Sysop: + NEW

2026-07-09T11:48:40Z

+ NEW

Nová stránka

'''Hodnost''' je termín z [[Lineární algebra|lineární algebry]]. Hodnost [[matice]] označuje <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> [[dimenze vektorového prostoru|dimenzi vektorového prostoru]] [[Lineární obal|generovaného]] sloupci <big>\(\boldsymbol{A}\)</big>, což odpovídá maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. Lze ukázat, že hodnost matice je rovna dimenzi vektorového prostoru generovaného jejími řádky, čili maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků.

Hodnost matice je jednou z jejích základních charakteristik. Hodnost odpovídá míře „nedegenerovanosti“ příslušné [[Soustava lineárních rovnic|soustavy lineárních rovnic]], resp. [[Lineární zobrazení|lineárního zobrazení]].

Hodnost se běžně označuje jako <big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A})\)</big> <ref>ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, [https://csnonline.agentura-cas.cz/Detailnormy.aspx?k=511177 2020-11-01. detail].</ref>, v české literatuře i <big>\(h(\boldsymbol{A})\)</big><ref>{{Citace monografie
| příjmení = Bärtsch
| jméno = Hans-Jochen
| titul = Matematické vzorce
| vydavatel = Academia
| místo = Praha
| rok = 2006
| počet_stran = 832
| kapitola = Matice
| strany = 186
| isbn = 80-200-1448-9
}}</ref>. Je-li parametrem jen jedna matice, není třeba psát závorky: <big>\(\operatorname{rank} \boldsymbol{A}\)</big>.

== Definice ==
Pro matici <big>\(\boldsymbol A\)</big> typu <big>\(m\times n\)</big> s prvky z libovolného [[Těleso (algebra)|tělesa]] <big>\(K\)</big> (např. [[Reálné číslo|reálných]] či [[Komplexní číslo|komplexních čísel]]) je

* '''Sloupcová hodnost''' matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> rovna [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] jejího sloupcového prostoru, neboli podprostoru <big>\(K^m\)</big> generovaného sloupci matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big>.

* '''Řádková hodnost''' matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> rovna dimenzi jejího řádkového prostoru, neboli podprostoru <big>\(K^n\)</big> generovaného transpozicemi řádků matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> (řádky jsou transponovány, protože aritmetické vektory jsou obvykle sloupcové).

Jak je naznačeno v odstavcích [[Hodnost#Gaussova eliminace|o výpočtu hodnosti Gaussovou eliminací]] nebo [[Hodnost#Hodnostní rozklad|o hodnostním rozkladu]], sloupcová a řádková hodnost matice definované nad tělesem<ref>U matic nad [[Okruh (algebra)|okruhy]] nemusejí mít [[Modul (matematika)|moduly]] generované sloupci resp. řádky matice bázi, a i kdyby báze existovaly, nemusejí mít jednoznačný počet prvků. I v případě, že by sloupcová a řádková hodnost dané matice nad okruhem byly dobře definovány, mohou se tyto lišit.</ref> se vždy shodují, a proto se označuje jako '''hodnost matice''' <big>\(\boldsymbol{A}\)</big>. Další ekvivalentní definice hodnosti jsou uvedeny v sekci [[Hodnost#Alternativní definice|Alternativní definice]].

O matici <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> typu <big>\(m\times n\)</big> se říká, že má '''plnou hodnost''', pokud <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A}=\min\{m,n\}\)</big>, čili pokud má nejvyšší možnou hodnost mezi maticemi stejných rozměrů.<ref>{{Citace elektronického periodika
| titul = Archivovaná kopie
| url = https://math.feld.cvut.cz/ftp/dont/2009/kap1.pdf#page=15
| url archivu = https://web.archive.org/web/20181104211141/https://math.feld.cvut.cz/ftp/dont/2009/kap1.pdf#page=15
| datum archivace = 2018-11-04
| datum přístupu = 2018-11-04
}}</ref>

Podobně lze definovat i hodnost [[Lineární zobrazení|lineárního zobrazení]] <big>\(f\)</big> jako [[Dimenze vektorového prostoru|dimenzi]] jeho [[Obor hodnot|oboru hodnot]]:
:<big>\(\operatorname{rank}(f)= \dim (\operatorname{img} (f))\)</big>,
kde symbol <big>\(\dim\)</big> značí dimenzi [[vektorový prostor|vektorového prostoru]] a <big>\(\operatorname{img}\)</big> značí obor hodnot zobrazení.

