Kardinální číslo - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\isin“ textem „\in“

2022-08-14T22:01:38Z

Nahrazení textu „\isin“ textem „\in“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 22:01
Řádka 8:		Řádka 8:
	== Definice ==		== Definice ==
	[[Ordinální číslo]] <big>$ \alpha \,\! $</big> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <big>$ \beta < \alpha \,\! $</big> má i menší [[mohutnost]] (tj. <big>$ \alpha \,\! $</big> nelze [[Bijekce\|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <big>$ \beta \,\! $</big>). Označíme-li jako <big>$ Cn \,\! $</big> třídu všech kardinálních čísel a <big>$ On \,\! $</big> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:		[[Ordinální číslo]] <big>$ \alpha \,\! $</big> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <big>$ \beta < \alpha \,\! $</big> má i menší [[mohutnost]] (tj. <big>$ \alpha \,\! $</big> nelze [[Bijekce\|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <big>$ \beta \,\! $</big>). Označíme-li jako <big>$ Cn \,\! $</big> třídu všech kardinálních čísel a <big>$ On \,\! $</big> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
-	<big>$ \alpha \~~isin~~ Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) $</big>	+	<big>$ \alpha \in Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) $</big>
	'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <big>$ \kappa, \lambda, \mu \,\! $</big>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <big>$ \alpha, \beta, \gamma \,\! $</big>		'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <big>$ \kappa, \lambda, \mu \,\! $</big>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <big>$ \alpha, \beta, \gamma \,\! $</big>
	== Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==		== Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:20Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:56Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: 1 revizi

2014-01-17T12:13:15Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 17. 1. 2014, 12:13

