http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?action=history&feed=atom&title=M%C3%ADra_%28matematika%29Míra (matematika) - Historie editací2026-07-05T17:39:32ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.16.5http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?title=M%C3%ADra_(matematika)&diff=3029981&oldid=prevSysop: + NEW2024-12-27T10:03:58Z<p>+ NEW</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>'''Míra''' je základním pojmem teorie míry. Z neformálního hlediska je míra zobecněním pojmů velikosti ([[délka|délky]], [[obsah]]u, [[objem]]u, případně [[kvantita|kvantity]]). ''Míra'' je zvolený způsob, jakým se měří množiny. ''Mírou množiny'' se rozumí již konkrétní výsledek (číslo) přiřazený (naměřený) konkrétní množině. Teorie míry zobecňuje uvedené pojmy na libovolné množiny, kterým lze přiřadit velikost. Má úzkou souvislost s [[teorie pravděpodobnosti|teorií pravděpodobnosti]] a teorií [[Lebesgueův integrál|Lebesgueova integrálu]]. Například díky teorii míry lze [[Střední hodnota|střední hodnotu]] [[Náhodná veličina|náhodné veličiny]] chápat jako [[integrál]] určité [[Měřitelná funkce|měřitelné funkce]].<br />
<br />
Výchozím bodem teorie míry je přesné vymezení oblasti studia na základě [[Axiomatická teorie množin|axiomatické teorie množin]]. <br />
<br />
[[Banachův-Tarského paradox]] ukazuje, jaké nebezpečí hrozí, pokud vyjdeme z naivního pojetí „velikosti množiny“. Z rozumně vypadajících předpokladů je&nbsp;možné dospět k tak paradoxním tvrzením, jako že všechna tělesa mají stejný objem.<br />
<br />
== Definice ==<br />
Mějme [[měřitelný prostor]] <big>\((X, \mathcal{A})\)</big>. Funkci <big>\(\mu: \mathcal{A} \rightarrow \langle 0, \infty)\)</big> nazveme mírou, jestliže splňuje:<br />
* Míra prázdné množiny je nulová: <big>\(\mu(\emptyset)=0\)</big>.<br />
* Míra je vždy nezáporná: <big>\(\forall A \in \mathcal{A}: \mu(A) \ge 0\)</big>.<br />
* σ-aditivita: pro libovolnou [[spočetná množina|spočetnou]] [[posloupnost]] po dvou [[disjunktní množiny|disjunktních množin]] <big>\((A_{i})_{i=1}^\infty, \forall A_i \in \mathcal{A}\)</big> platí: <big>\(\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_{i})=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_{i})\)</big>.<br />
<br />
Uspořádanou trojici <big>\((X, \mathcal{A}, \mu)\)</big> nazýváme [[prostor s mírou]].<br />
<br />
== Vlastnosti ==<br />
* <big>\(A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \le \mu(B)\)</big><br />
* Pro posloupnost množin <big>\((A_i)_{i=1}^\infty\)</big> platí: <big>\(\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_{i}) \le \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)\)</big><br />
* Pro posloupnost podmnožin <big>\(A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq ... \)</big> platí: <big>\(\mu(\bigcup_{i=1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)</big> pro <big>\(\mu(A_{\infty})< \infty\)</big><br />
* Pro posloupnost nadmnožin: <big>\(A_{1} \supseteq A_{2} \supseteq ...\)</big> platí: <big>\(\mu(\bigcap_{i=1}^\infty A_{i})=\lim_{i \rightarrow \infty} \mu (A_{i})\)</big> pro <big>\(\mu(A_{1})< \infty\)</big><br />
<br />
== Příklady ==<br />
* [[Lebesgueova míra]]<br />
* [[Hausdorffova míra]]<br />
* [[Diracova míra]]<br />
* [[Aritmetická míra]]<br />
<br />
== Související články ==<br />
* [[Cramérova–Woldova věta]]<br />
* [[Lebesgueův integrál]]<br />
* [[Měřitelný kardinál]]<br />
* [[Neměřitelná množina]]<br />
<br />
== Literatura ==<br />
* Walter Rudin, ''Analýza v reálném a komplexním oboru''<br />
* J. Lukeš, J. Malý: Míra a integrál (Measure and integral), skripta MFF<br />
== Externí odkazy ==<br />
<br />
<br />
{{Commonscat|Measures (measure theory)}}{{Článek z Wikipedie}}<br />
[[Kategorie:Teorie míry]]</div>Sysop