Kofinál - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:28Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 2:		Řádka 2:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta</~~math~~> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta</~~math~~> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.	+	Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>$\alpha,\, \beta$</big> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>$ \gamma,\, \delta$</big> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.

	=== Kofinální podmnožina ===		=== Kofinální podmnožina ===
-	Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</~~math~~> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma</~~math~~>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma </~~math~~> takové <big>\(\beta \in A</~~math~~>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta</~~math~~>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma</~~math~~>.	+	Řekneme, že [[množina]] <big>$A \subseteq \gamma$</big> je '''kofinální podmnožinou''' <big>$\gamma$</big>, existuje-li pro každé <big>$\alpha \in \gamma $</big> takové <big>$\beta \in A$</big>, že <big>$\alpha\, \leq\, \beta$</big>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>$\gamma$</big>.

	Například		Například
-	* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</~~math~~> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega</~~math~~>.	+	* množina <big>$A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}$</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>$\omega \,+\, \omega$</big>.
-	* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</~~math~~> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta</~~math~~>.	+	* množina <big>$A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}$</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>$\delta \cdot \delta$</big>.
-	* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</~~math~~> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}</~~math~~> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</~~math~~>.	+	* množina <big>$A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}$</big> je kofinální podmnožina ordinálu <big>$\aleph_{\gamma}$</big> pro každé <big>$\gamma\,>\,\omega$</big>.

	=== Kofinál a kofinalita ===		=== Kofinál a kofinalita ===
-	'''Kofinálem''' [[limitní ordinál\|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma</~~math~~> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha</~~math~~> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</~~math~~> kofinální s <big>\(\gamma</~~math~~>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha</~~math~~> (tj. A je <big>\(\in</~~math~~>-[[izomorfismus\|izomorfní]] s <big>\(\alpha</~~math~~>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma</~~math~~> se značí <big>\(\, cf(\gamma)</~~math~~>.	+	'''Kofinálem''' [[limitní ordinál\|limitního ordinálu]] <big>$\gamma$</big> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>$\alpha$</big> takový, že existuje [[množina]] <big>$A \subseteq \gamma$</big> kofinální s <big>$\gamma$</big>, jejímž ordinálním typem je <big>$\alpha$</big> (tj. A je <big>$\in$</big>-[[izomorfismus\|izomorfní]] s <big>$\alpha$</big>). Kofinál limitního ordinálu <big>$\gamma$</big> se značí <big>$\, cf(\gamma)$</big>.

-	'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma</~~math~~> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)</~~math~~>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma</~~math~~> je <big>\(\, cf(\gamma)</~~math~~> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.	+	'''Kofinalitou''' <big>$\gamma$</big> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>$\, cf(\gamma)$</big>. Lze ukázat, že pro každé <big>$\gamma$</big> je <big>$\, cf(\gamma)$</big> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

	Například		Například
-	* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</~~math~~>	+	* <big>$cf(\omega + \omega) \, = \, \omega$</big>
-	* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta</~~math~~>	+	* <big>$cf(\delta \cdot \delta) = \delta$</big>
-	* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</~~math~~> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</~~math~~>	+	* <big>$cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)$</big> pro každé <big>$\gamma\,>\,\omega$</big>

	=== Regulární a singulární ordinál ===		=== Regulární a singulární ordinál ===
Řádka 26:		Řádka 26:

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</~~math~~> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</~~math~~>	+	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>$\gamma$</big> platí <big>$\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma$</big>
-	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</~~math~~> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</~~math~~>.	+	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>$\gamma$</big> platí <big>$cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)$</big>.
-	* Pro všechna <big>\(\gamma</~~math~~> je <big>\(\, cf(\gamma)</~~math~~> kardinální číslo.	+	* Pro všechna <big>$\gamma$</big> je <big>$\, cf(\gamma)$</big> kardinální číslo.
	Dále za předpokladu [[axiom výběru\|axiomu výběru]]:		Dále za předpokladu [[axiom výběru\|axiomu výběru]]:
-	* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo\|kardinál]] <big>\(\kappa</~~math~~> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</~~math~~>.	+	* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo\|kardinál]] <big>$\kappa$</big> platí <big>$\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}$</big>.

