Sysop: 1 revizi

2013-07-25T14:26:50Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 25. 7. 2013, 14:26

Sysop: 1 revizi

2011-04-12T23:00:29Z

1 revizi

Nová stránka

'''Moment hybnosti''' je [[vektor|vektorová]] [[fyzikální veličina]], která popisuje [[rotační pohyb]] [[těleso|tělesa]].
Moment hybnosti se určuje vzhledem k [[bod]]u nebo [[osa|ose]].
Moment hybnosti bývá také označován jako '''kinetický moment''', '''impulsmoment''' nebo '''točivost'''.
== Značení ==
* Symbol veličiny: <math>\mathbf{L}</math> , někdy také b (vektor)
* Základní [[Fyzikální jednotka|jednotka]] [[soustava SI|SI]]: [[kilogram]] krát [[metr]] na druhou za [[sekunda|sekundu]], značka jednotky: ''kg.m<sup>2</sup>.s<sup>-1</sup>''
== Výpočet ==
[[Soubor:Torque_animation.gif|frame|right|Moment hybnosti (L), moment síly (τ=M), a hybnost(p).]]
Moment hybnosti <math>\mathbf{L}</math> je určen [[vektorový součin|vektorovým součinem]] jako
:<math>\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}</math>,
kde <math>\mathbf{r}</math> je [[polohový vektor]] a <math>\mathbf{p}</math> je [[hybnost]].
=== Vztah k momentu síly ===
Vyjdeme-li ze vztahu <math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F}</math> pro [[moment síly]], pak lze provést následující úpravu
:<math>\mathbf{M} = \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right) + \left(\mathbf{r}\times\frac{\mathrm{d}(m\mathbf{v})}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}\times m\mathbf{v}) = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,
kde <math>\mathbf{r}</math> je [[polohový vektor]], <math>\mathbf{v}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}</math> je [[rychlost]], <math>m</math> je [[hmotnost]] tělesa ([[hmotný bod|hmotného bodu]]) pohybujícího se po [[kruhový pohyb|kruhové dráze]], <math>\mathbf{M}</math> je [[moment síly]] a <math>\mathbf{L}</math> je moment hybnosti, přičemž bylo využito skutečnosti, že [[vektorový součin]] <math>\mathbf{v}\times m\mathbf{v}</math> je roven [[nula|nule]] (tj. můžeme tento výraz k rovnici bez obav přičíst - to je ten výraz   <math>\left(\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\times m\mathbf{v}\right)</math>).
Předchozí vztah lze slovně popsat tak, že změna momentu hybnosti vzhledem k pevnému bodu <math>O</math> je co do velikosti i směru rovna momentu síly (vzhledem k témuž bodu), který na hmotný bod působí.
V [[soustava hmotných bodů|soustavě hmotných bodů]] platí pro <math>i</math>-tý hmotný bod podle vztah <math>\mathbf{M}_i=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t}</math>. Z vlastností momentu síly pak plyne
:<math>\mathbf{M} = \sum_{i=1}^n \mathbf{M}_i = \sum_{i=1}^n \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}</math>,
kde <math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \mathbf{L}_i</math> představuje celkový moment hybnosti.
=== Vztah k plošné rychlosti ===
S využitím [[Keplerovy zákony|druhého Keplerova zákona]] lze vyjádřit vztah mezi [[plošná rychlost|plošnou rychlostí]] <math>\mathbf{w}</math> a momentem hybnosti jako
:<math>\mathbf{L} = 2m\mathbf{w}</math>
=== Vztah k mometu setrvačnosti ===
Při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] lze [[rychlost]] vyjádřit jako <math>\mathbf{v} = \mathbf{\omega}\times\mathbf{r}</math>. Moment hybnosti [[soustava hmotných bodů|soustavy]] <math>n</math> [[hmotný bod|hmotných bodů]] vzhledem k [[těžiště|těžišti]] lze pak vyjádřit vztahem
:<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n \left[\mathbf{r}_i\times m_i(\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i)\right]</math>
kde <math>\mathbf{r}_i</math> označuje [[poloha bodu|polohu]] <math>i</math>-tého hmotného bodu s [[hmotnost]]í <math>m_i</math> vzhledem k těžišti a <math>\mathbf{\omega}</math> je [[úhlová rychlost]] pohybu tělesa kolem [[osa rotace|osy rotace]] jdoucí těžištěm.
Použitím [[dvojitý vektorový součin|dvojitého vektorového součinu]] dostaneme
:<math>\mathbf{L} = \sum_{i=1}^n m_i\left[r_i^2\mathbf{\omega} - (\mathbf{\omega}\cdot\mathbf{r}_i)\mathbf{r}_i\right]</math>
Točivost tělesa vzhledem k těžišti má tedy dvě složky. První má směr úhlové rychlosti, tedy směr osy rotace, druhá má ale jiný směr. Točivost tedy obecně nemá směr rotační osy. Označíme-li složky úhlové rychlosti <math>\mathbf{\omega}</math> vhledem k libovolné [[soustava souřadnic|soustavě souřadnic]] s [[počátek|počátkem]] v těžišti a pevně spojené s tělesem jako <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> a složky [[průvodič]]e <math>\mathbf{r}_i</math> jako <math>x_i, y_i, z_i</math>, můžeme předchozí vztah rozepsat do složek. Z vajádření [[moment setrvačnosti|momentu setrvačnosti]] <math>J</math> pak lze získat
