Sysop: + Nový článek

2014-07-28T23:55:18Z

+ Nový článek

Nová stránka

'''Logaritmická funkce''' je [[matematika|matematická]] [[Funkce (matematika)|funkce]], která je [[Inverzní zobrazení|inverzní]] k [[Exponenciální funkce|exponenciální funkci]]. '''Logaritmus''' kladného [[reálné číslo|reálného čísla]] ''x'' při základu ''a'' (''a'' ∈ '''R'''+- {1} ) je takové reálné číslo
: <math>y = \log_a x \,\!</math>,
pro které platí
: <math>a^y = x \,\!</math>.

V tomto vztahu se číslo ''a'' označuje jako '''základ logaritmu''' (''báze''), logaritmované číslo ''x'' se někdy označuje jako '''numerus''', ''y'' je pak logaritmem čísla ''x'' při základu ''a''.
[[Soubor:Ln+e.png|220px|thumb|Graf logaritmické funkce o základu e]]
== Vlastnosti logaritmů ==
* <math>a^{\log_a x} = \log_a{a^x} = x \,\!</math> (Logaritmus je [[Inverzní zobrazení|inverzní funkcí]] k [[Exponenciální funkce|exponenciální funkci]] o stejném základu.)
* <math>\log_b (ac) = \log_b a + \log_b c \,\!</math> (Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů.)
* <math>\log_b \frac{a}{c} = \log_b a - \log_b c \,\!</math> (Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele.)
* <math>\log_b a^r = r \log_b a \,\!</math> (tzn. <math>log_b \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n}\log_b a \,\!</math>; logaritmus mocniny je roven exponent krát logaritmus základu)
* <math>\log_b b = 1 \,\!</math>
* <math>\log_b 1 = 0 \,\!</math>
* <math>\log_a x = \frac{\log_b x}{\log_b a} = {\log_a b}\;{\log_b x} \,\!</math>
* <math>\log_a x = \frac{\log x}{\log a} = \frac{\ln x}{\ln a} \,\!</math> (Formule umožňující vyčíslit logaritmus libovolného základu pomocí kalkulačky, případně logaritmických tabulek)
=== Několik užitečných odvození a důsledků ===
* <math>a = a^{\frac{\log_a b}{\log_a b}} = (a^{log_a b})^{\frac{1}{log_a b}} = b^{\frac{1}{log_a b}} \,\!</math>
* <math>\log_b a = \frac{1}{\log_a b} \,\!</math>
* <math>\log_b x = \log_b (y^{\log_y x}) = {\log_y x}\;{log_b y} \,\!</math>
* <math>a^x = b^{\frac{x}{log_a b}} = b^{{x}\;{log_b a}} \,\!</math>

=== Vlastnosti logaritmických funkcí ===
Pro každou logaritmickou funkci <math>y = log_{a}x</math> platí:
* je prostá
* pro ''a'' > 1 je rostoucí, pro ''a'' ∈ (0; 1) je klesající
* <math>f(1) = 0</math> (graf funkce prochází bodem [1;0])
* osa ''y'' je asymptotou grafu

== Logaritmus komplexního čísla ==
Často je potřeba vypočítat přirozený logaritmus [[komplexní číslo|komplexního čísla]]. Platí:

<math>\ln z=\ln \left(x+ i y\right) = \ln r e^{i\phi} = \ln r + i \phi</math>

Byl zde použit exponenciální tvar komplexního čísla. Proměnná <math>r=|z|</math> udává absolutní hodnotu komplexního čísla a <math>\phi</math> udává argument komplexního čísla.

Máme-li tedy komplexní číslo, pak reálná část jeho logaritmu je rovna logaritmu absolutní hodnoty, zatímco imaginární udává argument (úhel). Je nutno uvést, že úhel komplexního čísla není definován jednoznačně, může se lišit o násobky <math>2\pi</math>. Proto se někdy zavádí tzv. hlavní hodnota logaritmu, značíme Ln, u které se většinou uvažují úhly z intervalu <math>(-\pi,\pi \rangle </math>.

