Sysop: + Aktualizace

2023-05-31T08:00:59Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 31. 5. 2023, 08:00
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-cs\|Exponenciální rovnice\|~~700~~}}	+	'''Exponenciální rovnice''' má neznámou v [[Umocňování\|exponentu (mocniteli)]]. <ref>{{Citace elektronického periodika \|titul=Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady \|url=http://www.matweb.cz/exponencialni-rovnice \|datum přístupu=2012-02-09 \|url archivu=https://web.archive.org/web/20120223191259/http://www.matweb.cz/exponencialni-rovnice \|datum archivace=2012-02-23 }}</ref><ref>{{Citace elektronického periodika \|titul=Exponenciální rovnice - teorie a řešené příklady \|url=http://matfiz.xf.cz/soubory/exporovnice.pdf \|datum přístupu=2012-02-09 \|url archivu=https://web.archive.org/web/20120131052252/http://matfiz.xf.cz/soubory/exporovnice.pdf \|datum archivace=2012-01-31 }}</ref>

		+	''Příklad exponenciální rovnice:''
		+
		+	<big>\(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)</big>
		+
		+	== Řešení exponenciální rovnice ==
		+	=== Stejné základy ===
		+	V případě, že máme na obou stranách stejné základy mocniny (mocněnce), jde o nejjednodušší způsob řešení exponenciální rovnice.
		+
		+	''Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:''
		+
		+	# <big>\(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)</big>
		+	# Základ 4 se dá napsat jako <big>\(2^2\)</big><br /><big>\(2^{3 - x}=2^{2(2 - x)}\)</big>
		+	# Nyní máme stejné základy na obou stranách rovnice, takže to lze napsat následovně:<br /><big>\(3 - x = 2(2 - x)\)</big>
		+	# Nyní to budeme řešit jako [[Lineární rovnice\|lineární rovnici]]:<br /><big>\(3 - x = 4 - 2x\)</big>
		+	# <big>\(-x + 2x = 4 - 3\)</big>
		+	# <big>\(x = 1\)</big><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí stejného základu.
		+
		+	=== [[Logaritmus\|Logaritmování]] ===
		+	V případě, že nemáme mít na obou stranách stejné základy, se rovnice řeší [[Logaritmická rovnice\|zlogaritmováním]].
		+
		+	''Příklad tohoto typu exponenciální rovnice a jejího řešení:''
		+
		+	# <big>\(2^{3 - x}=4^{2 - x}\)</big>
		+	# Zlogaritmujeme rovnici:<br /><big>\(\log 2^{3 - x}=\log 4^{2 - x}\)</big>
		+	# Využijeme větu o logaritmech – přesuneme exponenty před logaritmus:<br /><big>\((3 - x) \cdot \log 2=(2 - x) \cdot \log 4\)</big>
		+	# Vynásobíme závorky s logaritmem:<br /><big>\(3 \cdot \log 2 - x \cdot \log 2=2 \cdot \log 4 - x \cdot \log 4\)</big>
		+	# Výrazy s neznámou x osamostatníme na jednu stranu [[rovnice]]:<br /><big>\(- x \cdot \log 2 + x \cdot \log 4 = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
		+	# Vytkneme x:<br /><big>\(x \cdot (-\log 2 + \log 4) = 2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2\)</big>
		+	# Připravíme si rovnici k vyřešení a dopočítáme:<br /><big>\(x=\frac{2 \cdot \log 4 - 3 \cdot \log 2}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 4^2 - \log 2^3}{-\log 2 + \log 4} = \frac{\log 16 - \log 8}{-\log 2 + \log 4}\)</big>
		+	# Řešení rovnice je:<br /><big>\(x = 1\)</big><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí [[Logaritmus\|logaritmu]].
		+
		+	=== Substituce ===
		+	Řešit exponenciální rovnici lze také pomocí [[Substituce (matematika)\|substituce]].
		+
		+	''Příklad postupu řešení:''
		+
		+	# <big>\(2^{2x} + 2^{x} - 6 = 0\)</big>
		+	# Zavedeme [[Substituce (matematika)\|substituci]] <big>\(a = 2^{x}\)</big>:<br /><big>\(a^{2} + a - 6 = 0\)</big>
		+	# Vypočítáme kvadratickou rovnici:<br /><big>\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}\)</big><br /><br /><big>\(a_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2\)</big><br /><br /><big>\(a_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)</big>
		+	# Nyní si můžeme napsat 2 [[rovnice]]:
		+	## <big>\(2 = 2^x\)</big>
		+	## <big>\(-3 = 2^x\)</big>
		+	# Vyřešíme obě [[rovnice]]:
		+	## <big>\(2 = 2^x\)</big>
		+	### Rovnici budeme řešit pomocí stejného základu (lze to i zlogaritmovat), číslo <big>\(2\)</big> se dá napsat jako <big>\(2^1\)</big>:<br /><big>\(2^1 = 2^x\)</big>
		+	### <big>\(1 = x\)</big>
		+	### Výsledek je:<br /><big>\(x = 1\)</big><br />Tím je vyřešená jednoduchá exponenciální rovnice pomocí substituce.
		+	## <big>\(-3 = 2^x\)</big><br />Rovnici bychom řešili pomocí [[Logaritmus\|logaritmu]], ale zde to nejde, protože logaritmus záporného nelze řešit.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Umocňování]]
		+	* [[Logaritmus]]
		+	* [[Substituce (matematika)]]
		+	* [[Vytýkání]]
		+	* [[Rovnice]]
		+	* [[Lineární rovnice]]
		+	* [[Kvadratická rovnice]]
		+	* [[Kubická rovnice]]
		+	* [[Kvartická rovnice]]
		+	* [[Binomická rovnice]]
		+
		+	== Reference ==
		+	<references/>
		+	== Externí odkazy ==
		+	* [https://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/exponencialni-rovnice.php Exponenciální rovnice – řešené příklady]
		+	* [https://www.priklady.eu/cs/matematika/exponencialni-rovnice.alej Exponenciální rovnice – řešené příklady]
		+	* [http://www.aristoteles.cz/matematika/rovnice/exponencialni/exponencialni-rovnice-resene-priklady.php Exponenciální rovnice – řešené příklady]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Rovnice]]		[[Kategorie:Rovnice]]

Ivan Drago: 1 revizi

2014-05-12T14:07:13Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 12. 5. 2014, 14:07

Sysop: 1 revizi

2012-10-29T14:28:00Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Exponenciální rovnice|700}}

[[Kategorie:Rovnice]]

Exponenciální rovnice - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Ivan Drago: 1 revizi

Sysop: 1 revizi