Faktoriál - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:51:43Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:51
Řádka 2:		Řádka 2:

	{\|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0"		{\|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0"
-	! <big>\(n</~~math~~>	+	! <big>$n$</big>
-	! <big>\(n!</~~math~~>	+	! <big>$n!$</big>
	\|-		\|-
	\| 0 \|\| 1		\| 0 \|\| 1
Řádka 70:		Řádka 70:
	== Definice ==		== Definice ==
	Faktoriál je formálně definován takto:		Faktoriál je formálně definován takto:
-	:<big>\(n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</~~math~~>	+	:<big>$n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0$</big>

	Například:		Například:
-	:<big>\(5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</~~math~~>	+	:<big>$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$</big>

	Jako speciální případ prázdného součinu platí, že		Jako speciální případ prázdného součinu platí, že
-	:<big>\(0! = 1</~~math~~>	+	:<big>$0! = 1$</big>

	Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo\|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika\|statistice]]:		Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo\|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika\|statistice]]:
-	:<big>\(z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</~~math~~>	+	:<big>$z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt$</big>

-	Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro <big>\(\operatorname{Re}\, z > -1</~~math~~>, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření\|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina\|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).	+	Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro <big>$\operatorname{Re}\, z > -1$</big>, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření\|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina\|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).

	Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná		Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
Řádka 90:		Řádka 90:

	Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]:		Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]:
-	:<big>\({n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</~~math~~>	+	:<big>${n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}$</big>

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
	Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec\|Stirlingovým vzorcem]]:		Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec\|Stirlingovým vzorcem]]:

-	:<big>\(n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</~~math~~>	+	:<big>$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n$</big>

	== Dvojitý faktoriál, multifaktoriál ==		== Dvojitý faktoriál, multifaktoriál ==
	Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako		Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
-	:<big>\(n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</~~math~~>	+	:<big>$n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.$</big>

-	Například <big>\(8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</~~math~~>,nebo <big>\(9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</~~math~~>.	+	Například <big>$8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384$</big>,nebo <big>$9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945$</big>.

	Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná		Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
Řádka 107:		Řádka 107:

	I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.		I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.
-	:<big>\(\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</~~math~~>	+	:<big>$\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}$</big>

	Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!<sup>(''k'')</sup>).		Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!<sup>(''k'')</sup>).

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:30Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-07T16:33:36Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 7. 8. 2014, 16:33
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs~~\|~~Faktoriál~~\|~~700}}~~	+	V [[matematika\|matematice]] je '''faktoriál''' čísla ''n'' (značeno pomocí [[vykřičník]]u: '''''n''!''') číslo, rovné součinu všech [[kladné číslo\|kladných]] [[celé číslo\|celých čísel]] menších nebo rovných ''n'', pokud je ''n'' kladné a 1 pokud ''n = 0''. Značení ''n''! vyslovujeme jako „''n'' faktoriál“. Toto značení zavedl Christian Kramp v roce 1808.

