Sysop: + Nový a lepší článek

2015-10-30T01:07:14Z

+ Nový a lepší článek

Nová stránka

'''Kvazigrupa''' je v [[matematika|matematice]] taková [[algebraická struktura]] s jednou [[binární operace|binární operací]], která je [[grupoid]]em a ve které je navíc možné „[[Dělení|dělit]]“. Na rozdíl od [[Grupa|grupy]] nemusí být operace [[Asociativita|asociativní]] a nemusí existovat [[neutrální prvek]]. Kvazigrupa s neutrálním prvkem se nazývá '''lupa'''.

[[Násobicí tabulka|Násobicí tabulky]] kvazigrup odpovídají [[latinský čtverec|latinským čtvercům]].

== Formální definice ==
'''Kvazigrupa''' (''Q'',*) je taková [[množina]] ''Q'' s [[binární operace|binární operací]] ''*'', že pro každé ''a'' a ''b'' z ''Q'' existují jednoznačně určená ''x'' a ''y'' z ''Q'', že platí:
*''a''*''x'' = ''b'' ;
*''y''*''a'' = ''b'' .
Jinými slovy: Pro dva prvky ''a'' a ''b'', můžeme hodnotu ''b'' najít v řádku ''a'' a sloupci ''a'' tabulky skládání prvků kvazigrupy Q pro operaci *, tzv. Cayleyovy tabulky kvazigrupy. 

Jedinečná řešení těchto dvou rovnic jsou ''x'' = ''a''\''b'' a ''y'' = ''b''/''a''. Operace ''\'' a ''/'' se nazývají pravé a levé dělení.

== Lupa ==
'''Lupa''' je kvazigrupa, která obsahuje neutrální prvek (identitu). Je-li ''n'' neutrálním prvkem kvazigrupy Q, platí: 

''x'' * ''n'' = ''x'' = ''n'' * ''x'', pro každé ''x'' z ''Q''.

Z toho plyne, že neutrální prvek ''n'' je pro každý prvek z ''Q'' stejný, a že každý prvek z ''Q'' má jedinečný neutrální inverzní prvek zprava a zleva.

'''Moufangové lupa''' je lupa, která splňuje Moufangové identitu:

(''x'' * ''y'') * (''z'' * ''x'') = ''x'' * ((''y'' * ''z'') * ''x'').

== Příklady ==
* Každá grupa je lupa, protože platí: ''a'' * ''x''= ''b'', právě a pouze tehdy, když ''a''−1 * ''b'', a ''y'' * ''a'' = ''b'' právě a pouze tehdy, když ''y'' = ''b'' * ''a''−1.
* [[Celá čísla]] ''Z'' s operací odčítání (-) tvoří kvazigrupu.
* Racionální čísla bez nuly ''Qx'' (nebo reálná čísla bez nuly ''Rx'') s operací dělení (÷) tvoří kvazigrupu.
* Každá [[grupa]] je zároveň i kvazigrupa.
* Jakýkoli vektorový prostor nad charakteristickým polem různým od čísla 2 tvoří idempotentní komutativní kvazigrupu s operací ''x'' * ''y'' = (''x'' + ''y'') / 2.
* Nenulové [[oktonion]]y spolu s násobením tvoří neasociativní lupu. Oktoniony jsou speciálním případem lupy, které se říká Moufangové lupa.

== Vlastnosti ==
{| align= "right" class="wikitable"
! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big>
|-
!   
! width=60 | [[Asociativita]]
! width=60 | [[Neutrální prvek]]
! width=60 | [[Inverzní prvek]]
|- align="center"
! [[Grupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center"
! [[Monoid]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Pologrupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Lupa (matematika)|Lupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center"
! [[Kvazigrupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Grupoid]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|}
Ve zbytku článku budeme označovat násobení v kvazigrupě jednoduše vedle sebe.

Kvazigrupy mají vlastnost '''krácení''': Jestliže ''ab''=''ac'', pak ''b''=''c''. To vyplývá z jedinečnosti levého dělení ''ab'' nebo ''ac'' prvkem ''a''. Obdobně ''ba''=''ca'', pak ''b''=''c''.

=== Zobrazení násobení ===
Definici kvazigrupy ''Q'' můžeme upravit na zobrazení levého a pravého násobení ''L(x)'', ''R(x)'': ''Q''→''Q'', která jsou definována:

''L(x)y''=''xy'', ''R(x)y''=''yx''

Definice říká, že obě zobrazení jsou bijekcemi množiny ''Q'' do sebesama.

Grupoid ''Q'' je kvazigrupou právě tehdy, když tato všechna zobrazení, pro každé ''x'' ∈ ''Q'', jsou bijektivní.

Inverzní zobrazení pravého a levého dělení jsou potom zapsána:

''L(x)-1y''=''x\y'', ''R(x)-1y''=''y\x''

V tomto zápisu jsou neutrální prvky mezi operacemi násobení a dělení kvazigrupy, kde ''1'' označuje neutrální prvek zobrazování na ''Q'':

''L(x)L(x)-1''=''1''

''L(x)-1L(x)''=''1''

''R(x)R(x)-1''=''1''

''R(x)-1R(x)''=''1''

=== Latinské čtverce ===
Je-li ''Q'' konečná řádu ''n'', potom Caleyho (multiplikativní) tabulka ''Q'' tvoří latinský čtverec ''n''×''n'' tj. čtverec vyplněný čísly z množiny {''1'',…,''n''} tak, že v každém řádku a sloupci se žádné dvě čísla neopakují.

== Literatura ==
* Chein, O., H. O. Pflugfelder, and J.D.H. Smith, eds. (1990), ''Quasigroups and Loops: Theory and Applications''. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-008-0.
* Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H. (2007), ''Handbook of Combinatorial Designs (2nd ed.)'', Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, ISBN 1-58488-506-8
* Dudek, W.A., and Glazek, K. (2008), ''Around the Hosszu-Gluskin Theorem for n-ary groups'', Discrete Math. 308: 4861-4876.
* Pflugfelder, H.O. (1990), ''Quasigroups and Loops: Introduction''. Berlin: Heldermann. ISBN 3-88538-007-2.
* Smith, J.D.H. (2007), ''An Introduction to Quasigroups and their Representations''. Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-537-8.
* Smith, J.D.H. and Anna B. Romanowska (1999), ''Post-Modern Algebra''. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-12738-8.

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Kvazigrupa - Historie editací

Sysop: + Nový a lepší článek