Sysop: + Aktualizace

2025-04-22T09:30:25Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 22. 4. 2025, 09:30
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Moivreova věta~~\|700}}~~	+	'''Moivreova věta''' říká, že pro libovolné [[komplexní číslo]] (a speciálně tedy i reálné číslo) ''x'' a libovolné [[celé číslo]] ''n'' platí:

		+	:<big>\((\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx).\,\)</big>
		+
		+	kde ''i'' je [[imaginární jednotka]].
		+
		+	Tento vztah je důležitý, neboť propojuje [[komplexní číslo\|komplexní čísla]] s [[Goniometrická funkce\|goniometrií]].
		+
		+	Výraz <big>\(\cos x + i\sin x\)</big> se někdy zkracuje na <big>\(\mathrm{cis}\ x\)</big>.
		+
		+	Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(''nx'') a sin(''nx'') pomocí cos(''x'') a sin(''x'').
		+
		+	Moivreovu větu lze také použít k vyjádření ''n''-té [[odmocnina\|odmocniny]] [[1 (číslo)\|jedničky]], tedy k nalezení takového [[komplexní číslo\|komplexního čísla]] ''z'', pro které platí ''z<sup>n</sup>'' = 1.
		+
		+	Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Isaaca Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.
		+
		+	Tato věta může být odvozena též z [[Eulerův vzorec\|Eulerova vzorce]] ''e''<sup>''ix''</sup> = cos ''x'' + ''i'' sin ''x'' , který je ovšem [[historie\|historicky]] mladší.
		+
		+	== Užití věty ==
		+	Větu lze použít k výpočtu n-té [[odmocnina\|odmocniny]] z komplexního čísla.
		+
		+	Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
		+
		+	<big>\(z=A(\cos x+i\sin x),\,\)</big>
		+
		+	pak všech jeho <big>\( n \,\! \)</big> odmocnin <big>\( n \,\! \)</big>-tého stupně lze zapsat jako
		+	:<big>\(z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}= \{ A^{1/n}(\cos\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) + i\sin\left( \frac{x+2k\pi}{n}\right) ) : 0 \leq k \leq n-1 \}\)</big>
		+
		+	== Důkaz ==
		+	Uvažujme tři případy:
		+
		+	'''Pro ''n'' > 0''' použijeme [[matematická indukce\|indukci]]. Pro ''n'' = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok ''n'' → ''n''<sub>0</sub> + 1
		+	:<big>\((\cos x+i\sin x)^{n_0+1}\,\)</big>
		+	:<big>\(= (\cos x+i\sin x)^{n_0}(\cos x+i\sin x)\,\)</big>
		+	:<big>\(= (\cos(n_0x)+i\sin(n_0x))(\cos x+i\sin x)\,\)</big> (z indukčního předpokladu)
		+	:<big>\(= \cos(n_0x)\cos x - \sin(n_0x)\sin x + i(\cos(n_0x)\sin x + \sin(n_0x)\cos x)\,\)</big>
		+	Zde použijeme goniometrické [[Goniometrická funkce\|součtové vzorce]]: sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y) a cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y).
		+	:<big>\(= \cos((n_0+1)x) + i\sin((n_0+1)x)\,\)</big>
		+
		+	Odvodili jsme, že rovnost platí pro ''n'' = ''n''<sub>0</sub> + 1, jestliže platí pro ''n''<sub>0</sub>, a tedy indukcí platí pro všechna ''n'' [[přirozené číslo\|přirozená]].
		+
		+	'''Pro ''n'' = 0''' rovnost platí, protože <big>\(\cos(0x) + i\sin(0x) = 1 + i\cdot0 = 1\)</big> a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.
		+
		+	'''Pro ''n'' < 0''' vezměme přirozené ''m'' takové, aby ''n'' = −''m''. Potom
		+	:<big>\((\cos x + i\sin x)^{n}\, = (\cos x + i\sin x)^{-m}\,\)</big>
		+
		+	:<big>\(=\frac{1}{(\cos x + i\sin x)^{m}} = \frac{1}{(\cos (mx) + i\sin (mx))}\,\)</big> (shora)
		+
		+	:<big>\(=\cos(mx) - i\sin(mx)\,\)</big>
		+	:<big>\(=\cos(-mx) + i\sin(-mx)\, = \cos(nx) + i\sin(nx).\,\)</big>
		+
		+	Tvrzení tedy platí pro všechna ''n'' celá. Tedy '''[[Q.E.D.]]'''
		+
		+	* '''Poznámka – Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější'''. Pokud by '''z''' a '''w''' byla [[komplexní číslo\|čísla komplexní]], pak '''cos (wz) + i⋅sin (wz)''' je jednou z (více) možných úprav výrazu '''(cos z + i⋅sin z)<sup>''w''</sup>'''.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Komplexní číslo]]
		+	* [[Komplexní rovina]]
		+	* [[Goniometrické funkce]]
		+	* [[Eulerův vzorec]]
		+	* [[Eulerova věta (teorie čísel)]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]
	[[Kategorie:Komplexní analýza]]		[[Kategorie:Komplexní analýza]]

Sysop: 1 revizi

2013-07-25T15:54:52Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 25. 7. 2013, 15:54

Sysop: + Nový článek...

2012-11-11T17:38:05Z

+ Nový článek...

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Moivreova věta|700}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Komplexní analýza]]
[[Kategorie:Čísla]]
[[Kategorie:Goniometrie]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]

Moivreova věta - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: + Nový článek...