	== Související články ==		== Související články ==

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:48:59Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:48
Řádka 2:		Řádka 2:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <~~math~~>\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <~~math~~> \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.	+	Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <big>\(\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <big>\( \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.

	=== Kofinální podmnožina ===		=== Kofinální podmnožina ===
-	Řekneme, že [[množina]] <~~math~~>A \subseteq \gamma</math> je '''kofinální podmnožinou''' <~~math~~>\gamma</math>, existuje-li pro každé <~~math~~>\alpha \in \gamma </math> takové <~~math~~>\beta \in A</math>, že <~~math~~>\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <~~math~~>\gamma</math>.	+	Řekneme, že [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> je '''kofinální podmnožinou''' <big>\(\gamma</math>, existuje-li pro každé <big>\(\alpha \in \gamma </math> takové <big>\(\beta \in A</math>, že <big>\(\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <big>\(\gamma</math>.

	Například		Například
-	* množina <~~math~~>A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <~~math~~>\omega \,+\, \omega</math>.	+	* množina <big>\(A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\omega \,+\, \omega</math>.
-	* množina <~~math~~>A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <~~math~~>\delta \cdot \delta</math>.	+	* množina <big>\(A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\delta \cdot \delta</math>.
-	* množina <~~math~~>A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <~~math~~>\aleph_{\gamma}</math> pro každé <~~math~~>\gamma\,>\,\omega</math>.	+	* množina <big>\(A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <big>\(\aleph_{\gamma}</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>.

	=== Kofinál a kofinalita ===		=== Kofinál a kofinalita ===
-	'''Kofinálem''' [[limitní ordinál\|limitního ordinálu]] <~~math~~>\gamma</math> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <~~math~~>\alpha</math> takový, že existuje [[množina]] <~~math~~>A \subseteq \gamma</math> kofinální s <~~math~~>\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <~~math~~>\alpha</math> (tj. A je <~~math~~>\in</math>-[[izomorfismus\|izomorfní]] s <~~math~~>\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <~~math~~>\gamma</math> se značí <~~math~~>\, cf(\gamma)</math>.	+	'''Kofinálem''' [[limitní ordinál\|limitního ordinálu]] <big>\(\gamma</math> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <big>\(\alpha</math> takový, že existuje [[množina]] <big>\(A \subseteq \gamma</math> kofinální s <big>\(\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <big>\(\alpha</math> (tj. A je <big>\(\in</math>-[[izomorfismus\|izomorfní]] s <big>\(\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <big>\(\gamma</math> se značí <big>\(\, cf(\gamma)</math>.

-	'''Kofinalitou''' <~~math~~>\gamma</math> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <~~math~~>\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <~~math~~>\gamma</math> je <~~math~~>\, cf(\gamma)</math> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.	+	'''Kofinalitou''' <big>\(\gamma</math> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <big>\(\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

	Například		Například
-	* <~~math~~>cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>	+	* <big>\(cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
-	* <~~math~~>cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>	+	* <big>\(cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
-	* <~~math~~>cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <~~math~~>\gamma\,>\,\omega</math>	+	* <big>\(cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <big>\(\gamma\,>\,\omega</math>

	=== Regulární a singulární ordinál ===		=== Regulární a singulární ordinál ===
Řádka 26:		Řádka 26:

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Pro každý [[limitní ordinál]] <~~math~~>\gamma</math> platí <~~math~~>\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>	+	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
-	* Pro každý [[limitní ordinál]] <~~math~~>\gamma</math> platí <~~math~~>cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.	+	* Pro každý [[limitní ordinál]] <big>\(\gamma</math> platí <big>\(cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
-	* Pro všechna <~~math~~>\gamma</math> je <~~math~~>\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.	+	* Pro všechna <big>\(\gamma</math> je <big>\(\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
	Dále za předpokladu [[axiom výběru\|axiomu výběru]]:		Dále za předpokladu [[axiom výběru\|axiomu výběru]]:
-	* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo\|kardinál]] <~~math~~>\kappa</math> platí <~~math~~>\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.	+	* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo\|kardinál]] <big>\(\kappa</math> platí <big>\(\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.

