Homomorfismus - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:06Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 3:		Řádka 3:
	Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o [[grupa\|grupovém]] homomorfismu, [[Okruh (algebra)\|okruhovém]] apod.).		Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o [[grupa\|grupovém]] homomorfismu, [[Okruh (algebra)\|okruhovém]] apod.).

-	Obecně je homomorfismus zobrazení <big>\(\phi: A \rightarrow B</~~math~~> mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou [[Operace (matematika)\|operaci]] <big>\(f</~~math~~> a pro všechna <big>\(x_i</~~math~~> v <big>\(A</~~math~~> platí	+	Obecně je homomorfismus zobrazení <big>$\phi: A \rightarrow B$</big> mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou [[Operace (matematika)\|operaci]] <big>$f$</big> a pro všechna <big>$x_i$</big> v <big>$A$</big> platí

-	:<big>\(\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))</~~math~~>.	+	:<big>$\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))$</big>.

	== Typy homomorfismů ==		== Typy homomorfismů ==
Řádka 31:		Řádka 31:
	'''Jádro homomorfismu ''f'' ''' (značené '''Ker f''') popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.		'''Jádro homomorfismu ''f'' ''' (značené '''Ker f''') popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.

-	Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci [[neutrální prvek\|neutrálního]] a [[Inverzní prvek\|inverzního]] prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když ''y-x <big>\(\in</~~math~~> Ker f''.	+	Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci [[neutrální prvek\|neutrálního]] a [[Inverzní prvek\|inverzního]] prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když ''y-x <big>$\in$</big> Ker f''.

	Příklad:		Příklad:

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:46Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 3:		Řádka 3:
	Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o [[grupa\|grupovém]] homomorfismu, [[Okruh (algebra)\|okruhovém]] apod.).		Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o [[grupa\|grupovém]] homomorfismu, [[Okruh (algebra)\|okruhovém]] apod.).

-	Obecně je homomorfismus zobrazení <~~math~~>\phi: A \rightarrow B</math> mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou [[Operace (matematika)\|operaci]] <~~math~~>f</math> a pro všechna <~~math~~>x_i</math> v <~~math~~>A</math> platí	+	Obecně je homomorfismus zobrazení <big>\(\phi: A \rightarrow B</math> mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou [[Operace (matematika)\|operaci]] <big>\(f</math> a pro všechna <big>\(x_i</math> v <big>\(A</math> platí

-	:<~~math~~>\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))</math>.	+	:<big>\(\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))</math>.

	== Typy homomorfismů ==		== Typy homomorfismů ==
Řádka 31:		Řádka 31:
	'''Jádro homomorfismu ''f'' ''' (značené '''Ker f''') popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.		'''Jádro homomorfismu ''f'' ''' (značené '''Ker f''') popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.

-	Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci [[neutrální prvek\|neutrálního]] a [[Inverzní prvek\|inverzního]] prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když ''y-x <~~math~~>\in</math> Ker f''.	+	Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci [[neutrální prvek\|neutrálního]] a [[Inverzní prvek\|inverzního]] prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když ''y-x <big>\(\in</math> Ker f''.

	Příklad:		Příklad:

Sysop: + Typo

2019-03-03T13:43:16Z

+ Typo

← Starší verze		Verze z 3. 3. 2019, 13:43
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Možná hledáte\|}}~~
	'''Homomorfismus''' (v [[Lineární algebra\|lineární algebře]] někdy také prostě ''morfismus'') je [[Zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z jedné [[algebraická struktura\|algebraické struktury]] do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.		'''Homomorfismus''' (v [[Lineární algebra\|lineární algebře]] někdy také prostě ''morfismus'') je [[Zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z jedné [[algebraická struktura\|algebraické struktury]] do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.

Sysop: + Nový článek

2019-03-03T13:42:59Z

+ Nový článek

Nová stránka

{{Možná hledáte|}}
'''Homomorfismus''' (v [[Lineární algebra|lineární algebře]] někdy také prostě ''morfismus'') je [[Zobrazení (matematika)|zobrazení]] z jedné [[algebraická struktura|algebraické struktury]] do jiné stejného typu, které zachovává veškerou důležitou strukturu.

Každý typ algebraické struktury má svůj typ homomorfismu (mluvíme o [[grupa|grupovém]] homomorfismu, [[Okruh (algebra)|okruhovém]] apod.).

Obecně je homomorfismus zobrazení <math>\phi: A \rightarrow B</math> mezi dvěma algebraickými strukturami stejného typu takové, že pro každou definovanou [[Operace (matematika)|operaci]] <math>f</math> a pro všechna <math>x_i</math> v <math>A</math> platí

:<math>\phi(f_A(x_1, \ldots, x_n)) = f_B(\phi(x_1), \ldots, \phi(x_n))</math>.

