\varphi_{01}^{(1)}</math> a <~~math~~>\varphi_{02}^{(1)}</math>.	+	Uvažujme dvě vodivá tělesa, z nichž jedno je [[elektrování tělesa\|nabité]] s nábojem <big>\(Q_1\ne 0</math> a druhé je nenabité, tzn. <big>\(Q_2=0</math>. Pokud by první těleso bylo v prostoru samo, potom by platilo <big>\(Q_1=C_{01}\varphi_{01}^{(0)}</math>, kde <big>\(C_{01}</math> je jeho kapacita a <big>\(\varphi_{01}^{(0)}</math> je jeho potenciál. Pokud nyní druhé, původně nenabité těleso, umístíme v dosahu působení elektrických sil prvního tělesa, pak se na druhém tělese objeví [[indukovaný náboj]], který se rozdělí po jeho povrchu. To má ovšem zpětně vliv na rozdělení náboje <big>\(Q_1</math> na povrchu prvního tělesa tak, aby byl zachován [[konstanta\|konstantní]] potenciál obou těles. Dojde tak ke změně potenciálů obou těles na <big>\(\varphi_{01}^{(1)}</math> a <big>\(\varphi_{02}^{(1)}</math>.


-	Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje <~~math~~>Q_1</math> na hodnotu <~~math~~>Q_1^\prime = kQ_1</math>, získáme na tělesech potenciály <~~math~~>k\varphi_{01}^{(1)}</math> a <~~math~~>k\varphi_{02}^{(1)}</math>. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem <~~math~~>Q_1</math>, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát	+	Jestliže na prvním tělese dojde ke změně náboje <big>\(Q_1</math> na hodnotu <big>\(Q_1^\prime = kQ_1</math>, získáme na tělesech potenciály <big>\(k\varphi_{01}^{(1)}</math> a <big>\(k\varphi_{02}^{(1)}</math>. Vzhledem k tomu, že danému rozložení náboje odpovídá určitý potenciál, musí existovat určité konstanty, které charakterizují vztah mezi potenciály a nábojem <big>\(Q_1</math>, přičemž tyto konstanty jsou závislé pouze na geometrickém uspořádání těles. Lze tedy psát
-	:<~~math~~>\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1</math>,	+	:<big>\(\varphi_{01}^{(1)} = B_{11}Q_1</math>,
-	:<~~math~~>\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1</math>,	+	:<big>\(\varphi_{02}^{(1)} = B_{21}Q_1</math>,
-	kde <~~math~~>B_{11},B_{21}</math> jsou konstanty.	+	kde <big>\(B_{11},B_{21}</math> jsou konstanty.


-	Použijeme-li stejnou úvahu pro případ <~~math~~>Q_1=0</math> a <~~math~~>Q_2\ne 0</math>, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem <~~math~~>Q_2</math> a potenciály <~~math~~>\varphi_{01}^{(2)}</math> a <~~math~~>\varphi_{02}^{(2)}</math>, tedy	+	Použijeme-li stejnou úvahu pro případ <big>\(Q_1=0</math> a <big>\(Q_2\ne 0</math>, dostaneme obdobné konstanty, které popisují vztah mezi nábojem <big>\(Q_2</math> a potenciály <big>\(\varphi_{01}^{(2)}</math> a <big>\(\varphi_{02}^{(2)}</math>, tedy
-	:<~~math~~>\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2</math>	+	:<big>\(\varphi_{01}^{(2)} = B_{12}Q_2</math>
-	:<~~math~~>\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2</math>	+	:<big>\(\varphi_{02}^{(2)} = B_{22}Q_2</math>


-	[[superpozice\|Superpozicí]] předchozích případů dostaneme zobecnění pro <~~math~~>Q_1\ne 0</math> a <~~math~~>Q_2\ne 0</math>, tzn.	+	[[superpozice\|Superpozicí]] předchozích případů dostaneme zobecnění pro <big>\(Q_1\ne 0</math> a <big>\(Q_2\ne 0</math>, tzn.
-	:<~~math~~>\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2</math>	+	:<big>\(\varphi_{01} = \varphi_{01}^{(1)} + \varphi_{01}^{(2)} = B_{11}Q_1 + B_{12}Q_2</math>
-	:<~~math~~>\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2</math>	+	:<big>\(\varphi_{02} = \varphi_{02}^{(1)} + \varphi_{02}^{(2)} = B_{21}Q_1 + B_{22}Q_2</math>


-	Pro <~~math~~>n</math> těles, kde <~~math~~>i</math>-té těleso má náboj <~~math~~>Q_i</math> lze postupným opakováním předchozího postupu získat	+	Pro <big>\(n</math> těles, kde <big>\(i</math>-té těleso má náboj <big>\(Q_i</math> lze postupným opakováním předchozího postupu získat
-	:<~~math~~>\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math>,	+	:<big>\(\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math>,
-	kde <~~math~~>\varphi_{0i}</math> označuje potenciál <~~math~~>i</math>-tého tělesa. Koeficienty <~~math~~>B_{ik}</math> se označují jako '''potenciálové koeficienty'''. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.	+	kde <big>\(\varphi_{0i}</math> označuje potenciál <big>\(i</math>-tého tělesa. Koeficienty <big>\(B_{ik}</math> se označují jako '''potenciálové koeficienty'''. Tyto koeficienty jsou určeny rozměry, tvarem a vzájemnými polohami všech vodivých těles.


	Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy		Lze dokázat, že potenciálové koeficienty splňují vztahy
-	:<~~math~~>B_{ij} = B_{ji}</math>	+	:<big>\(B_{ij} = B_{ji}</math>
-	tedy [[matice]] koeficientů <~~math~~>B_{ik}</math> je [[symetrická matice\|symetrická]].	+	tedy [[matice]] koeficientů <big>\(B_{ik}</math> je [[symetrická matice\|symetrická]].


-	Zápis <~~math~~>\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math> představuje [[soustava lineárních rovnic\|soustavu]] <~~math~~>n</math> [[lineární rovnice\|lineárních rovnic]] o <~~math~~>n</math> neznámých <~~math~~>Q_i</math>. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je [[determinant]] <~~math~~>B_{ij}</math> nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako	+	Zápis <big>\(\varphi_{0i} = \sum_{k=1}^n B_{ik}Q_k</math> představuje [[soustava lineárních rovnic\|soustavu]] <big>\(n</math> [[lineární rovnice\|lineárních rovnic]] o <big>\(n</math> neznámých <big>\(Q_i</math>. Tato soustava má právě jedno řešení, pokud je [[determinant]] <big>\(B_{ij}</math> nenulový. Řešení této soustavy je pak možné zapsat jako
-	:<~~math~~>Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}</math>	+	:<big>\(Q_i = \sum_{k=1}^n C_{ik}\varphi_{0k}</math>

-	Diagonální prvky matice <~~math~~>C_{ik}</math>, tzn. <~~math~~>C_{ii}</math>, se označují jako '''kapacitní koeficienty''', a nediagonální prvky matice <~~math~~>C_{ik}</math>, tzn. prvky <~~math~~>C_{ik}</math> pro <~~math~~>i\ne k</math>, se nazývají '''influenčními koeficienty'''.	+	Diagonální prvky matice <big>\(C_{ik}</math>, tzn. <big>\(C_{ii}</math>, se označují jako '''kapacitní koeficienty''', a nediagonální prvky matice <big>\(C_{ik}</math>, tzn. prvky <big>\(C_{ik}</math> pro <big>\(i\ne k</math>, se nazývají '''influenčními koeficienty'''.

-	Také matice <~~math~~>C_{ik}</math> je [[symetrická matice\|symetrická]].	+	Také matice <big>\(C_{ik}</math> je [[symetrická matice\|symetrická]].

	=== Kapacita a koeficienty ===		=== Kapacita a koeficienty ===
-	Kapacitní koeficient <~~math~~>C_{ii}</math> <~~math~~>i</math>-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity <~~math~~>C</math> stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita <~~math~~>C</math> je vždy větší než [[nula]], neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na <~~math~~>i</math>-tém vodiči, což způsobí, že <~~math~~>C_{ii}>C</math>. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty <~~math~~>C_{ii}</math> a <~~math~~>C</math> k sobě blížit.	+	Kapacitní koeficient <big>\(C_{ii}</math> <big>\(i</math>-tého vodivého tělesa je odlišný od kapacity <big>\(C</math> stejného tělesa, které je osamocené. Kapacita <big>\(C</math> je vždy větší než [[nula]], neboť na osamoceném vodivém tělese vyvolá kladný náboj kladný potenciál a záporný náboj záporný potenciál. Vliv dalších vodivých těles má za následek pokles potenciálu na <big>\(i</math>-tém vodiči, což způsobí, že <big>\(C_{ii}>C</math>. Nemůže přitom dojít ke změně znaménka potenciálu. Pokud se vliv okolních vodičů bude snižovat, budou se hodnoty <big>\(C_{ii}</math> a <big>\(C</math> k sobě blížit.

-	Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí <~~math~~>C_{ik}<0</math> pro <~~math~~>i\ne k</math>. Pokud se snižuje vliv <~~math~~>i</math>-tého vodiče na <~~math~~>k</math>-tý, blíží se influenční koeficient <~~math~~>C_{ik}</math> k [[nula\|nule]].	+	Ze skutečnosti, že kladně nabité vodivé těleso indukuje na bližší straně druhého vodivého tělesa záporný náboj lze odvodit, že pro influenční koeficienty vždy platí <big>\(C_{ik}<0</math> pro <big>\(i\ne k</math>. Pokud se snižuje vliv <big>\(i</math>-tého vodiče na <big>\(k</math>-tý, blíží se influenční koeficient <big>\(C_{ik}</math> k [[nula\|nule]].

	Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci [[kondenzátor]]ů.		Influenční koeficient mezi dvěma vodiči, z nichž jeden zcela obklopuje druhý, bude roven kapacitě vnitřního vodiče s opačným znaménkem. Toto uspořádání je významné pro konstrukci [[kondenzátor]]ů.

Elektrická kapacita - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + NEW

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“