	== Související články ==		== Související články ==

Sysop: + Nový článek

2019-03-03T14:53:28Z

+ Nový článek

Nová stránka

'''Kofinál''' či také '''kofinalita''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] je [[matematika|matematický]] pojem z oblasti [[teorie množin]] ([[ordinální aritmetika|ordinální aritmetiky]]). Je to jedna ze základních charakteristik limitních ordinálů, vyjadřuje „míru přístupnosti horních pater ordinálu“.

== Definice ==
Pojem '''kofinality''' má smysl definovat jen pro limitní ordinální čísla. Dále tedy <math>\alpha,\, \beta</math> budou označovat libovolná ordinální čísla a <math> \gamma,\, \delta</math> budou označovat vždy [[limitní ordinál]]y.

=== Kofinální podmnožina ===
Řekneme, že [[množina]] <math>A \subseteq \gamma</math> je '''kofinální podmnožinou''' <math>\gamma</math>, existuje-li pro každé <math>\alpha \in \gamma </math> takové <math>\beta \in A</math>, že <math>\alpha\, \leq\, \beta</math>. Říkáme také, že ''A'' je kofinální s <math>\gamma</math>.

Například
* množina <math>A=\{\omega + \alpha ; \alpha \in \omega \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\omega \,+\, \omega</math>.
* množina <math>A=\{\delta \cdot \alpha + \alpha ; \alpha \in \delta \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\delta \cdot \delta</math>.
* množina <math>A=\{\aleph_{\alpha}; \alpha \in \gamma \}</math> je kofinální podmnožina ordinálu <math>\aleph_{\gamma}</math> pro každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>.

=== Kofinál a kofinalita ===
'''Kofinálem''' [[limitní ordinál|limitního ordinálu]] <math>\gamma</math> rozumíme nejmenší [[ordinál]] <math>\alpha</math> takový, že existuje [[množina]] <math>A \subseteq \gamma</math> kofinální s <math>\gamma</math>, jejímž ordinálním typem je <math>\alpha</math> (tj. A je <math>\in</math>-[[izomorfismus|izomorfní]] s <math>\alpha</math>). Kofinál limitního ordinálu <math>\gamma</math> se značí <math>\, cf(\gamma)</math>.

'''Kofinalitou''' <math>\gamma</math> rozumíme [[mohutnost]] (kardinalitu) <math>\, cf(\gamma)</math>. Lze ukázat, že pro každé <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> [[kardinální číslo]], a tedy pojmy kofinál a kofinalita splývají.

Například
* <math>cf(\omega + \omega) \, = \, \omega</math>
* <math>cf(\delta \cdot \delta) = \delta</math>
* <math>cf(\aleph_{\gamma})\,= \, cf(\gamma)</math> pro každé <math>\gamma\,>\,\omega</math>

=== Regulární a singulární ordinál ===
[[Limitní ordinál]], který je roven své kofinalitě se nazývá '''regulární'''. V opačném případě (je-li kofinalita menší) se nazývá '''singulární'''.

== Vlastnosti ==
* Pro každý [[limitní ordinál]] <math>\gamma</math> platí <math>\omega \, \leq \, cf(\gamma) \, \leq \, \gamma</math>
* Pro každý [[limitní ordinál]] <math>\gamma</math> platí <math>cf(cf(\gamma)) \, = \, cf(\gamma)</math>.
* Pro všechna <math>\gamma</math> je <math>\, cf(\gamma)</math> kardinální číslo.
Dále za předpokladu [[axiom výběru|axiomu výběru]]:
* Pro každý nekonečný [[kardinální číslo|kardinál]] <math>\kappa</math> platí <math>\kappa\, < \, \kappa^{cf(\kappa)}</math>.

== Související články ==
* [[regulární ordinál]]
* [[singulární ordinál]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Ordinální čísla]]

Kofinál - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Nový článek

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“