Sysop: Nahrazení textu

2011-10-16T14:27:03Z

Nahrazení textu

Nová stránka

V [[matematika|matematice]] se pojem '''kardinální číslo''', někdy též '''kardinál''', pojí s [[číslo|čísly]] používanými pro popis velikosti [[množina|množin]]. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a [[mohutnost]]i množin popisují i [[nekonečno|nekonečné]] [[množina|množiny]].
== Historie ==
Kardinální čísla byla popsána [[Georg Cantor|Georgem Cantorem]], když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést [[teorie množin|teorii množin]], která se dnes nazývá [[naivní teorie množin|naivní]].
Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou ''rovny'', ale mají ''stejnou kardinalitu''.
Dále Cantor zavedl [[bijekce|bijekci]], pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na [[přirozené číslo|přirozená čísla]]. Zavedl i pojem [[spočetná množina]] pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <math>\aleph_0</math> (aleph 0).
Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané [[Cantorova diagonální metoda|diagonální metody]] dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, ''kardinál kontinua'', dnes běžně značený ''c''. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<math>\aleph_0</math>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<math>\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</math>).
Později vyslovil tvrzení známé jako [[hypotéza kontinua]]. To říká, že ''c'' = <math>\aleph_1</math>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.
== Definice ==
[[Ordinální číslo]] <math> \alpha \,\! </math> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <math> \beta < \alpha \,\! </math> má i menší [[mohutnost]] (tj. <math> \alpha \,\! </math> nelze [[Bijekce|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <math> \beta \,\! </math>). Označíme-li jako <math> Cn \,\! </math> třídu všech kardinálních čísel a <math> On \,\! </math> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
<math> \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </math>
'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <math> \kappa, \lambda, \mu \,\! </math>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <math> \alpha, \beta, \gamma \,\! </math>
== Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==
Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých [[Relace ekvivalence|tříd ekvivalence]] podle relace <math> \approx \,\! </math> (viz článek [[mohutnost]]).<br />
Je-li <math> x \,\! </math> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <math> \lambda \,\! </math>, říkáme, že <math> \lambda \,\! </math> je '''mohutnost''' množiny <math> x \,\! </math> a píšeme <math> |x| = \lambda \,\! </math>.
Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:
# každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
# [[dobře uspořádaná množina|dobře uspořádanou množinu]] lze [[Izomorfismus|izomorfně]] zobrazit na nějaký ordinál a ten pak vzájmeně jednoznačně na nějaký kardinál – to znamená, že dobře uspořádanou množinu lze zobrazit vzájemně jednoznačně na nějaký kardinál
# pokud přijmu [[axiom výběru]], pak z [[Princip dobrého uspořádání|principu dobrého uspořádání]] plyne, že každou množinu lze dobře uspořádat – a tím i zobrazit na nějaký kardinál.
# pokud nepřijmu axiom výběru nebo nějakou jeho obdobu, mám bohužel smůlu a v mém světě množin mohou existovat jedinci, pro které nelze mohutnost definovat výše uvedeným způsobem
== Vlastnosti a příklady kardinálních čísel ==
# [[Přirozené číslo|Přirozená čísla]] (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
# Množina <math> \omega \,\! </math> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný [[Spočetná množina|spočetný]] kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již [[Nespočetná množina|nespočetné]]. A ony existují:
# Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
# Třída <math> Cn \,\! </math> všech kardinálů je [[vlastní třída]] [[Izomorfismus|izomorfní]] s třídou <math> On \,\! </math> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.
Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <math> \omega \,\! </math>. Pokusme se najít nějaký další:
* ordinální čísla <math> \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </math> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <math> \omega \,\! </math>
* ordinální čísla <math> \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
* ordinální čísla <math> \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
* ordinální čísla <math> \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </math> jsou stále spočetná
* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <math> \epsilon_0 \,\! </math>) je stále spočetné
Jak je vidět, za <math> \omega \,\! </math> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
== Funkce alef ==
Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <math> Cn - \omega \,\! </math> – také existuje izomorfismus mezi ní a <math> On \,\! </math>.<br />
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <math> \aleph \,\! </math>.
* <math> \aleph_0 = \omega </math> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
* <math> \aleph_1 </math> je nejmenší nespočetný kardinál
* pro každý ordinál <math> \alpha \,\! </math> existuje kardinál <math> \aleph_{\alpha} </math>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <math> \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </math>
Dá se ukázat, že funkce <math> \aleph \,\! </math> je [[normální funkce]] (tj. rostoucí a spojitá pro [[limitní ordinál]]y) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <math> On \,\! </math> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <math> On \,\! </math>.
Aplikováno konkrétně na funkci <math> \aleph \,\! </math>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <math> \alpha \,\! </math>, pro které platí, že <math> \alpha = \aleph_\alpha </math>.
Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <math> \aleph_1 \,\! </math> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <math> \aleph \,\! </math> má opravdu podivné vlastnosti:
* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <math> \aleph_1 \,\! </math> je hodně daleko od její první hodnoty <math> \aleph_0 \,\! </math>)
* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <math> Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</math> – v takovýchto pevných bodech platí <math> \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </math>
== Kardinální aritmetika ==
Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]]
