Sysop: Nahrazení textu „|thumb|upright|“ textem „|thumb|200px|“

2014-12-15T08:49:41Z

← Starší verze		Verze z 15. 12. 2014, 08:49
Řádka 1:		Řádka 1:
-	[[Soubor:Complex conjugate picture.png\|thumb\|~~upright~~\|Znázornění komplexního čísla <math>z = x + iy</math> a čísla k němu [[komplexně sdružené číslo\|komplexně sdruženého]] <math>\bar z = x - iy</math> v [[komplexní rovina\|komplexní rovině]]. ''r'' je [[absolutní hodnota]] (norma).]]	+	[[Soubor:Complex conjugate picture.png\|thumb\|200px\|Znázornění komplexního čísla <math>z = x + iy</math> a čísla k němu [[komplexně sdružené číslo\|komplexně sdruženého]] <math>\bar z = x - iy</math> v [[komplexní rovina\|komplexní rovině]]. ''r'' je [[absolutní hodnota]] (norma).]]
	'''Komplexní čísla''' (z latinského ''complexus'', složený) vznikají rozšířením oboru [[reálné číslo\|reálných čísel]] tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle [[Základní věta algebry\|základní věty algebry]]. Například [[kvadratická rovnice]] ''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její [[diskriminant]] (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako ''a'' + ''bi'', přičemž ''i'' znamená [[imaginární jednotka\|imaginární jednotku]], definovanou vztahem ''i''<sup>2</sup> = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± ''i''. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny.		'''Komplexní čísla''' (z latinského ''complexus'', složený) vznikají rozšířením oboru [[reálné číslo\|reálných čísel]] tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle [[Základní věta algebry\|základní věty algebry]]. Například [[kvadratická rovnice]] ''x''<sup>2</sup> + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její [[diskriminant]] (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako ''a'' + ''bi'', přičemž ''i'' znamená [[imaginární jednotka\|imaginární jednotku]], definovanou vztahem ''i''<sup>2</sup> = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± ''i''. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny.
	Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose '''''Re''''', budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose '''''Im''''' a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi [''x'', ''y'']. Číslo tvaru [''x'', 0] je reálné, číslo tvaru [0, ''y''] je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu [''x'', ''y''] od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo [''x'', −''y'']) je zrcadlovým obrazem bodu [''x'', ''y''] podle reálné osy '''''Re'''''.		Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose '''''Re''''', budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose '''''Im''''' a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi [''x'', ''y'']. Číslo tvaru [''x'', 0] je reálné, číslo tvaru [0, ''y''] je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu [''x'', ''y''] od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo [''x'', −''y'']) je zrcadlovým obrazem bodu [''x'', ''y''] podle reálné osy '''''Re'''''.

Sysop: 1 revizi

2014-01-07T20:34:04Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 7. 1. 2014, 20:34

