Lebesgueův integrál - Historie editací

Sysop: ++

2024-12-27T09:55:52Z

← Starší verze		Verze z 27. 12. 2024, 09:55
Řádka 1:		Řádka 1:
	[[Soubor:Integral-area-under-curve.png\|thumb\|200px\|Integrál nezáporné funkce může být interpretován jako plocha pod křivkou grafu funkce.]]		[[Soubor:Integral-area-under-curve.png\|thumb\|200px\|Integrál nezáporné funkce může být interpretován jako plocha pod křivkou grafu funkce.]]
	'''Lebesgueův integrál''' někdy se můžeme setkat s názvem '''L-integrál''' označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na [[Teorie míry\|teorii míry]].		'''Lebesgueův integrál''' někdy se můžeme setkat s názvem '''L-integrál''' označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na [[Teorie míry\|teorii míry]].
-	Lebesgueův integrál je obecnější než [[Riemannův integrál\|integrál Riemannův]], což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. [[Dirichletova funkce]], jejíž funkční hodnota je 1, pokud je argument [[racionální číslo]], a je rovna 0, pokud je argumentem [[iracionální číslo]], má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál). Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi [[Henri ~~Lebesgue]]ovi~~ .	+	Lebesgueův integrál je obecnější než [[Riemannův integrál\|integrál Riemannův]], což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. [[Dirichletova funkce]], jejíž funkční hodnota je 1, pokud je argument [[racionální číslo]], a je rovna 0, pokud je argumentem [[iracionální číslo]], má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál).
		+
		+	Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi Henri Lebesgueovi (* 28. června 1875, † 26. července 1941).

	== Definice ==		== Definice ==
Řádka 11:		Řádka 13:
	Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme		Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme

-	<big>\(	+	<big>$\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu$</big>
-	\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu	+
-	\)</big>	+

	(má-li výraz smysl), kde <big>$f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}$</big> je kladná část funkce <big>$f$</big> a <big>$f^- = \max\{ 0, -f\}$</big> je záporná část <big>$f$</big>.		(má-li výraz smysl), kde <big>$f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}$</big> je kladná část funkce <big>$f$</big> a <big>$f^- = \max\{ 0, -f\}$</big> je záporná část <big>$f$</big>.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</~~matH~~> integrál nemá tehdy, když	+	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>$f$</big> integrál nemá tehdy, když

	<big>$ \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty $</big>		<big>$ \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty $</big>

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:38Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 4:		Řádka 4:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Nechť <big>\((X, \mathcal{M}, \mu)</~~math~~> je prostor s [[míra\|mírou]], <big>\(M \in \mathcal{M}</~~math~~>. Pro [[měřitelná funkce\|měřitelnou]] nezápornou funkci <big>\(f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}</~~math~~> definujeme Lebesgueův integrál vztahem	+	Nechť <big>$(X, \mathcal{M}, \mu)$</big> je prostor s [[míra\|mírou]], <big>$M \in \mathcal{M}$</big>. Pro [[měřitelná funkce\|měřitelnou]] nezápornou funkci <big>$f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}$</big> definujeme Lebesgueův integrál vztahem

	<big>\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\}		<big>\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\}
-	</~~math~~>	+	\)</big>

	Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme		Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme
Řádka 13:		Řádka 13:
	<big>\(		<big>\(
	\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu		\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu
-	</~~math~~>	+	\)</big>

-	(má-li výraz smysl), kde <big>\(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}</~~math~~> je kladná část funkce <big>\(f</~~math~~> a <big>\(f^- = \max\{ 0, -f\}</~~math~~> je záporná část <big>\(f</~~math~~>.	+	(má-li výraz smysl), kde <big>$f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}$</big> je kladná část funkce <big>$f$</big> a <big>$f^- = \max\{ 0, -f\}$</big> je záporná část <big>$f$</big>.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</matH> integrál nemá tehdy, když		* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</matH> integrál nemá tehdy, když

-	<big>\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty </~~math~~>	+	<big>$ \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty $</big>

-	* Pro [[jednoduchá funkce\|jednoduchou funkci]] <big>\(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}</~~math~~> je možné napsat definiční vztah jako	+	* Pro [[jednoduchá funkce\|jednoduchou funkci]] <big>$s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}$</big> je možné napsat definiční vztah jako

-	<big>\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)</~~math~~>	+	<big>$\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)$</big>

	Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.		Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

-	== <big>\(L^p</~~math~~> prostory ==	+	== <big>$L^p$</big> prostory ==
-	Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <big>\(\mathcal{L}^p</~~math~~> prostory funkcí	+	Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <big>$\mathcal{L}^p$</big> prostory funkcí

