Množina - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\empty“ textem „\emptyset“

2023-07-11T18:16:22Z

Nahrazení textu „\empty“ textem „\emptyset“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:48Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:27Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: 1 revizi

2013-07-25T16:50:04Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 25. 7. 2013, 16:50

Sysop: Nahrazení textu

2011-04-14T21:22:58Z

Nahrazení textu

Nová stránka

'''Množina''' je soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají [[Prvek množiny|prvky množiny]]. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné [[Prvek množiny|prvky]] se nazývá [[prázdná množina]]. V [[matematika|matematice]] existuje abstraktní [[teorie množin]], zkoumající množiny z formálního hlediska.
Slova [[Georg Cantor|G. Cantora]]:
:''Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.''
== Obecně ==
V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.
Je-li prvek <math>a</math> prvkem množiny <math>B</math>, píšeme: <math>a\in B</math>
[[prázdná množina|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <math>\empty</math>
Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.
Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <math>A</math> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <math>A = \{ 1,2,5,8\}</math>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <math>\{a, b, c\}</math> je totožná s množinou <math>\{c, b, a\}</math>.
Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu <math>A</math> obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako <math>A= \{ x | x\; je\; samohl\acute{a}skou\; latinsk\acute{e}\; abecedy\}</math>. Taková množina pak obsahuje prvky <math>\{ a,e,i,o,u,y \}</math> (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu <math>A</math> výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat [[paradox]]. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.
Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).
V takových axiomatizovaných [[Teorie množin|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:
<math>\{\empty\}</math> je množina obsahující prázdnou množinu
<math>\{\empty, \{\empty\}\}</math> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.
Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina|nekonečné množiny]], například:
<math>\{\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\}, \{\{\{\empty\}\}\},...,\{...\{\empty\}...\},...\}</math>
== Často kladené otázky ==
'''Je každý soubor prvků množina?'''
V běžném jazyce obvykle ano. V matematice ne: například neexistuje množina obsahující všechny množiny ([[Russellova antinomie]]). Ale pro podobné soubory prvků, které nemusí být množinami, existuje pojem ''[[Třída (matematika)|třída]]''.
'''Jaká množina je větší? Je víc celých čísel, nebo celých sudých čísel?'''
Je jich stejně mnoho v tom smyslu, že se dají na sebe vzájemně jednoznačně ([[bijektivní zobrazení|bijektivně]]) zobrazit.
'''Jak se porovnávají velikosti množin? Existují větší a menší nekonečna?'''
Množiny jsou stejně veliké, pokud se dají na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Pokud se jedna množina dá [[prosté zobrazení|prostě]] zobrazit do druhé, ale opačně ne, říkáme, že druhá množina je větší (neboli má větší [[mohutnost]]). V tomto smyslu opravdu existují větší i menší nekonečna. Například množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] je větší (t.j. má větší [[mohutnost]]) než množina [[přirozené číslo|přirozených čísel]]. Množina přirozených čísel je však stejně veliká (t.j. má stejnou [[mohutnost]]) jako množina všech [[racionální číslo|racionálních čísel]].
'''Existuje největší nekonečno?'''
Ne, neexistuje. Pro libovolně velkou množinu existuje množina, která má větší [[mohutnost]]. Například množina všech jejích podmnožin.
== Související články ==
* [[Uspořádaná množina]]
* [[Podmnožina]]
* [[Prázdná množina]]
* [[Nekonečná množina]]
* [[Disjunktní množiny]]
* [[Množinové operace]]
* [[Geometrický útvar]]
* [[Množina všech bodů dané vlastnosti]]

== Externí odkazy ==
* http://mathworld.wolfram.com/Set.html

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie množin]]

← Starší verze		Verze z 11. 7. 2023, 18:16
Řádka 5:		Řádka 5:
	V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.		V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.
	Je-li prvek <big>\(a\)</big> prvkem množiny <big>\(B\)</big>, píšeme: <big>\(a\in B\)</big>		Je-li prvek <big>\(a\)</big> prvkem množiny <big>\(B\)</big>, píšeme: <big>\(a\in B\)</big>
-	[[prázdná množina\|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <big>\(\~~empty~~\)</big>	+	[[prázdná množina\|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <big>\(\emptyset\)</big>
	Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.		Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.
	Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <big>\(A\)</big> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <big>\(A = \{ 1,2,5,8\}\)</big>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <big>\(\{a, b, c\}\)</big> je totožná s množinou <big>\(\{c, b, a\}\)</big>.		Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <big>\(A\)</big> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <big>\(A = \{ 1,2,5,8\}\)</big>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <big>\(\{a, b, c\}\)</big> je totožná s množinou <big>\(\{c, b, a\}\)</big>.
Řádka 11:		Řádka 11:
	Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin\|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).		Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin\|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).
	V takových axiomatizovaných [[Teorie množin\|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:		V takových axiomatizovaných [[Teorie množin\|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:
-	<big>\(\{\~~empty~~\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu	+	<big>\(\{\emptyset\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu
-	<big>\(\{\~~empty~~, \{\~~empty~~\}\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.	+	<big>\(\{\emptyset, \{\emptyset\}\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.
	Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina\|nekonečné množiny]], například:		Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina\|nekonečné množiny]], například:
-	<big>\(\{\~~empty~~, \{\~~empty~~\}, \{\{\~~empty~~\}\}, \{\{\{\~~empty~~\}\}\},...,\{...\{\~~empty~~\}...\},...\}\)</big>	+	<big>\(\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\{\{\emptyset\}\}\},...,\{...\{\emptyset\}...\},...\}\)</big>
	== Často kladené otázky ==		== Často kladené otázky ==
	'''Je každý soubor prvků množina?'''		'''Je každý soubor prvků množina?'''