== Využití ==

=== Výpočty ===
Pomocí výše uvedených rovností lze složitější operace převádět na jednodušší (násobení a dělení na sčítání a odčítání, mocnění a odmocniny na násobení a dělení), což se zvláště před rozšířením elektronických [[kalkulačka|kalkulaček]] a [[počítač]]ů využívalo při složitějších výpočtech prováděných ručně nebo mechanickými kalkulátory (které obvykle uměly jen sčítat). Pro usnadnění přepočtů existovaly logaritmické tabulky s předvypočítanými hodnotami logaritmů, případně [[logaritmické pravítko]], mechanická pomůcka pro výpočty pomocí logaritmů.

Příkladem využití logaritmů je výpočet 17300 · √15478 pomocí tabulek logaritmů:
# Nejprve se celá rovnice zlogaritmuje: <math>\log x = \log (17300 \cdot \sqrt{15478})</math>
# Pomocí rovností o logaritmech se rovnice rozloží na jednodušší části: <math>\log x = \log 17300 + \frac{1}{2} \log 15478</math>
# V tabulkách se vyhledají příslušné logaritmy (tabulky ovšem obsahují hodnoty jen na několik [[platná číslice|platných číslic]]):
#* log 17300 ≅ 4,238
#* log 15478 ≅ log 15480 ≅ 4,1898
# Vypočte se výsledek logaritmovaného výrazu: log ''x'' = 4,238 + 2,0949 = 6,3329
# Rovnice se zpětně umocní podle daného základu, výsledek se v tabulce dohledá zpětně: 106,3329 ≅ 2152000.
# Nalezený výsledek: 17300 * √15478 ≅ 2152000 (přesnější výsledek spočtený na dnešní kalkulačce je 2152303.56, t.j. odchylka 0.014 %).

=== Mimo matematiku ===
Logaritmy se objevují také v mnoha vědeckých oborech pro vyjádření závislosti na exponentu. Příkladem je jednotka [[decibel]], vyjadřování [[hvězdná velikost|hvězdné velikosti]] či v [[chemie|chemii]] vyjadřování kyselosti roztoků pomocí [[pH]].

=== Logaritmická stupnice ===
Některé veličiny nabývají výrazného rozpětí hodnot, až několika řádů. Příkladem může být [[Koncentrace (chemie)|koncentrace]] [[kationt]]ů H3O+ v [[roztok]]u:

{| class="wikitable"
|-
! roztok
! Kyselina octová
! Pivo
! Mléko
! Mořská voda
! Amoniak
|-
! koncentrace H3O+
| 0,0013
| 0,00003
| 0,0000003
| 0,00000001
| 0,000000000003
|}

Je zřejmé, že při zobrazení těchto hodnot na číselné ose bude [[pivo]] přibližně 43× blíže k nule než ocet (0,0013/0,00003), [[mléko]] bude 100× blíže k nule než pivo (0,00003/0,0000003) a ostatní hodnoty také budou „namačkány“ v těsné blízkosti nuly. Přestože například koncentrace H3O+ v mléku je stále 100000× (o pět dekadických řádů) vyšší než ve čpavku.

V takovém případě je výhodnější místo samotné koncentrace zobrazovat její logaritmus, tedy volně řečeno „řád koncentrace“. Tabulka po zlogaritmování bude vypadat následovně.

{| class="wikitable"
|-
! roztok
! Kyselina octová
! Pivo
! Mléko
! Mořská voda
! Amoniak
|-
! log(koncentrace H3O+)
| -2,9
| -4,5
| -6,5
| -8
| -11,5
|}

Je vidět, že takto upravené hodnoty jsou celkem rozumně rozloženy mezi -11,5 a nulou. Na závěr dodejme, že [[pH]] je definováno přibližně takto, pouze logaritmus koncentrace je uváděn bez znaménka. (Koncentrace je vždy menší nebo rovna 1, proto logaritmus koncentrace bude vždy menší nebo roven 0.)

