Ideál (teorie okruhů) - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:10Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 3:		Řádka 3:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Množina <big>\(\emptyset \neq I \subseteq R</~~math~~>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)\|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:	+	Množina <big>$\emptyset \neq I \subseteq R$</big>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)\|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
-	* pro každé <big>\(a,b \in I</~~math~~> je také <big>\(a-b \in I</~~math~~>	+	* pro každé <big>$a,b \in I$</big> je také <big>$a-b \in I$</big>
-	* pro každé <big>\(a \in I</~~math~~> a každé <big>\(r \in R</~~math~~> je také <big>\(r\cdot a \in I</~~math~~> resp. <big>\(a\cdot r \in I</~~math~~>	+	* pro každé <big>$a \in I$</big> a každé <big>$r \in R$</big> je také <big>$r\cdot a \in I$</big> resp. <big>$a\cdot r \in I$</big>
	Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.		Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Řádka 15:		Řádka 15:
	== Příklady ideálů ==		== Příklady ideálů ==
	* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina\|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.		* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina\|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
-	* Každá podmnožina tvaru <big>\((a)=\{a\cdot r;r\in R\}</~~math~~> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)\|hlavní ideál]]y''' v ''R''.	+	* Každá podmnožina tvaru <big>$(a)=\{a\cdot r;r\in R\}$</big> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)\|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
	* V okruhu [[celé číslo\|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla\|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).		* V okruhu [[celé číslo\|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla\|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
-	* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>\(a \in I</~~math~~> a každé <big>\(r \in R</~~math~~> je také <big>\(r\cdot a \in I</~~math~~> resp. <big>\(a\cdot r \in I</~~math~~>. Stačí volit třeba <big>\( a = 3, r = { \frac{1}{2}} </~~math~~>, pak <big>\(3 \in Z</~~math~~> a <big>\( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </~~math~~>	+	* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>$a \in I$</big> a každé <big>$r \in R$</big> je také <big>$r\cdot a \in I$</big> resp. <big>$a\cdot r \in I$</big>. Stačí volit třeba <big>$ a = 3, r = { \frac{1}{2}} $</big>, pak <big>$3 \in Z$</big> a <big>$ 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z $</big>

	== Operace s ideály ==		== Operace s ideály ==
-	* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I\cap J</~~math~~>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.	+	* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>$I\cap J$</big>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
-	* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</~~math~~>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.	+	* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>$\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}$</big>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
-	* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</~~math~~>	+	* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>$I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}$</big>

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>\(I \neq R</~~math~~> a pro každý ideál ''J'', že <big>\(I\subseteq J</~~math~~>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.	+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>$I \neq R$</big> a pro každý ideál ''J'', že <big>$I\subseteq J$</big>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
-	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)\|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>\(a,b \in R</~~math~~> takové, že <big>\(a\cdot b \in I</~~math~~>, je buďto <big>\(a \in I</~~math~~> nebo <big>\(b \in I</~~math~~>.	+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)\|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>$a,b \in R$</big> takové, že <big>$a\cdot b \in I$</big>, je buďto <big>$a \in I$</big> nebo <big>$b \in I$</big>.
-	* Jsou-li <big>\(a_1, a_2, </~~math~~> … , <big>\(a_k</~~math~~> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>\((\forall r_1, r_2, </~~math~~>… , <big>\( r_k \in R)</~~math~~> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </~~math~~>… <big>\( + a_kr_k \in I</~~math~~>.	+	* Jsou-li <big>$a_1, a_2, $</big> … , <big>$a_k$</big> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>$(\forall r_1, r_2, $</big>… , <big>$ r_k \in R)$</big> <big>$a_1r_1 + a_2r_2 + $</big>… <big>$ + a_kr_k \in I$</big>.


Řádka 44:		Řádka 44:

	== Věta ==		== Věta ==
-	Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>\( M = \{a_1, a_2, </~~math~~>… <big>\( , a_k \sube R\}</~~math~~>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>\((\forall r_1, r_2, </~~math~~>… , <big>\( r_k \in R)</~~math~~> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </~~math~~>… <big>\( + a_kr_k \in I</~~math~~>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>\(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </~~math~~>… <big>\( + a_kr_k; r_1, r_2, </~~math~~>… <big>\( , r_k\in R\}</~~math~~>.	+	Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>$ M = \{a_1, a_2, $</big>… <big>$ , a_k \sube R\}$</big>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>$(\forall r_1, r_2, $</big>… , <big>$ r_k \in R)$</big> <big>$a_1r_1 + a_2r_2 + $</big>… <big>$ + a_kr_k \in I$</big>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>$I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + $</big>… <big>$ + a_kr_k; r_1, r_2, $</big>… <big>$ , r_k\in R\}$</big>.