Sysop: Nahrazení textu

2011-10-14T23:12:29Z

Nahrazení textu

Nová stránka

[[Soubor:Complex conjugate picture.png|thumb|upright|Znázornění komplexního čísla <math>z = x + iy</math> a čísla k němu [[komplexně sdružené číslo|komplexně sdruženého]] <math>\bar z = x - iy</math> v [[komplexní rovina|komplexní rovině]]. ''r'' je [[absolutní hodnota]] (norma).]]
'''Komplexní čísla''' (z latinského ''complexus'', složený) vznikají rozšířením oboru [[reálné číslo|reálných čísel]] tak, aby v něm každá algebraická rovnice měla příslušný počet řešení podle [[Základní věta algebry|základní věty algebry]]. Například [[kvadratická rovnice]] ''x''2 + 1 = 0 nemá v oboru reálných čísel řešení, protože její [[diskriminant]] (−4) je záporný a jeho odmocnina zde není definována. Komplexní číslo má dvě složky, reálnou a imaginární, a zapisuje se nejčastěji jako ''a'' + ''bi'', přičemž ''i'' znamená [[imaginární jednotka|imaginární jednotku]], definovanou vztahem ''i''2 = −1. Zmíněná rovnice pak má dvě řešení, ± ''i''. Pro operace s komplexními čísly platí pravidla pro počítání s dvojčleny.
Komplexní čísla lze interpretovat geometricky. Jako se reálná čísla zobrazují na reálné ose '''''Re''''', budou imaginární čísla zobrazena na kolmé imaginární ose '''''Im''''' a každé komplexní číslo se zobrazí jako bod v rovině se souřadnicemi [''x'', ''y'']. Číslo tvaru [''x'', 0] je reálné, číslo tvaru [0, ''y''] je ryze imaginární. Absolutní hodnota komplexního čísla je pak vzdálenost bodu [''x'', ''y''] od počátku souřadnic a číslo komplexně sdružené (tj. číslo [''x'', −''y'']) je zrcadlovým obrazem bodu [''x'', ''y''] podle reálné osy '''''Re'''''.
Komplexní čísla jsou významná nejen v matematice, ale také ve fyzice, zejména v elektrotechnice, v optice, v hydrodynamice i jinde.
== Zápis a související pojmy ==
'''Komplexním číslem''' nazveme číslo tvaru <math> a + bi \,\! </math>, kde <math> a \,\! </math> a <math> b \,\! </math> jsou [[Reálné číslo|reálná čísla]]. Tento tvar komplexního čísla se nazývá '''algebraický'''. Písmeno <math> i \,\! </math> značí '''imaginární jednotku''', která se formálně zavádí jako číslo splňující rovnici <math>i^2+1=0\,,</math> tj. jako [[odmocnina]] z −1, která v reálných číslech neexistuje. Elektrotechnici používají komplexní čísla velice často k výpočtu střídavých proudů obvodem, a protože přitom střídavý proud označují malým písmenem i, neoznačují imaginární jednotku písmenem i, ale písmenem j.
Reálné číslo <math> a \,\! </math> se nazývá '''reálnou částí''' tohoto komplexního čísla a číslo <math> b \,\! </math> jeho '''imaginární částí'''. Pokud je <math> b = 0 \,\! </math>, je dotyčné číslo reálným číslem <math> a \,\! </math>, tj. reálná čísla tvoří podmnožinu čísel komplexních. Pokud je <math> a = 0 \,\! </math>, mluvíme o '''ryze imaginárním číslu'''.
=== Značení ===
Potřebujeme-li pracovat pouze s reálnou, resp. imaginární částí komplexního čísla <math>z \,\!</math>, používáme zápis
<math>a = \mathrm{Re}(z) = \Re(z)</math>,
<math>b = \mathrm{Im}(z) = \Im(z)</math>,
kde <math>a,b \,\!</math> jsou reálná čísla. Komplexní číslo <math>z \,\!</math> lze tedy také vyjádřit některým z následujících zápisů <math>z = a + \mathrm{i}b = \mathrm{Re}(z) + \mathrm{i} \mathrm{Im}(z) = \Re(z) + \mathrm{i} \Im(z) \,\!</math>.
S imaginární jednotkou se zachází jako s každým jiným číslem, proto je možné používat následujících zkrácených zápisů:
* <math> 0 + x.i = x.i \,\! </math>
* <math> x + 0.i = x \,\! </math>
* <math> 1.i = i \,\! </math>
* <math> -1.i = -i \,\! </math>
=== Příklad ===
Číslo <math> z = 3 + 2i \,\! </math> má reálnou část <math> \mathrm{Re}(z) = 3 \,\!</math> a imaginární část <math> \mathrm{Im}(z) = 2 \,\!</math>. Nejedná se ani o reálné, ani o ryze imaginární číslo.
== Důvody pro zavedení komplexních čísel ==
Už perský matematik [[Al-Khwarizmi]] (asi 820) si všiml, že některé kvadratické rovnice nemají řešení. Italský matematik [[Girolamo Cardano]] (1501-1576) ukázal, že by stačilo vhodně definovat odmocninu záporného čísla, a [[René Descartes]] zavedl 1637 označení reálné a imaginární číslo. Zajímavé výsledky zkoumání těchto „neskutečných“ čísel ukázal [[Leonhard Euler]] a komplexní čísla přesně zavedl francouzský matematik [[Augustin Louis Cauchy]] (1821) a nezávisle na něm [[Carl Friedrich Gauss]] (1831).