== Speciální báze ==
=== Desítkový logaritmus ===
U logaritmu o základu 10 (nazývaného '''desítkový''' či '''dekadický logaritmus''', příp. '''Briggsův''' podle [[Henry Briggs|Henryho Briggse]]) se ve značení vynechává základ a píše se jen prostě log ''x'', někdy se používá také speciální značení lg ''x''.
Je třeba si však dát pozor: použité značení se může v různých odborných literaturách lišit. lg ''x'' se běžně využívá ve významu <math>\log_2 x \,\!</math> a ne <math>\log_{10} x \,\!</math>.

=== Přirozený logaritmus ===
Logaritmus o základu ''[[Eulerovo číslo|e]]'' (<math>\log_{e} x \,\!</math>) se označuje jako '''přirozený logaritmus''' (někdy také '''Napierův''' podle [[John Napier|Johna Napiera]]) a značí se <math>\ln x \,\!</math> (''logaritmus naturalis'', [[latina|latinsky]] ''přirozený logaritmus''). Vznikl tak, že se hledal '''základ exponenciální funkce''', tak aby '''[[tečna|tečnou]] této exponenciály''' v bodě '''A=(0,1) byla [[přímka#směrnicová rovnice přímky|přímka]] y = x + 1'''. Byl nalezen základ, nazván byl e ([[Eulerovo číslo]]), podle [[Leonhard Euler|Leonharda Eulera]], který se podílel na objevu tohoto čísla.

=== Binární logaritmus ===
Hlavně v [[informatika|informatice]] se objevuje logaritmus o základu dva ('''binární logaritmus'''), který je v příslušném kontextu někdy značen <math>\lg x \,\!</math>, případně lb ''x''.

Platí že: log2(n) = ln(n)/ln(2) = log(n)/log(2)

Např.: Při [[binární vyhledávání|binárním vyhledávání]] v setříděném seznamu, který má ''n'' položek, je potřeba maximálně <math>log_{2}(n)</math> kroků k nalezení hledané hodnoty. Tato technika je totiž založena na půlení intervalů.

== Taylorova řada pro logaritmus ==
Pomocí vztahu pro Taylorův rozvoj, případně zintegrováním geometrické řady

<math>\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots</math>

lze obdržet rozvoj logaritmu do řady kolem 1.

<math>\ln (1+x) = x - \frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+ \cdots</math>

Tato řada má poloměr konvergence 1, řada přitom konverguje i pro krajní bod x=1, kde obdržíme známou řadu pro <math>\ln 2</math> (harmonická řada s oscilujícími znaménky):

<math>\ln 2 = 1 - \frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+ \cdots</math>

Řadu pro logaritmus můžeme vyjádřit i pro komplexní číslo x=iy. Pak z předchozího víme, že jednak platí:

<math>\ln (1+iy)= \ln \sqrt{1+y^2} +i \arctan y</math>

Stejně tak můžeme tento výraz vyjádřit pomocí řady:

<math>\ln (1+iy) = iy + \frac{y^2}{2}-\frac{i y^3}{3}-\frac{y^4}{4}+\cdots</math>

Porovnáním imaginárních částí získáváme řadu pro <math>\arctan</math>:

<math>\arctan y = y - \frac{y^3}{3}+\frac{y^5}{5}-\cdots</math>

Speciálně dosazením y=1 dostaneme nejslavnější řadu pro Ludolfovo číslo:

<math>\frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots</math>

Tato řada, i přes svou krásu, konverguje velmi pomalu.

== Externí odkazy ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Logarithm.html Logaritmus v encyklopedii MathWorld] (anglicky)
* [http://www.beda.cz/~jirkaj/log Logaritmické tabulky čísel od 1 000 000 do 9 999 999] (česky)

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Elementární funkce]]

Logaritmus - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: + Nový článek

Logaritmus - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Nový článek

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“