	'''Příklad užití této věty'''		'''Příklad užití této věty'''

-	V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>\(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </~~math~~> kde <big>\(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</~~math~~>.	+	V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>$x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) $</big> kde <big>$f_1(x),f_2(x) \in Z[x]$</big>.

-	Tedy [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>\(a_0 + a_1x + </~~math~~>… <big>\( + a_x x^n \in Z[x]</~~math~~>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v '''Z'''[''x''].	+	Tedy [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>$a_0 + a_1x + $</big>… <big>$ + a_x x^n \in Z[x]$</big>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v '''Z'''[''x''].

	== Literatura ==		== Literatura ==

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:51Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 3:		Řádka 3:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Množina <~~math~~>\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)\|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:	+	Množina <big>\(\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)\|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
-	* pro každé <~~math~~>a,b \in I</math> je také <~~math~~>a-b \in I</math>	+	* pro každé <big>\(a,b \in I</math> je také <big>\(a-b \in I</math>
-	* pro každé <~~math~~>a \in I</math> a každé <~~math~~>r \in R</math> je také <~~math~~>r\cdot a \in I</math> resp. <~~math~~>a\cdot r \in I</math>	+	* pro každé <big>\(a \in I</math> a každé <big>\(r \in R</math> je také <big>\(r\cdot a \in I</math> resp. <big>\(a\cdot r \in I</math>
	Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.		Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.

Řádka 15:		Řádka 15:
	== Příklady ideálů ==		== Příklady ideálů ==
	* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina\|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.		* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina\|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
-	* Každá podmnožina tvaru <~~math~~>(a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)\|hlavní ideál]]y''' v ''R''.	+	* Každá podmnožina tvaru <big>\((a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)\|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
	* V okruhu [[celé číslo\|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla\|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).		* V okruhu [[celé číslo\|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla\|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
-	* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <~~math~~>a \in I</math> a každé <~~math~~>r \in R</math> je také <~~math~~>r\cdot a \in I</math> resp. <~~math~~>a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <~~math~~> a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <~~math~~>3 \in Z</math> a <~~math~~> 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>	+	* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <big>\(a \in I</math> a každé <big>\(r \in R</math> je také <big>\(r\cdot a \in I</math> resp. <big>\(a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <big>\( a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <big>\(3 \in Z</math> a <big>\( 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>

	== Operace s ideály ==		== Operace s ideály ==
-	* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <~~math~~>I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.	+	* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
-	* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <~~math~~>\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.	+	* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
-	* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <~~math~~>I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>	+	* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <big>\(I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <~~math~~>I \neq R</math> a pro každý ideál ''J'', že <~~math~~>I\subseteq J</math>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.	+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <big>\(I \neq R</math> a pro každý ideál ''J'', že <big>\(I\subseteq J</math>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
-	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)\|prvoideál]]''', jestliže pro každé <~~math~~>a,b \in R</math> takové, že <~~math~~>a\cdot b \in I</math>, je buďto <~~math~~>a \in I</math> nebo <~~math~~>b \in I</math>.	+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)\|prvoideál]]''', jestliže pro každé <big>\(a,b \in R</math> takové, že <big>\(a\cdot b \in I</math>, je buďto <big>\(a \in I</math> nebo <big>\(b \in I</math>.
-	* Jsou-li <~~math~~>a_1, a_2, </math> … , <~~math~~>a_k</math> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <~~math~~>(\forall r_1, r_2, </math>… , <~~math~~> r_k \in R)</math> <~~math~~>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <~~math~~> + a_kr_k \in I</math>.	+	* Jsou-li <big>\(a_1, a_2, </math> … , <big>\(a_k</math> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <big>\((\forall r_1, r_2, </math>… , <big>\( r_k \in R)</math> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k \in I</math>.


Řádka 44:		Řádka 44:

	== Věta ==		== Věta ==
-	Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <~~math~~> M = \{a_1, a_2, </math>… <~~math~~> , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <~~math~~>(\forall r_1, r_2, </math>… , <~~math~~> r_k \in R)</math> <~~math~~>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <~~math~~> + a_kr_k \in I</math>, tj. [''M''] = ''I'', kde <~~math~~>I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <~~math~~> + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <~~math~~> , r_k\in R\}</math>.	+	Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <big>\( M = \{a_1, a_2, </math>… <big>\( , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <big>\((\forall r_1, r_2, </math>… , <big>\( r_k \in R)</math> <big>\(a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k \in I</math>, tj. [''M''] = ''I'', kde <big>\(I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <big>\( + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <big>\( , r_k\in R\}</math>.