=== Ukázky ===
Reálná matice

:<big>\(\begin{pmatrix}1&0&1\\-2&-3&1\\3&3&0\end{pmatrix}\)</big>

má (sloupcovou) hodnost 2: První dva sloupce jsou [[Lineární závislost|lineárně nezávislé]], takže hodnost je alespoň 2. Třetí sloupec je [[Lineární kombinace|lineární kombinací]] prvních dvou (první mínus druhý), a tak jsou všechny tři sloupce lineárně závislé a hodnost je menší než 3. Podobně je i řádková hodnost rovna dvěma, např. protože poslední řádek je nezávislý na prvním, ale prostřední je jejich rozdílem.

Reálná matice

:<big>\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{pmatrix}\)</big>

má hodnost 1: Matice obsahuje i nenulové sloupce, takže hodnost je kladná, ale kterákoli dvojice sloupců je lineárně závislá.

Matice k ní [[Transpozice matice|transponovaná]]

:<big>\(\boldsymbol{A}^{\mathrm T} = \begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\\0&0\\2&-2\end{pmatrix}\)</big>

má také hodnost 1, protože první sloupec je netriviální a druhý sloupec je jeho (-1)-násobek. [[Sloupcový vektor|Sloupcové vektory]] matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> jsou řádkové vektory její transpozice <big>\(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}\)</big>, a proto je tvrzení, že sloupcová hodnost matice se rovná její řádkové hodnosti, ve skutečnosti ekvivalentní tvrzení, že hodnost matice se nezmění při transpozici, tj. <big>\(\operatorname{rank} \boldsymbol{A} = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) \)</big>.

== Výpočet hodnosti ==

=== Gaussova eliminace ===
{{Podrobně|Gaussova eliminace}}
Jednoduchým postupem k nalezení hodnosti matice je její redukce na řádkově [[Odstupňovaný tvar matice|odstupňovaný tvar]] pomocí elementárních řádkových úprav. Řádkové úpravy nemění řádkový prostor a proto nemění ani jeho dimenzi. Protože jsou elementární řádkové úpravy [[Inverzní zobrazení|invertibilní]], zobrazují sloupcový prostor na izomorfní prostor, a tudíž zachovávají dimenzi sloupcových prostorů. Nenulové řádky matice v odstupňovaném tvaru jsou lineárně nezávislé, a proto je hodnost rovna jejich počtu, resp. počtu pivotů. Sloupce s pivoty jsou ze stejného důvodu lineárně nezávislé, generují ostatní nenulové sloupce a proto i celý sloupcový prostor.

=== Ukázka ===
Reálnou matici

:<big>\(\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix}\)</big>

lze převést do řádkově odstupňovaného tvaru pomocí následujících elementárních ekvivalentních řádkových úprav:

:<big>\(\begin{align} \begin{pmatrix}1&2&1\\-2&-3&1\\3&5&0\end{pmatrix} &\xrightarrow{2R_1 + R_2 \to R_2} \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\3&5&0\end{pmatrix} \xrightarrow{-3R_1 + R_3 \to R_3} \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&-1&-3\end{pmatrix} \\ &\xrightarrow{R_2 + R_3 \to R_3} \,\, \begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix} \xrightarrow{-2R_2 + R_1 \to R_1} \begin{pmatrix}1&0&-5\\0&1&3\\0&0&0\end{pmatrix}~. \end{align}\)</big>

Výsledná matice v řádkově odstupňovaném tvaru má dva nenulové řádky, a tudíž jsou hodnost výsledné matice i hodnost původní matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> rovny 2.

=== Numerické záležitosti ===
U výpočtů s plovoucí desetinnou čárkou na počítačích může být základní Gaussova eliminace ([[LU rozklad]]) numericky nespolehlivá. Účinnou alternativou je [[singulární rozklad]] (SVD). Výpočetně jednodušší možností je výpočet [[QR rozklad|QR rozkladu]] s pivotováním, který je numericky stabilnější než Gaussova eliminace. Při numerických výpočtech hodnosti je třeba zavést kritérium, podle kterého se má s dostatečně hodnotou zacházet jako s nulou (např. se singulární hodnotou ze SVD rozkladu). Volba vhodného kritéria závisí jak na matici, tak na aplikaci.