-	<big>\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}</~~math~~>	+	<big>$\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}$</big>

	a zavedeme množinovou funkci		a zavedeme množinovou funkci

-	<big>\(\\|f\\|_p = \left(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}</~~math~~>	+	<big>$\\|f\\|_p = \left(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}$</big>

-	Snadno se ukáže, že <big>\(\\|f\\|_p</~~math~~> splňuje všechny vlastnosti [[norma\|normy]] kromě jedné: <big>\(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu = 0</~~math~~> neznamená <big>\(f=0</~~math~~> všude v <big>\(X</~~math~~>, ale pouze skoro všude v <big>\(X</~~math~~>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.	+	Snadno se ukáže, že <big>$\\|f\\|_p$</big> splňuje všechny vlastnosti [[norma\|normy]] kromě jedné: <big>$\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu = 0$</big> neznamená <big>$f=0$</big> všude v <big>$X$</big>, ale pouze skoro všude v <big>$X$</big>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.

-	Zavádí se proto prostory <big>\(L^p</~~math~~> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <big>\(\\|f\\|_p</~~math~~> normou.	+	Zavádí se proto prostory <big>$L^p$</big> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <big>$\\|f\\|_p$</big> normou.

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:19Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 4:		Řádka 4:

	== Definice ==		== Definice ==
-	Nechť <~~math~~>(X, \mathcal{M}, \mu)</math> je prostor s [[míra\|mírou]], <~~math~~>M \in \mathcal{M}</math>. Pro [[měřitelná funkce\|měřitelnou]] nezápornou funkci <~~math~~>f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}</math> definujeme Lebesgueův integrál vztahem	+	Nechť <big>\((X, \mathcal{M}, \mu)</math> je prostor s [[míra\|mírou]], <big>\(M \in \mathcal{M}</math>. Pro [[měřitelná funkce\|měřitelnou]] nezápornou funkci <big>\(f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}</math> definujeme Lebesgueův integrál vztahem

-	<~~math~~> \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\}	+	<big>\( \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\}
	</math>		</math>

	Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme		Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme

-	<~~math~~>	+	<big>\(
	\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu		\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu
	</math>		</math>

-	(má-li výraz smysl), kde <~~math~~>f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}</math> je kladná část funkce <~~math~~>f</math> a <~~math~~>f^- = \max\{ 0, -f\}</math> je záporná část <~~math~~>f</math>.	+	(má-li výraz smysl), kde <big>\(f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}</math> je kladná část funkce <big>\(f</math> a <big>\(f^- = \max\{ 0, -f\}</math> je záporná část <big>\(f</math>.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <~~math~~>f</matH> integrál nemá tehdy, když	+	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <big>\(f</matH> integrál nemá tehdy, když

-	<~~math~~> \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty </math>	+	<big>\( \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty </math>

-	* Pro [[jednoduchá funkce\|jednoduchou funkci]] <~~math~~>s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}</math> je možné napsat definiční vztah jako	+	* Pro [[jednoduchá funkce\|jednoduchou funkci]] <big>\(s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}</math> je možné napsat definiční vztah jako

-	<~~math~~>\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)</math>	+	<big>\(\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)</math>

	Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.		Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.

-	== <~~math~~>L^p</math> prostory ==	+	== <big>\(L^p</math> prostory ==
-	Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <~~math~~>\mathcal{L}^p</math> prostory funkcí	+	Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <big>\(\mathcal{L}^p</math> prostory funkcí

-	<~~math~~>\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}</math>	+	<big>\(\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}</math>

	a zavedeme množinovou funkci		a zavedeme množinovou funkci

-	<~~math~~>\\|f\\|_p = \left(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}</math>	+	<big>\(\\|f\\|_p = \left(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}</math>

-	Snadno se ukáže, že <~~math~~>\\|f\\|_p</math> splňuje všechny vlastnosti [[norma\|normy]] kromě jedné: <~~math~~>\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu = 0</math> neznamená <~~math~~>f=0</math> všude v <~~math~~>X</math>, ale pouze skoro všude v <~~math~~>X</math>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.	+	Snadno se ukáže, že <big>\(\\|f\\|_p</math> splňuje všechny vlastnosti [[norma\|normy]] kromě jedné: <big>\(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu = 0</math> neznamená <big>\(f=0</math> všude v <big>\(X</math>, ale pouze skoro všude v <big>\(X</math>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.

-	Zavádí se proto prostory <~~math~~>L^p</math> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <~~math~~>\\|f\\|_p</math> normou.	+	Zavádí se proto prostory <big>\(L^p</math> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <big>\(\\|f\\|_p</math> normou.