	'''Příklad užití této věty'''		'''Příklad užití této věty'''

-	V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <~~math~~>x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <~~math~~>f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.	+	V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <big>\(x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <big>\(f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.

-	Tedy [''x'', 2] je množina všech polynomů <~~math~~>a_0 + a_1x + </math>… <~~math~~> + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v '''Z'''[''x''].	+	Tedy [''x'', 2] je množina všech polynomů <big>\(a_0 + a_1x + </math>… <big>\( + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v '''Z'''[''x''].

	== Literatura ==		== Literatura ==

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-10T18:44:39Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 10. 8. 2014, 18:44
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia-cs~~\|Ideál (teorie okruhů)\|~~700~~}}	+	'''''Ideál''''' je [[matematika\|matematický]] pojem z oblasti [[algebra\|algebry]] označující podmnožinu nějakého [[okruh (algebra)\|okruhu]] s jistými „dobrými“ vlastnostmi.
-		+	* Tak jako [[Normální podgrupa\|normální podgrupy]] jsou speciálními případy [[Podgrupa\|podgrup]], jsou rovněž ideály jisté podokruhy daného [[Okruh (algebra)\|okruhu]].
		+
		+	== Definice ==
		+	Množina <math>\emptyset \neq I \subseteq R</math>, kde ''R'' je [[okruh (algebra)\|okruh]], se nazývá levý resp. pravý '''ideál''', má-li následující vlastnosti:
		+	* pro každé <math>a,b \in I</math> je také <math>a-b \in I</math>
		+	* pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>
		+	Je-li ideál zároveň levý i pravý, nazývá se oboustranný ideál, nebo prostě jen ideál.
		+
		+
		+	Nechť (''R'', +, •) je okruh, ''M'' je libovolná podmnožina množiny ''R''. Potom průnik všech ideálů v ''R'', které obsahují množinu ''M'', je ideál v ''R'', který se nazývá '''ideálem generovaným množinou''' a značí se [''M'']. Množina ''M'' se nazývá '''systém generátorů''' ideálu [''M''] a její prvky '''generátory''' tohoto ideálu.
		+
		+	Prázdná množina generuje v libovolném okruhu nulový ideál ''R''.
		+
		+	== Příklady ideálů ==
		+	* V každém okruhu ''R'' jsou [[množina\|množiny]] ''{0}'' a ''R'' ideály. Tyto ideály se nazývají '''triviální ideály''' v ''R''. Ideál, který není triviální se nazývá '''netriviální''' nebo také '''vlastní'''.
		+	* Každá podmnožina tvaru <math>(a)=\{a\cdot r;r\in R\}</math> je ideál v ''R''. Ideály tvaru ''(a)'' se nazývají '''[[hlavní ideál (teorie okruhů)\|hlavní ideál]]y''' v ''R''.
		+	* V okruhu [[celé číslo\|celých čísel]] je množina všech [[Sudá a lichá čísla\|sudých čísel]] ideálem, konkrétně hlavním ideálem (2).
		+	* Libovolný podokruh komutativního okruhu nemusí být jeho ideálem. Například v okruhu racionálních čísel (''Q'',+,•) tvoří celá čísla podokruh (''Z'',+,•). Ten však není ideálem v '''Q''', neboť nesplňuje podmínku: pro každé <math>a \in I</math> a každé <math>r \in R</math> je také <math>r\cdot a \in I</math> resp. <math>a\cdot r \in I</math>. Stačí volit třeba <math> a = 3, r = { \frac{1}{2}} </math>, pak <math>3 \in Z</math> a <math> 3 \cdot { \frac{1}{2}}={ \frac{3}{2}} \notin Z </math>
		+
		+	== Operace s ideály ==
		+	* '''[[průnik]]''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>I\cap J</math>, který je největším ideálem, obsaženém v obou ideálech ''I,J''.
		+	* '''součet''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>\,I+J=\{i+j; i\in I, j\in J\}</math>, který je nejmenším ideálem obsahujícím oba ideály ''I,J''.
		+	* '''součin''' ideálů ''I,J'' je ideál <math>I \cdot J = \{\sum_{k=1}^{n}a_k \cdot b_k ; n\in N, a_k \in I, b_k \in J\}</math>