== Alternativní definice ==
Ve všech definicích v této části je matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> brána jako matice typu <big>\(m\times n\)</big> nad libovolným [[Komutativní těleso|tělesem]] <big>\(T\)</big> .

=== Dimenze obrazu ===
Dané matici <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> odpovídá [[lineární zobrazení]] <big>\(f : T^n \to T^m\)</big> definované vztahem <big>\(f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{Ax}\)</big>. Hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je dimenze obrazu prostoru <big>\(T^{n}\)</big> v zobrazení <big>\(f\)</big>. Uvedeným způsobem lze definovat '''hodnost lineárního zobrazení''', aniž by bylo třeba volit matici tohoto zobrazení.

=== Hodnost pomocí nulity ===
Hodnost lineárního zobrazení <big>\(f\)</big> jako v předchozím odstavci je podle [[Věta o dimenzích jádra a obrazu|věty o dimenzích jádra a obrazu]] rovna rozdílu <big>\(n\)</big> a dimenze [[Jádro matice|jádra]] <big>\(f\)</big>.

=== Hodnostní rozklad ===
Hodnost <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je nejmenší celé číslo <big>\(k\)</big> takové, že <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> lze rozložit na součin <big>\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{CR}\)</big>, kde <big>\(\boldsymbol{C}\)</big> je matice typu <big>\(m\times k\)</big> a <big>\(\boldsymbol{R}\)</big> je matice typu <big>\(k\times n\)</big>.
Uvedený součin <big>\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{CR}\)</big> se nazývá ''hodnostní rozklad'' matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big>. Pro každé celé číslo <big>\(k\)</big> jsou totiž ekvivalentní následující podmínky:

# sloupcová hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je nejvýše <big>\(k\)</big>,
# existuje <big>\(k\)</big> sloupcových vektorů <big>\(\boldsymbol{c}_1,\ldots,\boldsymbol{c}_k\)</big> délky <big>\(m\)</big> takových, že každý sloupec <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je lineární kombinací <big>\(\boldsymbol{c}_1,\ldots,\boldsymbol{c}_k\)</big> ,
# existují matice <big>\(\boldsymbol{C}\)</big> typu <big>\(m \times k\)</big> a matice <big>\(\boldsymbol{R}\)</big> typu <big>\(k \times n\)</big> takové, že <big>\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{CR}\)</big>,
# existuje <big>\(k\)</big> řádkových vektorů <big>\(\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_k\)</big> délky <big>\(n\)</big> takových, že každý řádek <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je lineární kombinací <big>\(\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_k\)</big>,
# řádková hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je nejvýše <big>\(k\)</big>.

Ekvivalence lze přímočaře dokázat z dílčích vztahů: <big>\((1)\Leftrightarrow(2)\Leftrightarrow(3)\Leftrightarrow(4)\Leftrightarrow(5)\)</big>. Např. pro důkaz implikace <big>\((2)\Rightarrow(3)\)</big> se <big>\(\boldsymbol{C}\)</big> sestaví ze sloupců <big>\(\boldsymbol{c}_1,\ldots,\boldsymbol{c}_k\)</big> a pro <big>\((3)\Rightarrow(2)\)</big> se za <big>\(\boldsymbol{c}_1,\ldots,\boldsymbol{c}_k\)</big> vezmou sloupce matice <big>\(\boldsymbol{C}\)</big>.

Ekvivalence <big>\((1)\Leftrightarrow(5)\)</big> odpovídá již zmíněnému tvrzení, že řádková a sloupcová hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> se shodují.

Podobně jako v definici hodnosti pomocí dimenze „dimenze obrazu“ lze uvedený přístup zobecnit na definici hodnosti libovolného lineárního zobrazení <big>\(f:U\to V\)</big> jako nejmenší dimenzi <big>\(k\)</big> meziprostoru <big>\(W\)</big> takového, že <big>\(f\)</big> lze zapsat jako složení zobrazení <big>\(U\to W\)</big> a zobrazení <big>\(W\to V\)</big>. Uvedená definice ovšem neposkytuje efektivní návod pro výpočet hodnosti lineárního zobrazení.