Obor reálných čísel, který vyjadřuje dostatečně dobře jakoukoliv kvantitu (množství), se tedy rozšiřuje do oboru komplexních čísel, jejichž význam není intuitivně příliš zřejmý, především proto, že v reálném oboru neleží řešení (kořeny) některých algebraických rovnic, čili obor reálných čísel není vzhledem k nim uzavřený.
V oboru reálných čísel existují [[polynom]]y (s reálnými [[koeficient]]y a kladnými nezápornými celočíselnými [[exponent]]y), které nemají v oboru reálných čísel žádný [[kořen (matematika)|kořen]], případně je počet jejich reálných kořenů nižší, než stupeň polynomu.
Obor komplexních čísel je uzavřený nejen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uzavřenost zaručuje [[Základní věta algebry]], která tvrdí, že polynom ''n''-tého stupně má v oboru komplexních čísel n kořenů.
=== Příklad ===
Polynom <math> x^2 + 1 \,\! </math> nemá v oboru reálných čísel žádný kořen. V oboru komplexních čísel jsou jeho kořeny čísla <math> i \,\! </math> a <math> -i \,\! </math>, protože:
* <math> i^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math>
* <math> (-i)^2 + 1 = -1 + 1 = 0 \,\! </math>
== Operace s komplexními čísly ==
=== Algebraický tvar komplexních čísel ===
Pro čísla v algebraickém tvaru lze jednoduchými algebraickými úpravami odvodit vztahy pro [[součet]], [[rozdíl]] a [[součin]] dvou komplexních čísel:
* <math>(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d) \,\! </math>
* <math>(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d) \,\! </math>
* <math>(a+ib)\cdot(c+id)=(ac-bd)+i(ad + bc) \,\! </math>
[[Podíl]] dvou komplexních čísel lze vyjádřit takto:
* <math> {a + ib \over c + id} = {(a + ib) (c - id) \over (c + i d) (c - i d)} = {(ac+bd) + i (bc-ad) \over c^2 + d^2} = \left({a c + b d \over c^2 + d^2}\right) + i \left( {b c - a d \over c^2 + d^2} \right). </math>
Pro komplexní číslo <math>z=a+bi</math> je definována '''konjugace''' ([[komplexně sdružené číslo]]) <math>\bar{z}:=a-bi</math>. Jejich součin <math>z\bar{z}=a^2+b^2</math> je vždy reálný a nezáporný a je roven nule pouze když <math>z=0</math>. Pak můžeme psát pro inverzi stručně <math>z^{-1}=\bar{z}/(z\bar{z})</math> pro <math>z\neq 0</math>.
'''Norma''' komplexního čísla <math>z</math> je definována jako <math>|z|:=\sqrt{z\bar{z}}</math>. Platí, že pro libovolná komplexní čísla <math>z,w</math> je <math>|zw|=|z||w|</math>, t.j. norma součinu je součin norem.
=== Geometrické znázornění komplexních čísel ===
Komplexní čísla se zobrazují v komplexní (Gaussově) rovině jako [[bod]]y se souřadnicemi ''x,y''; ''x'' je reálná část komplexního čísla, ''y'' imaginární část. Na [[osa|ose]] ''x'' leží reálná čísla, ose ''y'' ryze imaginární čísla. Kombinací těchto dvou složek (reálné a imaginární) dostaneme množinu všech komplexních čísel, tj. Gaussova rovina.
=== Goniometrický tvar komplexních čísel ===
Každé komplexní číslo '''z''' různé od nuly je možné jednoznačně vyjádřit v [[goniometrie|goniometrickém]] tvaru. Pokud si v komplexní rovině zvolíme [[Polární soustava souřadnic|polární]] [[souřadnicový systém]], vzdálenost od počátku označíme ''|z|'' ([[absolutní hodnota]], také nazývaná norma nebo modul) a orientovaný [[úhel]] <math>\phi = JOZ</math> (argument), kde J[1;0], O je počátkem soustavy a Z je obraz komplexního čísla ''a'' + ''bi'' se souřadnicemi Z[''a'';''b''], platí:
<math>z=|z|(\cos \varphi + i.\sin \varphi) \,</math>.
Absolutní hodnotu z algebraického tvaru komplexního čísla <math>z = a + bi</math> lze vyjádřit takto: <math>|z| = \sqrt{ a^2 + b^2 }</math>. 
Argument <math>\varphi</math> lze vyjádřit ze vztahů: <math>\cos \varphi = \frac{a}{|z|}</math>    a   <math>\sin \varphi = \frac{b}{|z|}</math>
Pro dělení komplexních čísel 
<math>z_1=|z_1|.(\cos \varphi_1 + i.\sin \varphi_1)</math> a 
<math>z_2=|z_2|.(\cos \varphi_2 + i.\sin \varphi_2)</math> 
platí následující rovnice:
<math>\frac{z_1}{z_2}=\frac{|z_1|}{|z_2|}[\cos (\varphi_1 - \varphi_2) + i.\sin (\varphi_1 - \varphi_2)]</math>
Pro násobení komplexních čísel ''z''1 a ''z''2 z předchozího příkladu slouží vzorec:
<math>z_1 . z_2=|z_1| . |z_2| . [\cos (\varphi_1 + \varphi_2) + i.\sin (\varphi_1 + \varphi_2)]</math>
Pro ''n''-tou [[umocňování|mocninu]] komplexní čísla v goniometrickém tvaru platí tzv. [[Moivreova věta]]:
<math>z^n = |z|^n (\cos n\varphi + i\sin n\varphi) \,</math>