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''maximální ideál''', je-li <math>I \neq R</math> a pro každý ideál ''J'', že <math>I\subseteq J</math>, je ''I = J'' nebo ''J = R''.
		+	* Ideál ''I'' v okruhu ''R'' se nazývá '''[[prvoideál (teorie okruhů)\|prvoideál]]''', jestliže pro každé <math>a,b \in R</math> takové, že <math>a\cdot b \in I</math>, je buďto <math>a \in I</math> nebo <math>b \in I</math>.
		+	* Jsou-li <math>a_1, a_2, </math> … , <math>a_k</math> libovolné prvky z ideálu ''I'' v okruhu ''R'', je každá jejich lineární kombinace s koeficienty z ''R'' prvkem ideálu ''I'', tj. <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>.
		+
		+
		+	'''Příklad:'''
		+
		+	V okruhu celých čísel '''Z''' máme určit ideál ''I'' = [96, 14]. Snažíme se v tomto ideálu najít nenulové číslo s co nejmenší absolutní hodnotou. Musí být 1 • 96 + (- 6) •14 = 12 ∈ ''I'' a též 1 • 14 + (- 1) •12 = 2 ∈ ''I'' . Podle druhé podmínky (viz výše) obsahuje ''I'' všechny celočíselné násobky čísla 2, tj. všechna sudá čísla. Protože podle definice ideálu (Podmnožina ''I'' okruhu '''R''' je ideálem v právě tehdy, když je neprázdná a platí pro ni podmínky viz. výše) množina všech sudých čísel tvoří zřejmě ideál v '''Z''', je ''I'' = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...}.
		+
		+	Týž ideál může mít různé systémy generátorů. Např. ideál ''I'' z předchozího příkladu je generován číslem 2, tj. ''I'' = [2], a též například ''I'' = [6, 8, -10].
		+
		+
		+	Platí věta: ''Každý maximální ideál je prvoideál.'' Opačné tvrzení v obecném případě neplatí, tj. existují prvoideály, které nejsou maximální. Pokud však ''R'' je číselný okruh (tj. podokruh okruhu [[komplexní číslo\|komplexních]] algebraických celých čísel), je každý prvoideál v ''R'' maximálním ideálem.
		+
		+	* Ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu opět [[okruh (algebra)\|okruh]].
		+	* Prvoideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne z okruhu [[obor integrity]].
		+	* Maximální ideály jsou právě ty množiny, faktorizací podle nichž vznikne [[těleso (algebra)\|těleso]].
		+
		+	== Věta ==
		+	Nechť ''R'' je okruh s jednotkovým prvkem a nechť <math> M = \{a_1, a_2, </math>… <math> , a_k \sube R\}</math>. Pak ideál [''M''] se skládá právě ze všech prvků tvaru <math>(\forall r_1, r_2, </math>… , <math> r_k \in R)</math> <math>a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k \in I</math>, tj. [''M''] = ''I'', kde <math>I = \{ a_1r_1 + a_2r_2 + </math>… <math> + a_kr_k; r_1, r_2, </math>… <math> , r_k\in R\}</math>.
		+
		+
		+	'''Příklad užití této věty'''
		+
		+	V okruhu '''Z'''[''x''] polynomů jedné neurčité s celočíselnými koeficienty máme sestrojit ideál [''x'', 2]. Podle věty výše (v '''Z'''[''x''] existuje jednotkový prvek) se tento ideál skládá ze všech prvků tvaru: <math>x \cdot f_1(x) + 2 \cdot f_2(x) </math> kde <math>f_1(x),f_2(x) \in Z[x]</math>.
		+
		+	Tedy [''x'', 2] je množina všech polynomů <math>a_0 + a_1x + </math>… <math> + a_x x^n \in Z[x]</math>, jejíž člen ''a''<sub>0</sub> je sudé číslo. Ideál [''x'', 2] je tudíž vlastní podmnožina v '''Z'''[''x''].
		+
		+	== Literatura ==
		+	'''BLAŽEK, Jaroslav, Milan KOMAN a Blanka VOJTÁŠKOVÁ'''. ''Algebra a teoretická aritmetika''. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985, 258 s. Učebnice pro vysoké školy (Státní pedagogické nakladatelství).
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Ideál (teorie uspořádání)]]
		+	* [[Normální podgrupa]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Algebraické struktury]]		[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Ulysses: 1 revizi

2014-06-16T10:26:23Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 16. 6. 2014, 10:26

Sysop: 1 revizi

2012-10-23T08:20:31Z