=== Hodnost pomocí singulárních hodnot ===
Hodnost <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je rovna počtu nenulových [[Singulární rozklad|singulárních hodnot]], což odpovídá počtu nenulových diagonálních prvků v matici <big>\(\boldsymbol{\Sigma}\)</big> ze [[Singulární rozklad|singulárního rozkladu]] <big>\(\boldsymbol{A} = \boldsymbol{U \Sigma V}^*\)</big>.

=== Hodnost pomocí determinantu – řád největšího nenulového minoru ===
Hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je rovna řádu největšího nenulového [[Subdeterminant|subdeterminantu (minoru)]] <big>\(\boldsymbol{A}\)</big>. (Řád subdeterminantu se shoduje s řádem čtvercové [[podmatice]], z níž je vypočten.) Stejně jako definice hodnosti pomocí rozkladu neposkytuje ani tato efektivní způsob výpočtu hodnosti, ale je užitečná teoreticky: Řád každého nenulového minoru je dolním odhadem hodnosti matice.

Podmatice řádu <big>\(k\)</big> má nenulový determinant právě když je [[Regulární matice|regulární]], čili řádky a sloupce této podmatice jsou lineárně nezávislé. Odpovídající řádky a sloupce původní matice jsou také lineárně nezávislé, takže (řádková i sloupcová) hodnost je větší nebo rovna hodnosti definované pomocí minorů. Pro opačnou nerovnost je třeba z matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> vybrat <big>\(k\)</big> jejích lineárně nezávislých sloupců a <big>\(k\)</big> lineárně nezávislých řádků. Čtvercová podmatice řádu <big>\(k\)</big> určená výběrem indexů těchto řádků a sloupců je regulární a tudíž má nenulový determinant.

=== Tenzorová hodnost ===

Hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> je nejmenší přirozené číslo <big>\(k\)</big> takové, že <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> lze zapsat jako součet <big>\(k\)</big> matic hodnosti 1. Na matici hodnosti 1 se zde nahlíží jako na jednoduchý [[tenzor]], což je nenulový maticový součin <big>\(\boldsymbol{cr}^\mathrm{T}\)</big> "sloupcového" vektoru <big>\(\boldsymbol c\)</big> a "řádkového" vektoru <big>\(\boldsymbol r^\mathrm{T}\)</big>.

== Vlastnosti ==

Pokud není uveden jiný předpoklad, platí následující tvrzení pro matici <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> typu <big>\(m\times n\)</big> nad tělesem <big>\(T\)</big> (např. reálných čísel), a [[lineární zobrazení]] <big>\(f:T^n\to T^m\)</big> dané <big>\(f(\boldsymbol {u})=\boldsymbol{Au}\)</big>.

* Hodnost matice je [[Nezáporné číslo|nezáporné]] [[celé číslo]] a nepřesahuje ani jeden z jejich rozměrů <big>\(m\)</big> a <big>\(n\)</big>. Formálně: <big>\(0\le \operatorname{rank}\boldsymbol{A} \leq \min\{ m, n \}\)</big>

* Pouze [[nulová matice]] má nulovou hodnost.

* [[Jednotková matice]] <big>\(\mathbf{I}_n\)</big> řádu <big>\(n\)</big> má plnou hodnost <big>\(n\)</big>.

* [[Čtvercová matice]] řádu <big>\(n\)</big> je [[Regulární matice|regulární]], právě když má hodnost <big>\(n\)</big> (tj. plnou hodnost).

* Matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> má hodnost 1, právě když existují nenulové vektory <big>\(\boldsymbol c\in K^{m}\)</big> a <big>\(\boldsymbol r\in K^{n}\)</big> takové, že: <big>\(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{cr}^\mathrm{T}\)</big>.

* Pro [[Transponovaná matice|transponovanou matici]] platí <big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}) = \operatorname{rank}\boldsymbol{A}\)</big>, čili hodnost transponované matice je stejná jako hodnost původní matice.