-	{{FlickrTag\|~~factorial~~}}	+	{\|class="wikitable" style="float: right; margin-left: 1em" cellspacing="0"
		+	! <math>n</math>
		+	! <math>n!</math>
		+	\|-
		+	\| 0 \|\| 1
		+	\|-
		+	\| 1 \|\| 1
		+	\|-
		+	\| 2 \|\| 2
		+	\|-
		+	\| 3 \|\| 6
		+	\|-
		+	\| 4 \|\| 24
		+	\|-
		+	\| 5 \|\| 120
		+	\|-
		+	\| 6 \|\| 720
		+	\|-
		+	\| 7 \|\| 5 040
		+	\|-
		+	\| 8 \|\| 40 320
		+	\|-
		+	\| 9 \|\| 362 880
		+	\|-
		+	\| 10 \|\| 3 628 800
		+	\|-
		+	\| 15 \|\| 1 307 674 368 000
		+	\|-
		+	\| 20 \|\| 2 432 902 008 176 640 000
		+	\|-
		+	\| 25 \|\| 15 511 210 043 330 985 984 000 000
		+	\|-
		+	\| 50 \|\| 3,041 409 32… × 10<sup>64</sup>
		+	\|-
		+	\| 70 \|\| 1,197 857 17… × [[googol\|10<sup>100</sup>]]
		+	\|-
		+	\| 100 \|\| 9.3326215444{{e\|157}}
		+	\|-
		+	\| 171 \|\| 1.2410180702{{e\|309}}
		+	\|-
		+	\| 450 \|\| 1,733 368 73… × 10<sup>1 000</sup>
		+	\|-
		+	\| 1,000 \|\| 4.0238726008 × 10<sup>2,567</sup>
		+	\|-
		+	\| 3 249 \|\| 6,412 337 68… × 10<sup>10 000</sup>
		+	\|-
		+	\| 25 206 \|\| 1,205 703 438… × 10<sup>100 000</sup>
		+	\|-
		+	\| 47 176 \|\| 8,448 573 149 5… × 10<sup>200 001</sup>
		+	\|-
		+	\| 100 000 \|\| 2,824 229 407 9… × 10<sup>456 573</sup>
		+	\|-
		+	\| 200 000 \|\| 1,420 225 345 47… × 10<sup>973 350</sup>
		+	\|-
		+	\| 205,023 \|\| 2.5038989317 × 10<sup>1,000,004</sup>
		+	\|-
		+	\| 300 000 \|\| 1,477 391 531 738… × 10<sup>1 512 851</sup>
		+	\|-
		+	\| 1 000 000 \|\| 8,263 931 688 3… × 10<sup>5 565 708</sup>
		+	\|-
		+	\| 1.0248383838{{e\|98}} \|\| [[googolplex\|10<sup>1.0000000000{{e\|100}}</sup>]]
		+	\|-
		+	\| [[googol\|1{{e\|100}}]] \|\| 10<sup>9.9565705518{{e\|101}}</sup>
		+	\|-
		+	\| 1.7976931349{{e\|308}} \|\| 10<sup>5.5336665775{{e\|310}}</sup>
		+	\|}
		+
		+	== Definice ==
		+	Faktoriál je formálně definován takto:
		+	:<math>n! = 1 \cdot 2 \dotsb n = \prod_{k=1}^n k\qquad\mbox{pro }n \ge 0</math>
		+
		+	Například:
		+	:<math>5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120</math>
		+
		+	Jako speciální případ prázdného součinu platí, že
		+	:<math>0! = 1</math>
		+
		+	Zobecněním faktoriálu pro obor [[komplexní číslo\|komplexních čísel]] je [[gama funkce]], používaná v mnoha oblastech matematiky, například ve [[statistika\|statistice]]:
		+	:<math>z! = \Gamma(z+1) = \int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt</math>
		+
		+	Ačkoliv uvedený [[integrál]] konverguje pouze pro <math>\operatorname{Re}\, z > -1</math>, lze zobecněný faktoriál [[holomorfní rozšíření\|holomorfně rozšířit]] na celou [[komplexní rovina\|komplexní rovinu]] kromě celých záporných čísel (−1, −2, …).
		+
		+	Posloupnost faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
		+	:1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000, …
		+
		+	== Využití ==
		+	Faktoriály se hojně vyskytují v [[kombinatorika\|kombinatorice]]. Faktoriál čísla ''n'' udává počet [[permutace\|permutací]] množiny ''n'' prvků, tzn. počet způsobů, jak seřadit ''n'' různých objektů.
		+
		+	Pomocí faktoriálů lze také spočítat [[kombinační číslo]]:
		+	:<math>{n\choose k} = {n!\over k!(n-k)!}</math>
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	Faktoriál je velice rychle rostoucí funkce. Jeho přibližnou hodnotu pro velká ''n'' lze vypočítat [[Stirlingův vzorec\|Stirlingovým vzorcem]]:
		+
		+	:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n</math>
		+
		+	== Dvojitý faktoriál, multifaktoriál ==
		+	Kromě běžného faktoriálu je možné definovat také '''dvojitý faktoriál''', značený ''n''!!, ve kterém se činitelé snižují po dvou namísto po jedné. Je možno ho rekurzivně definovat jako
		+	:<math>n!!= \left\{ \begin{matrix} 1,\qquad\quad\ &&\mbox{pro }n=0\mbox{ nebo }n=1; \\ n(n-2)!!&&\mbox{pro }n\ge2.\qquad\qquad \end{matrix} \right.</math>
		+
		+	Například <math>8!! = 8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 384</math>,nebo <math>9!! = 9 \cdots 7 \cdots 5 \cdots 3 \cdots 1 = 945</math>.
		+
		+	Posloupnost dvojitých faktoriálů čísel 0, 1, 2, … začíná
		+	:1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, …
		+
		+	I dvojitý faktoriál váže vztahy ke gama funkci, např.
		+	:<math>\Gamma\left(n+{1\over2}\right)=\sqrt\pi{(2n-1)!!\over2^n}</math>
		+
		+	Kromě dvojitého faktoriálu lze tuto ideu dále zobecnit na (již nepříliš používané) '''multifaktoriály''' ''n''!!!, ''n''!!!! atd. (obecně ''n''!<sup>(''k'')</sup>).
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Taylorova řada]]
		+	== Externí odkazy ==
		+	* [http://mathworld.wolfram.com/Factorial.html Faktoriál v encyklopedii MathWorld]
		+	* [http://www.elektro-energetika.cz/new/calculations/faktorial.php Online výpočet faktoriálu] až 40000! na všechna platná místa
		+
		+
		+	{{FlickrTag\|Factorial}}{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Matematické funkce]]		[[Kategorie:Matematické funkce]]
	[[Kategorie:Kombinatorika]]		[[Kategorie:Kombinatorika]]
	[[Kategorie:Teorie čísel]]		[[Kategorie:Teorie čísel]]

Sysop: 1 revizi

2014-03-18T12:09:43Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 18. 3. 2014, 12:09

Sysop: + Výrazné vylepšení

2012-10-22T00:06:44Z

+ Výrazné vylepšení

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Faktoriál|700}}

{{FlickrTag|factorial}}
[[Kategorie:Matematické funkce]]
[[Kategorie:Kombinatorika]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]