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-08T14:45:50Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 8. 8. 2014, 14:45
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia~~-cs\|Lebesgueův integrál\|~~700}}~~	+	[[Soubor:Integral-area-under-curve.png\|thumb\|200px\|Integrál nezáporné funkce může být interpretován jako plocha pod křivkou grafu funkce.]]
		+	'''Lebesgueův integrál''' někdy se můžeme setkat s názvem '''L-integrál''' označuje v matematice definici určitého integrálu, založenou na [[Teorie míry\|teorii míry]].
		+	Lebesgueův integrál je obecnější než [[Riemannův integrál\|integrál Riemannův]], což v praxi znamená, že pokud existuje Riemannův integrál, tak existuje také Lebesgueův integrál, přičemž hodnoty obou integrálů jsou shodné. Pokud Riemannův integrál neexistuje, může existovat integrál Lebesgueův. Opačné tvrzení však neplatí (např. [[Dirichletova funkce]], jejíž funkční hodnota je 1, pokud je argument [[racionální číslo]], a je rovna 0, pokud je argumentem [[iracionální číslo]], má Lebesgueův integrál, ale nemá Riemannův integrál). Lebesgueův integrál je pojmenován po francouzském matematikovi [[Henri Lebesgue]]ovi .

		+	== Definice ==
		+	Nechť <math>(X, \mathcal{M}, \mu)</math> je prostor s [[míra\|mírou]], <math>M \in \mathcal{M}</math>. Pro [[měřitelná funkce\|měřitelnou]] nezápornou funkci <math>f:M \rightarrow \overline{\mathbb{R}}</math> definujeme Lebesgueův integrál vztahem
		+
		+	<math> \int\limits_M f \mbox{d}\mu = \sup \left\{ \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j), (\forall i \neq j) A_i \cap A_j = \emptyset, M = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty}A_j, (\forall x \in A_j) \alpha_j\leq f(x) \right\}
		+	</math>
		+
		+	Pro obecnou měřitelnou funkci definujeme
		+
		+	<math>
		+	\int\limits_M f \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu-\int\limits_M f^- \mbox{d}\mu
		+	</math>
		+
		+	(má-li výraz smysl), kde <math>f^+ = \max\left\{ 0, f\right\}</math> je kladná část funkce <math>f</math> a <math>f^- = \max\{ 0, -f\}</math> je záporná část <math>f</math>.
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	* Každá měřitelná nezáporná funkce má Lebesgueův integrál, obecná měřitelná funkce <math>f</matH> integrál nemá tehdy, když
		+
		+	<math> \int\limits_M f^+ \mbox{d}\mu = \int\limits_M f^- \mbox{d}\mu = +\infty </math>
		+
		+	* Pro [[jednoduchá funkce\|jednoduchou funkci]] <math>s = \sum\alpha_j \chi_{A_j}</math> je možné napsat definiční vztah jako
		+
		+	<math>\int\limits_M s \mbox{d}\mu = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \alpha_j \mu(A_j)</math>
		+
		+	Jednoduchou funkci je však možné vyjádřit pomocí různých rozkladů. Z takové definice tedy není zřejmé, že hodnota integrálu jednoduché funkce nezávisí na rozkladu.
		+
		+	== <math>L^p</math> prostory ==
		+	Pomocí Lebesgueova integrálu definujeme <math>\mathcal{L}^p</math> prostory funkcí
		+
		+	<math>\mathcal{L}^p = \left\{ f \mbox{ meritelna}, \int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu < \infty \right\}</math>
		+
		+	a zavedeme množinovou funkci
		+
		+	<math>\\|f\\|_p = \left(\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu \right)^{1 \over p}</math>
		+
		+	Snadno se ukáže, že <math>\\|f\\|_p</math> splňuje všechny vlastnosti [[norma\|normy]] kromě jedné: <math>\int_X \|f\|^p \mbox{d}\mu = 0</math> neznamená <math>f=0</math> všude v <math>X</math>, ale pouze skoro všude v <math>X</math>. Tvrzení tedy neplatí na množině míry 0.
		+
		+	Zavádí se proto prostory <math>L^p</math> tříd ekvivalencí funkcí, které se liší na množině míry 0. V takovém prostoru je již <math>\\|f\\|_p</math> normou.
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Matematická analýza]]		[[Kategorie:Matematická analýza]]
	[[Kategorie:Teorie míry]]		[[Kategorie:Teorie míry]]
	[[Kategorie:Integrální počet]]		[[Kategorie:Integrální počet]]

Sysop: 1 revizi

2014-01-29T23:43:14Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 29. 1. 2014, 23:43

Sysop: 1 revizi

2012-11-09T12:27:52Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Lebesgueův integrál|700}}

[[Kategorie:Matematická analýza]]
[[Kategorie:Teorie míry]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Lebesgueův integrál - Historie editací

Sysop: ++

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“