* Rozšíření pro reálné matice: Hodnost matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> a přidružené [[Gramova matice|Gramovy matice]] se shodují:
:: <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A} = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}\boldsymbol{A}) = \operatorname{rank}(\boldsymbol{AA}^{\mathrm T}) = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm T})\)</big>

:Rovnost vyplývá ze skutečnosti, že obě matice mají shodná jádra. Jádro Gramovy matice obsahuje vektory <big>\(\boldsymbol{u}\)</big>, pro které platí <big>\(\boldsymbol{A}^{\mathrm T}\boldsymbol{Au}=\boldsymbol{0}\)</big>, a následně i: <big>\(0=\boldsymbol{u}^{\mathrm{T}}\boldsymbol{A}^{\mathrm {T} }\boldsymbol{Au} =\left|\boldsymbol{Au} \right|\)</big>

* Pro hodnost [[Komplexní číslo|komplexní]] matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> a její [[Hermitovská transpozice|hermitovské transpozice]] <big>\(\boldsymbol{A^{\mathrm H}}\)</big> platí:
:: <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A} = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm H}) = \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}^{\mathrm H}\boldsymbol{A}) = \operatorname{rank}(\boldsymbol{AA}^{\mathrm H}) \)</big>

* ''Subaditivita'': Pro matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> a <big>\(\boldsymbol{B}\)</big> stejných rozměrů platí: <big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{A}+ \boldsymbol{B}) \le \operatorname{rank}\boldsymbol{A} + \operatorname{rank}\boldsymbol{B}\)</big>. V důsledku toho lze každou matici hodnosti <big>\(k\)</big> zapsat jako součet <big>\(k\)</big> matic hodnosti 1, ale ne méně.

* Součinem matic se hodnost nezvýší: <big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{AB}) \leq \min\{ \operatorname{rank}\boldsymbol{A}, \operatorname{rank}\boldsymbol{B}\}\)</big>. Rovnost nastává v případě, kdy alespoň jedna z matic je [[Regulární matice|regulární]].

* '''[[Věta o dimenzích jádra a obrazu]]''': Součet hodnosti matice a dimenze jejího jádra je roven počtu jejích sloupců, formálně: <big>\(\operatorname{rank} \boldsymbol{A}+\dim(\ker \boldsymbol{A})=n\)</big>.

* '''[[James Joseph Sylvester|Sylvesterova]] nerovnost pro hodnost matic''': Je-li <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> matice typu <big>\(m\times n\)</big> a matice <big>\(\boldsymbol{B}\)</big> je typu <big>\(n\times p\)</big>, potom platí:

:: <big>\(\operatorname{rank} \boldsymbol{A} + \operatorname{rank}\boldsymbol{B} -n \leq \operatorname{rank}(\boldsymbol{AB})\)</big>

: Uvedená nerovnost vyplývá z věty o dimenzích jádra a obrazu a nerovnosti <big>\(\dim(\ker \boldsymbol{AB}) \le \dim(\ker \boldsymbol{A}) + \dim (\ker\boldsymbol{B})\)</big>. Zároveň je speciálním případem následující Frobeniovy nerovnosti.

* '''[[Ferdinand Georg Frobenius|Frobeniova]] nerovnost''': Je-li definován součin <big>\(\boldsymbol{ABC}\)</big>, pak platí:

::<big>\(\operatorname{rank}(\boldsymbol{AB}) + \operatorname{rank}(\boldsymbol{BC}) \le \operatorname{rank}\boldsymbol{B} + \operatorname{rank}(\boldsymbol{ABC})\)</big>

* Matice <big>\(\boldsymbol{A}\)</big> má hodnost <big>\(k\)</big>, právě když když existují [[regulární matice]] <big>\(\boldsymbol{L}\)</big> řádu <big>\(m\)</big> a <big>\(\boldsymbol{R}\)</big> řádu <big>\(n\)</big> takové, že platí:

::<big>\( \boldsymbol{LAR} = \begin{pmatrix} \mathbf{I}_k & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{0} \\ \end{pmatrix}\)</big>,

:kde <big>\(\mathbf{I}_k\)</big> je [[jednotková matice]] řádu <big>\(k\)</big>.

* Lineární zobrazení je [[Injekce (matematika)|prosté]] (''injektivní''), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu sloupců: <big>\(\operatorname{rank}\boldsymbol{A} = n\)</big>. (V tomto případě se o matici říká, že má ''plnou sloupcovou hodnost''.)

* Lineární zobrazení je [[Surjekce|na]] (''surjektivní''), právě když matice zobrazení má hodnost rovnu počtu řádků: <big>\(\operatorname{rank} \boldsymbol{A}= m\)</big>. (Čili matice má ''plnou řádkovou hodnost''.)

