Sysop: + NEW

2024-12-27T12:00:58Z

+ NEW

Nová stránka

'''Měřitelný prostor''' neboli '''borelovský prostor''' je v [[Matematika|matematice]] základní objekt [[teorie míry]].<ref name="eommeasurablespace" /> Sestává z libovolné [[Prázdná množina|neprázdné]] [[Množina|množiny]] a tzv. [[Sigma algebra|sigma-algebry]] na této množině.

Měřitelný prostor poskytuje informace o tom, které množiny (podmnožiny neprázdné množiny) lze měřit. Měřitelný prostor určuje, které podmnožiny neprázdné množiny jsou měřitelné, ale na rozdíl od [[Prostor s mírou|prostoru s mírou]] nedefinuje žádnou konkrétní [[Míra (matematika)|míru]].
== Definice ==
Měřitelný prostor je uspořádaná dvojice <big>\((X,\mathcal A)\)</big>, kde<ref name="Klenke18" />
* <big>\(X\)</big> je neprázdná množina,
* <big>\(\mathcal A\)</big> je <big>\(\sigma\)</big>-[[Sigma algebra|algebra]] na množině <big>\(X\)</big>.

== Příklad ==
Uvažujme množinu <big>\(X= \{1,2,3\}\)</big>, pak jedna z možných <big>\(\sigma\)</big>-algeber je
:<big>\(\mathcal A_1=\{X, \emptyset\}\)</big> a <big>\((X,\mathcal A_1)\)</big> je měřitelný prostor,
další možnou <big>\(\sigma\)</big>-algebrou je [[potenční množina]] množiny <big>\(X\)</big>, tj.:
:<big>\( \mathcal A_2= \mathcal P(X)\)</big> a <big>\((X, \mathcal A_2)\)</big> je jiný měřitelný prostor.

== Měřitelné prostory ==
* Pokud <big>\(X\)</big> je [[Konečná množina|konečná]] nebo [[Spočetná množina|spočetná]] množina, pak [[potenční množina]] množiny <big>\(X\)</big> je <big>\(\sigma\)</big>-algebrou, tj. <big>\(\mathcal A=\mathcal P(X)\)</big>. Měřitelný prostor je pak <big>\((X, \mathcal P(X))\)</big>.
* Pokud <big>\(X\)</big> je [[topologický prostor]], pak <big>\(\sigma\)</big>-algebra může být [[borelovská množina]] <big>\(\mathcal B\)</big>, tj. <big>\(\mathcal A= \mathcal B(X)\)</big>.
* Měřitelný prostor je pak <big>\((X, \mathcal B(X))\)</big>, obvyklý pro všechny topologické prostory včetně množiny [[Reálné číslo|reálných čísel]] <big>\( \mathbb{R} \)</big>.

== Borelovské prostory ==
Termín borelovský prostor se používá pro různé typy měřitelných prostorů, může znamenat:
* jakýkoli měřitelný prostor, tj. být synonymem pro měřitelný prostor jak je definovaný výše,<ref name="eommeasurablespace" />
* měřitelný prostor, který je [[Borelovský izomorfismus|borelovsky izomorfní]] s nějakou měřitelnou podmnožinou reálných čísel, která je borelovskou <big>\(\sigma \)</big>-algebrou<ref name="Kallenberg15" />.

== Reference ==
<references>
<ref name="eommeasurablespace" > {{Citace monografie
| sborník = Encyclopedia of Mathematics
| sestavitel = Hazewinkel, Michiel
| titul = Měřitelný prostor
| příjmení = Sazonov
| jméno = V. V.
| vydavatel = Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers
| isbn = 978-1-55608-010-4
| url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Measurable_space}} </ref>
<ref name="Kallenberg15">{{Citace monografie
| příjmení = Kallenberg
| jméno = Olav
| rok = 2017
| titul = Random Measures, Theory and Applications
| svazek = 77
| místo = Švýcarsko
| vydavatel = Springer
| strana = 15
| doi = 10.1007/978-3-319-41598-7
| isbn = 978-3-319-41596-3
| edice = Probability Theory and Stochastic Modelling}} </ref>
<ref name="Klenke18">{{Citace monografie
| příjmení = Klenke
| jméno = Achim
| rok=2008
| titul = Probability Theory
| místo = Berlín
| vydavatel = Springer
| doi = 10.1007/978-1-84800-048-3
| isbn = 978-1-84800-047-6
| strana = 18}}</ref>
</references>

== Související články ==
* [[Prostor s mírou]]
* [[Pravděpodobnostní prostor]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie míry]]

Měřitelný prostor - Historie editací

Sysop: + NEW