== Typy homomorfismů ==

* ''[[izomorfismus]]'' je [[Bijekce|bijektivní]] homomorfismus ([[Prosté zobrazení|prostý]] a [[Zobrazení na|na]])
* ''[[epimorfismus]]'' je [[Surjekce|surjektivní]] homomorfismus (na)
* ''[[monomorfismus]]'' je [[Injekce (matematika)|injektivní]] homomorfismus (prostý)
* ''[[endomorfismus]]'' je homomorfismus z objektu do sebe sama
* ''[[automorfismus]]'' je endomorfismus, který je také izomorfismem.

== Příklad ==

Mějme Z grupu celých čísel a Zn množinu všech celých čísel od 0 do n-1 s operacemi [[Aritmetika modulo n|modulo n]].

Pak zobrazení f: Z → Z4 : f(x) = 2x mod 4 (které zobrazí lichá čísla na číslo 2 a sudá na 0) je homomorfismus, protože f(x+y) = f(x) + f(y). Například f(3+5) = f(8) = 0 = 2 + 2 = f(3) + f(5). V grupě Z4 totiž platí 2 + 2 = 0.

Naopak zobrazení f(x) = 1 + ( 2x mod 4 ) , které zobrazí sudá čísla na 1 a lichá čísla na 3, homomorfismus není, protože f(0) + f(0) = 2, ale f(0+0) = 1.

== Zobecnění v univerzální algebře ==

Mnoho faktů o homomorfismech není třeba dokazovat pro každou matematickou strukturu zvlášť (zvlášť pro [[grupa|grupy]], [[Vektorový prostor|vektorové prostory]], [[Svaz (matematika)|svaz]] apod.), protože prostředky [[Univerzální algebra|univerzální algebry]] umožňují je dokázat zároveň pro širokou třídu struktur. Příkladem jsou [[věty o izomorfismu]].

== Jádro homomorfismu ==

'''Jádro homomorfismu ''f'' ''' (značené '''Ker f''') popisuje, které dvojice prvků homomorfismu se zobrazí na tentýž prvek.

Ve strukturách s binární operací, které mají zaručenu existenci [[neutrální prvek|neutrálního]] a [[Inverzní prvek|inverzního]] prvku, je obvyklé tuto informaci reprezentovat tak, že jádrem homomorfismu rozumíme podstrukturu tvořenou všemi prvky, které se zobrazí na neutrální prvek. V takových strukturách pak platí, že f(x) = f(y) právě když ''y-x <math>\in</math> Ker f''.

Příklad:

* Máme-li f: Z6 → Z6 : f(x) = 2x mod 6, pak Ker f = {0,3}
* Jiným příkladem je zobrazení z třírozměrného do dvourozměrného [[Vektorový prostor|vektorového prostoru]], které každý bod svisle promítne do vodorovné roviny procházející počátkem. (Lze si to představit jako zobrazení, které každé kuličce v prostoru přiřadí její stín na vodní hladině, pokud je slunce přesně svisle nad námi.) Jádrem takového zobrazení je svislá přímka procházející počátkem.

Tento přístup nelze ale použít pro struktury, které výše uvedenou podmínku nesplňují. Například [[Svaz (matematika)|svaz]] má dvě binární operace, [[monoid]] či [[monoid|grupoid]] sice mají jednu, ale není zaručena existence opačného prvku, některé signatury nemají žádnou binární operaci apod.

Proto se jádro homomorfismu definuje výše uvedených způsobem v teorii grup, [[Okruh (algebra)|okruhů]] lineárních prostorů apod., ale častěji se používá '''obecnější definice''', která má smysl pro širokou třídu algebraických struktur:

: '''Jádrem homomorfismu ''f'' z ''A'' do ''B'' rozumíme binární relaci ~ na ''A'' takovou, že x~y právě když f(x) = f(y)'''

Podle této definice jádro homomorfismu
::: f: Z6 → Z6 : f(x) = 2x mod 6
obsahuje dvanáct uspořádaných dvojic:
::Ker f = {
::::(0,0), (0,3), (3,0) , (3,3) ,
::::(1,1), (1,4), (4,1) , (4,4) ,
::::(2,2), (2,5), (5,2) , (5,5) }

== Kongruence a faktoralgebry ==
Jádro každého homomorfismu je [[kongruence|kongruencí]] na ''A'' a proto [[Kongruence#Vztah kongruence a homomorfismů|definuje]] [[faktoralgebra|faktoralgebru]] A / Ker f, která je podle [[Věty o izomorfismu|první věty o izomorfismu]] izomorfní s [[obor hodnot|oborem hodnot]] f.

== Související články ==
* [[Homeomorfismus]]
* [[Grupa]]
* [[Lineární zobrazení]]
* [[Okruh (algebra)|Okruh]]
* [[Těleso (algebra)|Těleso]]
* [[Vektorový prostor]]
* [[Matice přechodu]]

== Externí odkazy ==
* {{MathWorld|id=Homomorphism}}

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Lineární algebra]]

Homomorfismus - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Typo

Sysop: + Nový článek

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“