* Lineární zobrazení <big>\(f\)</big> je [[Bijekce|bijektivní]], právě když je matice zobrazení [[regulární matice|regulární]]. Zobrazení [[Inverzní zobrazení|inverzní]] k <big>\(f\)</big> odpovídá matici <big>\(\boldsymbol{A}^{-1}\)</big>.

* ''[[Věta o dimenzích jádra a obrazu]] pro lineární zobrazení'': Pro hodnost a dimenzi [[Jádro matice|jádra]] lineárního zobrazení <big>\(f: U\to V\)</big> platí:

::<big>\(\dim V = \operatorname{rank} f + \dim(\ker f)\)</big>.

== Použití ==
Hodnost matice využívá [[Frobeniova věta]] pro rozhodnutí, zdali má [[soustava lineárních rovnic]] alespoň jedno řešení, což nastává právě když se hodnost [[Rozšířená matice|rozšířené matice]] shoduje s hodností [[matice soustavy]]. Řešení je jednoznačné, právě když se hodnost shoduje s počtem neznámých. Jinak má obecné řešení <big>\(k\)</big> volných parametrů, kde <big>\(k\)</big> je rozdíl mezi počtem proměnných a hodností. V tomto případě (a za předpokladu, že [[soustava rovnic]] je dána o oboru v reálných nebo komplexních číslech) má soustava nekonečně mnoho řešení.

V [[Teorie řízení|teorii řízení]] může být hodnost matice použita k určení, zda je [[lineární systém]] kontrolovatelný nebo pozorovatelný.

V oblasti komunikační složitosti platí, že hodnost komunikační matice funkce udává mez na množství komunikace potřebné pro výpočet této funkce dvěma stranami.

== Terminologie ==
{{Podrobně|Regulární matice}}
Pokud má [[čtvercová matice]] plnou hodnost, čili pokud je tato rovna jejímu řádu, jde o [[regulární matice|''regulární'' matici]]. Její řádky jsou lineárně nezávislé, a matice má nenulový [[determinant]] a všechna [[vlastní čísla]] jsou nenulová.

V opačném případě se matice nazývá [[singulární matice|''singulární'']]. Její řádky jsou [[Lineární závislost|lineárně závislé]] a její [[determinant]] je roven nule.

== Literatura ==
*{{Citace monografie
| titul = Slovník školské matematiky
| vydavatel = SPN
| místo = Praha
| rok = 1981
| počet_stran = 240
}}
*{{Citace monografie
| příjmení = Bärtsch
| jméno = Hans-Jochen
| titul = Matematické vzorce
| vydavatel = Academia
| místo = Praha
| rok = 2006
| počet_stran = 832
| kapitola = Matice
| strany = 180–198
| isbn = 80-200-1448-9
}}
* {{Citace monografie
| příjmení = Bečvář
| jméno = Jindřich
| titul = Lineární algebra
| vydání = 1
| vydavatel = Matfyzpress
| místo = Praha
| rok vydání = 2019
| počet_stran = 436
| isbn = 978-80-7378-392-1
}}
* {{Citace monografie
| příjmení = Hladík
| jméno = Milan
| titul = Lineární algebra (nejen) pro informatiky
| vydání = 1
| vydavatel = Matfyzpress
| místo = Praha
| rok vydání = 2019
| počet_stran = 328
| strany = 39
| isbn = 978-80-7378-378-5
}}
* {{Citace elektronické monografie
| příjmení = Olšák
| jméno = Petr
| titul = Lineární algebra
| url = http://petr.olsak.net/ftp/olsak/linal/linal.pdf
| místo = Praha
| datum vydání = 2007
| datum přístupu = 2023-02-20
}}
* {{Citace elektronické monografie
| příjmení1 = Motl
| jméno1 = Luboš
| příjmení2 = Zahradník
| jméno2 = Miloš
| titul = Pěstujeme lineární algebru
| url = https://matematika.cuni.cz/zahradnik-pla.html
| datum přístupu = 2023-02-20
}}
== Související články ==
* [[Dimenze vektorového prostoru]]
* [[Lineární závislost]]
* [[Lineární zobrazení]]
* [[Soustava lineárních rovnic]]
== Reference ==
<references />
== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie matic]]

Hodnost matice - Historie editací

Sysop: + NEW