:<math>L_x = \omega_x J_x - \omega_y D_{xy} - \omega_z D_{zx}</math>
:<math>L_y = \omega_y J_y - \omega_z D_{yz} - \omega_x D_{xy}</math>
:<math>L_z = \omega_z J_z - \omega_x D_{zx} - \omega_y D_{yz}</math>
kde <math>J_i</math> jsou momenty setrvačnosti k <math>i</math>-té ose a <math>D_{ij}</math> jsou [[deviační moment]]y.
Pokud vztáhneme složky točivosti k soustavě souřadnic totožné s hlavními osami centrálního [[elipsoid setrvačnosti|elipsoidu setrvačnosti]], deviační momenty vymizí, a složky točivosti vzhledem k hlavním osám budou
:<math>L_1 = J_1 \omega_1</math>
:<math>L_2 = J_2 \omega_2</math>
:<math>L_3 = J_3 \omega_3</math>
Pokud se těleso otáčí kolem osy, která je totožná s jednou z hlavních os setrvačnosti nebo kolem pevné osy, jsou složky [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] k osám [[kolmost|kolmým]] k [[rotační osa|rotační ose]] [[nula|nulové]] a točivost lze zapsat jako
:<math>\mathbf{L} = J\mathbf{\omega}</math>
=== Rotační impuls ===
Pro [[čas|časový]] účinek momentu síly můžeme v analogii s [[impuls síly|impulsem síly]] získat vztah pro '''rotační impuls''' <math>\mathbf{b}</math>
:<math>\mathbf{L} - \mathbf{L}_0 = \int_{t_0}^t \mathbf{M}\mathrm{d}t = \mathbf{b}</math>
Pokud je silový moment <math>\mathbf{M}</math> po celou dobu působení [[konstanta|stálý]], je možné předchozí výraz zjednodušit na tvar
:<math>\mathbf{L}-\mathbf{L}_0 = \mathbf{M}(t-t_0)</math>
== Vlastnosti ==
Moment hybnosti má při [[rotační pohyb|rotačním pohybu]] stejný význam jako [[hybnost]] při [[přímočarý pohyb|pohybu přímočarém]].
Pojem momentu hybnosti je analogický pojmu [[hybnost]]i:
tak jako je hybnost součinem [[hmotnost]]i a [[rychlost]]i v případě [[translační pohyb|translačního pohybu]],
tak je moment hybnosti součinem [[moment setrvačnosti|momentu setrvačnosti]] a [[úhlová rychlost|úhlové rychlosti]] v případě [[rotační pohyb|rotačního pohybu]].
== Součet momentů hybnosti vnitřních sil ==
Součet momentů hybnosti vnitřních sil v [[Tuhé těleso|tuhém tělese]] je roven nule, protože:
1. Dva body na sebe působí silou přitažlivou nebo odpudivou (tzn. má směr shodný se směrem jejich spojnice)
2. Působí-li bod A na bod B, pak bod B působí na bod A silou stejně velikou, ale opačně orientovanou
Uvažme tedy vzoreček pro moment sil:
<math>\mathbf{M}_i</math> je moment hybnosti <math>i</math>-tého bodu. Mezi <math>i</math>-tým a <math>j</math>-tým bodem působí síla <math>\mathbf{F}_{i,j}=-\mathbf{F}_{j,i}</math>. Celkový moment hybnosti vnitřních sil je <math>\sum \mathbf{M}_i=\sum_i \mathbf{r}_i \times \sum_j \mathbf{F}_{i,j}=\sum_i \sum_j \mathbf{r}_i\times \mathbf{F}_{i,j}</math>. Uvažujme nyní pouze interakci <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu:
<math>\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}+\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{j,i}=\mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_{i,j}-\mathbf{r}_j \times \mathbf{F}_{i,j}=(\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j) \times \mathbf{F}_{i,j}</math>,
kde <math>\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j</math> je spojnice <math>i</math>-tého a <math>j</math>-tého bodu. Dle prvního předpokladu na sebe tyto body působí silou, která je s jejich spojnicí rovnoběžná. A jak známo, [[vektorový součin]] rovnoběžných vektorů je roven nule.
== Moment hybnosti v kvantové mechanice ==
V [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]] je moment hybnosti vždy kvantován. Výsledkem měření jedné komponenty momentu hybnosti ([[impulsmoment]]u) můžou být pouze násobky redukované [[Planckova konstanta|Planckovy konstanty]]. Kvantován je i [[kvadrát]] [[moment hybnosti|momentu hybnosti]].
Zcela novou vlastností je [[spin]] částic, [[vnitřní moment hybnosti]] určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.
Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z [[princip korespondence|principu korespondence]], kvantový impulsmoment je tedy definován takto:
<math>\bold{\hat{L}}=\bold{\hat{r}} \times {\hat{p}}</math>
Z [[komutační relace|komutačních relací]] pro [[souřadnice|souřadnici]] a [[impuls]] <math>[\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}</math> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:
<math>[\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n</math>
Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:
<math>\bold{\hat{L}^2}|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)|lm\rangle</math>
<math>\hat{L}_3|lm\rangle=\hbar m |lm\rangle</math>
Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

