http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?action=history&feed=atom&title=Frobeniova_v%C4%9BtaFrobeniova věta - Historie editací2026-05-31T23:47:30ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.16.5http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?title=Frobeniova_v%C4%9Bta&diff=2587386&oldid=prevSysop: + NEW2023-06-02T16:40:21Z<p>+ NEW</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>'''Frobeniova věta''' z [[Lineární algebra|lineární algebry]] udává nutnou a postačující podmínku pro existenci [[Řešení rovnice|řešení]] [[Soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]], konkrétně v závislosti na hodnostech matice soustavy a její rozšířené matice. <br />
<br />
Je pojmenována podle německého matematika Ferdinanda Georga Frobenia (* 1849, † 1917).<br />
<br />
== Formální znění ==<br />
Nehomogenní [[Soustava lineárních rovnic|soustava lineárních algebraických rovnic]] má řešení, právě když [[hodnost matice]] soustavy je rovna hodnosti [[Rozšířená matice soustavy|rozšířené matice soustavy]]: <big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big>. <br />
<br />
V tomto případě je soustava vnitřně bezrozporná. Pokud je hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> rovna počtu neznámých, má soustava jedno řešení. Pokud je <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big> menší než počet neznámých, je řešení více.<br />
<br />
Hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> nemůže být z definice větší než počet neznámých, ale je-li hodnost rozšířené matice soustavy <big>\((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})\)</big> větší než počet neznámých, nemůže být splněna podmínka Frobeniovy věty a soustava proto nemá žádné řešení.<br />
<br />
V případě, že soustava má řešení, pak množina řešení tvoří afinní podprostor dimenze <math display="inline">n-\operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big>, kde <big>\(n\)</big> značí počet neznámých.<br />
<br />
== Ukázka ==<br />
Soustava rovnic v oboru reálných čísel<br />
: <big>\( \begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 3\\ x &+& y &+& z &=& 1\\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 2 \end{array}\)</big><br />
<br />
má matici soustavy<br />
: <big>\(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)</big><br />
<br />
a rozšířenou matici <br />
<br />
: <big>\((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b}) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{array}\right)\)</big><br />
<br />
Protože obě mají stejnou hodnost, konkrétně <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A}=\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b})=2\)</big>, existuje alespoň jedno řešení. Navíc je jejich hodnost menší než počet neznámých, tj. 3, a proto existuje nekonečně mnoho řešení.<br />
<br />
Naopak soustava<br />
<br />
<big>\(\begin{array}{rcrcrcr} x &+& y &+& 2z &=& 3\\ x &+& y &+& z &=& 1\\ 2x &+& 2y &+& 2z &=& 5 \end{array}\)</big><br />
<br />
má matici soustavy<br />
: <big>\(\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix}\)</big><br />
<br />
a rozšířenou matici <br />
<br />
: <big>\((\boldsymbol{A}|\boldsymbol{b}) = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3\\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 5 \end{array}\right) \)</big><br />
<br />
V tomto případě má matice soustavy hodnost 2, avšak rozšířená matice má hodnost 3; takže tato soustava rovnic nemá řešení. Nárůst počtu lineárně nezávislých sloupců způsobil, že soustava rovnic je nekonzistentní.<br />
<br />
== Pojmenování ==<br />
Věta se ve světě uvádí i pod jmény dalších matematiků, kteří na této otázce pracovali – patří sem [[Leopold Kronecker]], [[Alfredo Capelli]], [[Georges Fontené]] a [[Eugène Rouché]]: <br />
* Konkrétně se nazývá '''Rouchého–Capelliho věta''' v anglicky a portugalsky mluvících zemích a [[Itálie|Itálii]] <br />
* '''Kroneckerova-Capelliho věta''' v německy mluvících zemích, [[Polsko|Polsku]], [[Rumunsko|Rumunsku]], [[Srbsko|Srbsku]] a [[Rusko|Rusku]]<br />
* '''Rouchého–Fonténého věta''' ve frankofonním světě a '''Rouchého–Frobeniova věta''' ve španělsky mluvících zemích.<br />
<br />
== Související články ==<br />
* [[Hodnost matice]]<br />
* [[Lineární závislost]]<br />
* [[Matice]]<br />
* [[Soustava lineárních rovnic]]<br />
<br />
== Literatura ==<br />
* {{Citace monografie<br />
| příjmení = Bečvář<br />
| jméno = Jindřich<br />
| titul = Lineární algebra<br />
| vydání = 1.<br />
| vydavatel = Matfyzpress<br />
| místo = Praha<br />
| rok vydání = 2019<br />
| počet_stran = 436<br />
| isbn = 978-80-7378-392-1<br />
}}<br />
* {{Citace monografie<br />
| příjmení = Hladík<br />
| jméno = Milan<br />
| titul = Lineární algebra (nejen) pro informatiky<br />
| vydání = 1.<br />
| vydavatel = Matfyzpress<br />
| místo = Praha<br />
| rok vydání = 2019<br />
| počet_stran = 328<br />
| strany = 39<br />
| isbn = 978-80-7378-378-5<br />
}}<br />
* {{Citace elektronické monografie<br />
| příjmení = Olšák<br />
| jméno = Petr<br />
| titul = Lineární algebra<br />
| url = http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf<br />
| místo = Praha<br />
| datum vydání = 2007<br />
| datum přístupu = 2023-02-20<br />
}}<br />
<br />
<br />
{{Článek z Wikipedie}}<br />
[[Kategorie:Rovnice]]<br />
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]</div>Sysop