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 4:		Řádka 4:
	== Obecně ==		== Obecně ==
	V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.		V matematice množiny často značíme velkými písmeny, její prvky malými.
-	Je-li prvek <big>\(a</~~math~~> prvkem množiny <big>\(B</~~math~~>, píšeme: <big>\(a\in B</~~math~~>	+	Je-li prvek <big>\(a\)</big> prvkem množiny <big>\(B\)</big>, píšeme: <big>\(a\in B\)</big>
-	[[prázdná množina\|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <big>\(\empty</~~math~~>	+	[[prázdná množina\|Prázdnou množinu]] značíme symbolem: <big>\(\empty\)</big>
	Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.		Množina je obvykle určena výčtem jejích prvků nebo definováním charakteristické vlastnosti prvků množiny.
-	Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <big>\(A</~~math~~> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <big>\(A = \{ 1,2,5,8\}</~~math~~>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <big>\(\{a, b, c\}</~~math~~> je totožná s množinou <big>\(\{c, b, a\}</~~math~~>.	+	Při popisu výčtem prvků postupujeme tak, že vypíšeme všechny prvky, které patří do dané množiny, např. množinu <big>\(A\)</big> obsahující prvky 1, 2, 5, 8 vyjádříme jako <big>\(A = \{ 1,2,5,8\}\)</big>. Při zadání množiny výčtem prvků nezáleží na pořadí prvků, tzn. množina <big>\(\{a, b, c\}\)</big> je totožná s množinou <big>\(\{c, b, a\}\)</big>.
-	Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu <big>\(A</~~math~~> obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako <big>\(A= \{ x \| x\; je\; samohl\acute{a}skou\; latinsk\acute{e}\; abecedy\}</~~math~~>. Taková množina pak obsahuje prvky <big>\(\{ a,e,i,o,u,y \}</~~math~~> (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu <big>\(A</~~math~~> výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat [[paradox]]. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.	+	Při definování množiny pomocí charakteristické vlastnosti určíme vlastnost, která je charakteristická pro prvky, které patří do dané množiny. Např. množinu <big>\(A\)</big> obsahující samohlásky latinské abecedy můžeme zapsat jako <big>\(A= \{ x \| x\; je\; samohl\acute{a}skou\; latinsk\acute{e}\; abecedy\}\)</big>. Taková množina pak obsahuje prvky <big>\(\{ a,e,i,o,u,y \}\)</big> (tento zápis, který je ekvivalentní předchozímu, zadává množinu <big>\(A\)</big> výčtem prvků). U takové definice množiny (charakteristickou vlastností) musíme však být opatrní, protože můžeme snadno dostat [[paradox]]. Například množina všech takových množin, které neobsahují sama sebe, je zjevně nesmysl, protože z definice se má sama obsahovat právě když se sama neobsahuje.
	Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin\|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).		Právě takové důvody vedly na začátku 20. století ke vzniku [[axiomatická teorie množin\|axiomatické teorie množin]], ve které jsou položena přesná pravidla o tom, co množina je a co není. V současnosti je takových axiomatických teorií několik, nejpoužívanější je [[Zermelo-Fraenkelova teorie množin]] (ZF).
	V takových axiomatizovaných [[Teorie množin\|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:		V takových axiomatizovaných [[Teorie množin\|teoriích množin]], obvykle nesmí množina obsahovat jiné prvky, než zase jenom množiny a nic jiného. K sestavení dalších množin nám postačí prázdná množina. Můžeme tak získat například množiny:
-	<big>\(\{\empty\}</~~math~~> je množina obsahující prázdnou množinu	+	<big>\(\{\empty\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu
-	<big>\(\{\empty, \{\empty\}\}</~~math~~> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.	+	<big>\(\{\empty, \{\empty\}\}\)</big> je množina obsahující prázdnou množinu a množinu obsahující prázdnou množinu.
	Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina\|nekonečné množiny]], například:		Pokud nám to axiomy dané teorie množin dovolí, můžeme zkonstruovat i [[nekonečná množina\|nekonečné množiny]], například:
-	<big>\(\{\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\}, \{\{\{\empty\}\}\},...,\{...\{\empty\}...\},...\}</~~math~~>	+	<big>\(\{\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\}, \{\{\{\empty\}\}\},...,\{...\{\empty\}...\},...\}\)</big>
	== Často kladené otázky ==		== Často kladené otázky ==
	'''Je každý soubor prvků množina?'''		'''Je každý soubor prvků množina?'''