Pro převod komplexních čísel z goniometrického tvaru na algebraický stačí zjistit hodnotu <math>\cos \varphi</math> a <math>\sin \varphi</math> a roznásobit závorku jako při práci s klasickým mnohočlenem.
----
Komplexní funkce reálné proměnné je [[Funkce (matematika)|funkce]], jejímž [[definiční obor|definičním oborem]] jsou reálná čísla a [[obor hodnot|oborem hodnot]] jsou komplexní čísla.
Platí: ''h''(''x'') = ''f''(''x'') + ''ig''(''x'')
kde ''f'' je reálná část a ''g'' imaginární část komplexní funkce ''h''.
Obrazem takovéto funkce v Gaussově rovině je množina všech bodů ''X'' = [''f''(''x''),''g''(''x'')], kde ''x'' je z definičního oboru funkce.
Při práci s komplexními čísly se také často využívá [[Eulerův vzorec]].
== Základní vlastnosti ==
Množina komplexních čísel se v matematice značí písmenem <math>\mathbb{C}</math>.
Komplexní čísla spolu se sčítáním, násobením a dělením tvoří [[těleso (algebra)|těleso]]. Je to největší komutativní nadtěleso reálných čísel a taky je to [[algebraický uzávěr]] tělesa reálných čísel. Toto těleso nelze uspořádat.
Komplexní čísla <math>\mathbb{C}</math> je možno chápat jako dvoudimenzionální normovanou podílovou algebru nad <math>\mathbb{R}</math>. Existují právě dva [[automorfizmus|automorfizmy]] <math>\mathbb{C}</math> jakožto algebry nad <math>\mathbb{R}</math>: identita a konjugace.
Je zajímavé, že existuje nekonečně mnoho automorfizmů <math>\mathbb{C}</math> jako tělesa (ovšem jsou velmi nespojité a nezachovávají <math>\mathbb{R}\subset\mathbb{C}</math>, což znamená, že reálná a čistě imaginární čísla nejsou určena samotnou strukturou tělesa <math>\mathbb{C}</math> – porovnej s [[kvaternion]]y).
== Definice pomocí uspořádaných dvojic ==
Často jsou také komplexní čísla zaváděna jako všechny uspořádané dvojice [[reálné číslo|reálných čísel]] <math> (a,b) </math> s definovanými operacemi sčítání a násobení:
<math>(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) \,</math>
<math>(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\,</math>
Znaménko <math>\cdot</math> u násobení obvykle vynecháváme.
Množinu všech komplexních čísel obvykle značíme <math>\mathbb C</math>.
Číslo <math>(0,1)</math> pak nazveme [[imaginární jednotka|imaginární jednotkou]] (zapisujeme <math>i</math>). Pro číslo <math>i</math> platí <math>i^2=-1</math>.
Použitím axiomů [[reálné číslo|reálných čísel]] dostaneme následující tvrzení:
<math>\forall (a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2)\in{\mathbb C}:</math>
1. <math>(a_1,a_2)+(b_1,b_2)=(b_1,b_2)+(a_1,a_2)\,</math> 
2. <math>(a_1,a_2)+\big((b_1,b_2)+(c_1,c_2)\big)=\big((a_1,a_2)+(b_1,b_2)\big)+(c_1,c_2)\,</math> 
3. <math>(a_1,a_2)+(0,0)=(a_1,a_2)\,</math> 
4. <math>(a_1,a_2)+(-a_1,-a_2)=(0,0)\,</math> 
5. <math>(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)=(b_1,b_2)\cdot(a_1,a_2)</math> 
6. <math>(a_1,a_2)\cdot\big((b_1,b_2)\cdot(c_1,c_2)\big)=\big((a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)\big)\cdot(c_1,c_2)</math> 
7. <math>(a_1,a_2)\cdot(1,0)=(a_1,a_2)</math> 
8. <math>\forall(a_1,a_2)\neq(0,0)\;(a_1,a_2)\cdot\left({a_1\over a_1^2+a_2^2},{-a_2\over a_1^2+a_2^2}\right)=(1,0)</math> 
9. <math>(a_1,a_2)\cdot\big((b_1,b_2)+(c_1,c_2)\big)=(a_1,a_2)\cdot(b_1,b_2)+(a_1,a_2)\cdot(c_1,c_2)</math> 
== Související články ==
* [[Komplexně sdružené číslo]]
* [[Komplexní rovina]]
* [[Riemannova koule]]
== Reference ==
* Prof. RNDr. Miloš Ráb, DrSc.: ''Komplexní čísla v elementární matematice'', Masarykova univerzita, Brno, 1997, ISBN 80-210-1475-X
== Externí odkazy ==
* [http://www.karlin.mff.cuni.cz/~robova/stranky/silarova/index.html Komplexní čísla ve výuce matematiky na střední škole s využitím internetu, Lenka Šilarová, diplomová práce MFF UK]
* [http://artemis.osu.cz/mmmat/txt/sm/kxo.htm Repetitorium středoškolské matematiky (Ostravská univerzita) - Komplexní čísla]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Číselné obory]]
[[Kategorie:Komplexní čísla]]

Komplexní číslo - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: Nahrazení textu „|thumb|upright|“ textem „|thumb|200px|“

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu

Komplexní číslo - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: Nahrazení textu „|thumb|upright|“ textem „|thumb|200px|“

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“