== Související články ==
* [[Kardinální aritmetika]]
* [[Ordinální číslo]]
* [[Ordinální aritmetika]]
* [[Mohutnost]]
* [[Singulární kardinál]]
* [[Regulární kardinál]]
* [[Kofinál]]
* [[Hypotéza kontinua]]
* [[Zobecněná hypotéza kontinua]]
* [[Hypotéza singulárních kardinálů]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie množin]]
[[Kategorie:Kardinální čísla]]
[[Kategorie:Nekonečno]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 3:		Řádka 3:
	Kardinální čísla byla popsána [[Georg Cantor\|Georgem Cantorem]], když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést [[teorie množin\|teorii množin]], která se dnes nazývá [[naivní teorie množin\|naivní]].		Kardinální čísla byla popsána [[Georg Cantor\|Georgem Cantorem]], když se v letech 1874 až 1884 pokoušel zavést [[teorie množin\|teorii množin]], která se dnes nazývá [[naivní teorie množin\|naivní]].
	Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou ''rovny'', ale mají ''stejnou kardinalitu''.		Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou ''rovny'', ale mají ''stejnou kardinalitu''.
-	Dále Cantor zavedl [[bijekce\|bijekci]], pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na [[přirozené číslo\|přirozená čísla]]. Zavedl i pojem [[spočetná množina]] pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <big>\(\aleph_0</~~math~~> (aleph 0).	+	Dále Cantor zavedl [[bijekce\|bijekci]], pomocí které lze jednoduše ukázat, zda dvě konečné množiny mají stejnou kardinalitu. Použitím bijekce aplikoval svou myšlenku i na nekonečné množiny, například na [[přirozené číslo\|přirozená čísla]]. Zavedl i pojem [[spočetná množina]] pro každou množinu, která má stejnou kardinalitu jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval <big>\(\aleph_0\)</big> (aleph 0).
-	Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané [[Cantorova diagonální metoda\|diagonální metody]] dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, ''kardinál kontinua'', dnes běžně značený ''c''. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<big>\(\aleph_0</~~math~~>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<big>\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots</~~math~~>).	+	Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané [[Cantorova diagonální metoda\|diagonální metody]] dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, ''kardinál kontinua'', dnes běžně značený ''c''. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (<big>\(\aleph_0\)</big>) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (<big>\(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \cdots\)</big>).
-	Později vyslovil tvrzení známé jako [[hypotéza kontinua]]. To říká, že ''c'' = <big>\(\aleph_1</~~math~~>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.	+	Později vyslovil tvrzení známé jako [[hypotéza kontinua]]. To říká, že ''c'' = <big>\(\aleph_1\)</big>. Ukázalo se, že jeho platnost je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na základě nich dokázáno ani vyvráceno.
	== Definice ==		== Definice ==
-	[[Ordinální číslo]] <big>\( \alpha \,\! </~~math~~> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <big>\( \beta < \alpha \,\! </~~math~~> má i menší [[mohutnost]] (tj. <big>\( \alpha \,\! </~~math~~> nelze [[Bijekce\|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <big>\( \beta \,\! </~~math~~>). Označíme-li jako <big>\( Cn \,\! </~~math~~> třídu všech kardinálních čísel a <big>\( On \,\! </~~math~~> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:	+	[[Ordinální číslo]] <big>\( \alpha \,\! \)</big> nazveme '''kardinálním číslem''' (nebo '''kardinálem'''), pokud každé menší ordinální číslo <big>\( \beta < \alpha \,\! \)</big> má i menší [[mohutnost]] (tj. <big>\( \alpha \,\! \)</big> nelze [[Bijekce\|vzájemně jednoznačně zobrazit]] na žádnou podmnožinu <big>\( \beta \,\! \)</big>). Označíme-li jako <big>\( Cn \,\! \)</big> třídu všech kardinálních čísel a <big>\( On \,\! \)</big> třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru:
-	<big>\( \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) </~~math~~>	+	<big>\( \alpha \isin Cn \Leftrightarrow ( \forall \beta) (\beta < \alpha \implies \neg (\beta \approx \alpha)) \)</big>
-	'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <big>\( \kappa, \lambda, \mu \,\! </~~math~~>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <big>\( \alpha, \beta, \gamma \,\! </~~math~~>	+	'''Kardinální čísla''' jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety <big>\( \kappa, \lambda, \mu \,\! \)</big>, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: <big>\( \alpha, \beta, \gamma \,\! \)</big>
	== Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==		== Vztah kardinálních čísel k mohutnosti ==
-	Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých [[Relace ekvivalence\|tříd ekvivalence]] podle relace <big>\( \approx \,\! </~~math~~> (viz článek [[mohutnost]]).<br />	+	Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých [[Relace ekvivalence\|tříd ekvivalence]] podle relace <big>\( \approx \,\! \)</big> (viz článek [[mohutnost]]).<br />
-	Je-li <big>\( x \,\! </~~math~~> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <big>\( \lambda \,\! </~~math~~>, říkáme, že <big>\( \lambda \,\! </~~math~~> je '''mohutnost''' množiny <big>\( x \,\! </~~math~~> a píšeme <big>\( \|x\| = \lambda \,\! </~~math~~>.	+	Je-li <big>\( x \,\! \)</big> množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál <big>\( \lambda \,\! \)</big>, říkáme, že <big>\( \lambda \,\! \)</big> je '''mohutnost''' množiny <big>\( x \,\! \)</big> a píšeme <big>\( \|x\| = \lambda \,\! \)</big>.
	Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:		Otázka, které množiny lze vzájemně jednoznačně zobrazit na nějaký kardinál, není úplně jednoduchá:
	# každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál		# každé ordinální číslo lze zobrazit na nějaký kardinál
Řádka 20:		Řádka 20:
	== Vlastnosti a příklady kardinálních čísel ==		== Vlastnosti a příklady kardinálních čísel ==
	# [[Přirozené číslo\|Přirozená čísla]] (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.		# [[Přirozené číslo\|Přirozená čísla]] (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
-	# Množina <big>\( \omega \,\! </~~math~~> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný [[Spočetná množina\|spočetný]] kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již [[Nespočetná množina\|nespočetné]]. A ony existují:	+	# Množina <big>\( \omega \,\! \)</big> všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný [[Spočetná množina\|spočetný]] kardinál. Pokud existují nějaké další kardinály, jsou již [[Nespočetná množina\|nespočetné]]. A ony existují:
	# Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.		# Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
-	# Třída <big>\( Cn \,\! </~~math~~> všech kardinálů je [[vlastní třída]] [[Izomorfismus\|izomorfní]] s třídou <big>\( On \,\! </~~math~~> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.	+	# Třída <big>\( Cn \,\! \)</big> všech kardinálů je [[vlastní třída]] [[Izomorfismus\|izomorfní]] s třídou <big>\( On \,\! \)</big> všech ordinálů – kardinály lze tedy očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.
-	Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <big>\( \omega \,\! </~~math~~>. Pokusme se najít nějaký další:	+	Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, <big>\( \omega \,\! \)</big>. Pokusme se najít nějaký další:
-	* ordinální čísla <big>\( \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! </~~math~~> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <big>\( \omega \,\! </~~math~~>	+	* ordinální čísla <big>\( \omega + 1, \omega + 2, \omega + 3, \ldots \,\! \)</big> jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál <big>\( \omega \,\! \)</big>
-	* ordinální čísla <big>\( \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! </~~math~~> jsou stále spočetná	+	* ordinální čísla <big>\( \omega + \omega = \omega.2, \omega.3, \omega.4, \ldots \,\! \)</big> jsou stále spočetná
-	* ordinální čísla <big>\( \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! </~~math~~> jsou stále spočetná	+	* ordinální čísla <big>\( \omega . \omega = \omega^2, \omega^3, \omega^4, \ldots \,\! \)</big> jsou stále spočetná
-	* ordinální čísla <big>\( \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! </~~math~~> jsou stále spočetná	+	* ordinální čísla <big>\( \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^{\omega}}}, \ldots \,\! \)</big> jsou stále spočetná
-	* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <big>\( \epsilon_0 \,\! </~~math~~>) je stále spočetné	+	* dokonce i [[supremum]] předchozí posloupnosti (označované někdy jako <big>\( \epsilon_0 \,\! \)</big>) je stále spočetné
-	Jak je vidět, za <big>\( \omega \,\! </~~math~~> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika\|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.	+	Jak je vidět, za <big>\( \omega \,\! \)</big> následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací [[ordinální aritmetika\|ordinální aritmetiky]] jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.
	== Funkce alef ==		== Funkce alef ==
-	Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <big>\( Cn - \omega \,\! </~~math~~> – také existuje izomorfismus mezi ní a <big>\( On \,\! </~~math~~>.<br />	+	Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů <big>\( Cn - \omega \,\! \)</big> – také existuje izomorfismus mezi ní a <big>\( On \,\! \)</big>.<br />
-	Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <big>\( \aleph \,\! </~~math~~>.	+	Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena <big>\( \aleph \,\! \)</big>.
-	* <big>\( \aleph_0 = \omega </~~math~~> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel	+	* <big>\( \aleph_0 = \omega \)</big> je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
-	* <big>\( \aleph_1 </~~math~~> je nejmenší nespočetný kardinál	+	* <big>\( \aleph_1 \)</big> je nejmenší nespočetný kardinál
-	* pro každý ordinál <big>\( \alpha \,\! </~~math~~> existuje kardinál <big>\( \aleph_{\alpha} </~~math~~>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <big>\( \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} </~~math~~>	+	* pro každý ordinál <big>\( \alpha \,\! \)</big> existuje kardinál <big>\( \aleph_{\alpha} \)</big>, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály <big>\( \aleph_2, \aleph_3, \aleph_{\omega}, \aleph_ {\omega^{\omega} + \omega.5 + 127} \)</big>
-	Dá se ukázat, že funkce <big>\( \aleph \,\! </~~math~~> je [[normální funkce]] (tj. rostoucí a spojitá pro [[limitní ordinál]]y) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <big>\( On \,\! </~~math~~> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <big>\( On \,\! </~~math~~>.	+	Dá se ukázat, že funkce <big>\( \aleph \,\! \)</big> je [[normální funkce]] (tj. rostoucí a spojitá pro [[limitní ordinál]]y) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě <big>\( On \,\! \)</big> nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s <big>\( On \,\! \)</big>.
-	Aplikováno konkrétně na funkci <big>\( \aleph \,\! </~~math~~>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <big>\( \alpha \,\! </~~math~~>, pro které platí, že <big>\( \alpha = \aleph_\alpha </~~math~~>.	+	Aplikováno konkrétně na funkci <big>\( \aleph \,\! \)</big>: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů <big>\( \alpha \,\! \)</big>, pro které platí, že <big>\( \alpha = \aleph_\alpha \)</big>.
-	Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <big>\( \aleph_1 \,\! </~~math~~> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <big>\( \aleph \,\! </~~math~~> má opravdu podivné vlastnosti:	+	Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání <big>\( \aleph_1 \,\! \)</big> v předchozím oddílu, vidíme, že funkce <big>\( \aleph \,\! \)</big> má opravdu podivné vlastnosti:
-	* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <big>\( \aleph_1 \,\! </~~math~~> je hodně daleko od její první hodnoty <big>\( \aleph_0 \,\! </~~math~~>)	+	* na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – <big>\( \aleph_1 \,\! \)</big> je hodně daleko od její první hodnoty <big>\( \aleph_0 \,\! \)</big>)
-	* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <big>\( Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!</~~math~~> – v takovýchto pevných bodech platí <big>\( \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! </~~math~~>	+	* na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí <big>\( Id: Id(\alpha) = \alpha \,\!\)</big> – v takovýchto pevných bodech platí <big>\( \aleph_{\alpha} = Id(\alpha) = \alpha \,\! \)</big>
	== Kardinální aritmetika ==		== Kardinální aritmetika ==
	Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]]		Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovořím o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací mě zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek [[kardinální aritmetika]]