== Související články ==
* [[Hybnost]]
* [[Moment setrvačnosti]]
* [[Zákon zachování momentu hybnosti]]
* [[Rotační pohyb]]

[[Kategorie:Mechanika]]
{{Článek z Wikipedie}}

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 15:27
Řádka 60:		Řádka 60:
	Zcela novou vlastností je [[spin]] částic, [[vnitřní moment hybnosti]] určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.		Zcela novou vlastností je [[spin]] částic, [[vnitřní moment hybnosti]] určité částice. Na rozdíl od orbitálního impulsmomentu, který byl zmíněn výše může nabývat komponenta spinu i poločíselných hodnot.
	Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z [[princip korespondence\|principu korespondence]], kvantový impulsmoment je tedy definován takto:		Při zavedení kvantového impulsmomentu vyjdeme z [[princip korespondence\|principu korespondence]], kvantový impulsmoment je tedy definován takto:
-	<big>\(\~~bold~~{\hat{L}}=\~~bold~~{\hat{r}} \times {\hat{p}}\)</big>	+	<big>\(\mathbf{\hat{L}}=\mathbf{\hat{r}} \times {\hat{p}}\)</big>
	Z [[komutační relace\|komutačních relací]] pro [[souřadnice\|souřadnici]] a [[impuls]] <big>\([\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}\)</big> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:		Z [[komutační relace\|komutačních relací]] pro [[souřadnice\|souřadnici]] a [[impuls]] <big>\([\hat{X}_k,\hat{P}_l]=i \hbar \delta_{kl}\)</big> lze odvodit komutační relace pro impulsmoment:
	<big>\([\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n\)</big>		<big>\([\hat{L}_k,\hat{L}_l]=i \hbar \varepsilon_{kln}\hat{L}_n\)</big>
	Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:		Z těchto komutačních relací již plyne kvantování impulsmomentu. Pro vlastní vektory kvadrátu impulsmomentu a jeho třetí komponenty platí:
-	<big>\(\~~bold~~{\hat{L}^2}\|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)\|lm\rangle\)</big>	+	<big>\(\mathbf{\hat{L}^2}\|lm\rangle=\hbar^2 l(l+1)\|lm\rangle\)</big>
	<big>\(\hat{L}_3\|lm\rangle=\hbar m \|lm\rangle\)</big>		<big>\(\hat{L}_3\|lm\rangle=\hbar m \|lm\rangle\)</big>
	Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.		Kde l je nezáporné celé nebo polocelé číslo. Pro určitou hodnotu l může kvantové číslo m nabývat pouze hodnot -l,-l+1,...,l-1,l, tedy celkem 2l+1 hodnot.

Moment hybnosti - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Moment hybnosti - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“