Sysop: 1 revizi

2013-07-25T14:26:52Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 25. 7. 2013, 14:26

Sysop: 1 revizi

2009-11-16T17:00:28Z

1 revizi

Nová stránka

'''Moment setrvačnosti''' je [[fyzikální veličina]], která vyjadřuje míru [[Setrvačnost|setrvačnosti]] tělesa při [[Otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]]. Její velikost závisí na rozložení [[hmota|hmoty]] v [[Těleso|tělese]] vzhledem k [[Osa otáčení|ose otáčení]]. Body (části) tělesa s větší [[Hmotnost|hmotností]] a umístěné ''dál od osy'' mají větší moment setrvačnosti.

==Značení==
* Symbol veličiny: ''J'' , někdy také ''I''
* Základní jednotka [[soustava SI|SI]]: [[kilogram]] krát [[metr]] na druhou, značka [[Fyzikální jednotka|jednotky]]: kg . m<sup>2</sup>

==Výpočet==
===Diskrétní rozložení hmoty===
Při [[otáčivý pohyb|otáčivém pohybu]] [[soustava hmotných bodů|soustavy hmotných bodů]] kolem nehybné [[osa|osy]] opisují jednotlivé [[hmotný bod|hmotné body]] [[kružnice]], jejichž středy leží na [[osa otáčení|ose otáčení]]. [[Úhlová rychlost]] <math>\omega</math> všech bodů je stejná.

Celkovou [[kinetická energie|kinetickou energii]] určíme jako součet kinetických energií všech <math>n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.
:<math>E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,
kde <math>m_i</math> je hmotnost <math>i</math>-tého hmotného bodu, <math>v_i</math> je velikost jeho rychlosti, <math>r_i</math> je jeho ([[kolmost|kolmá]]) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že [[Rychlost (mechanika)|rychlost]] bodu při [[kruhový pohyb|kruhovém pohybu]] je přímo úměrná [[vzdálenost]]i bodu od osy otáčení, tzn. <math>v = \omega r</math>.
Předchozí vztah lze upravit na tvar
:<math>E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,
kde veličina <math>J</math> představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem
:<math>J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>

===Spojité rozložení hmoty===
V [[mechanika kontinua|mechanice kontinua]] (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah
:<math>J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,
kde [[integrace]] se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti <math>M</math>.

Je-li <math>\rho</math> [[hustota]] tělesa, pak <math>\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V</math>, kde <math>V</math> je [[objem]] tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru
:<math>J = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V</math>
Integruje se přes [[objem]] celého tělesa <math>V</math>.

V případě, že je těleso [[homogenita|homogenní]], tzn. <math>\rho = \mbox{konst.}</math>, je možné předchozí vztah zjednodušit
:<math>J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>

==Poloměr setrvačnosti==
Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa <math>M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti <math>R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.
:<math>J = MR^2</math>

[[Vzdálenost]] <math>R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá '''poloměr setrvačnosti''' nebo '''gyrační poloměr'''.

==Momenty setrvačnosti některých těles==
Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
:<math>J = \frac{1}{12}m l^2</math>

* Moment setrvačnosti tyče [[délka|délky]] <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče [[kolmost|kolmo]] k její délce
:<math>J = \frac{1}{3}m l^2</math>

* Moment setrvačnosti [[koule]] o [[poloměr]]u <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem koule.
:<math>J = \frac{2}{5}mr^2</math>

* Moment setrvačnosti plného [[válec|válce]] o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k [[osa souměrnosti|ose souměrnosti]].
:<math>J = \frac{1}{2}mr^2</math>

* Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru <math>r_1</math> a vnějším poloměru <math>r_2</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
:<math>J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)</math>

* Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose otáčení.
:<math>J = mr^2</math>

==Steinerova věta==
{{viz též|Steinerova věta}}
Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo [[těžiště]] tělesa lze určit podle [[Steinerova věta|Steinerovy věty]] jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k [[rovnoběžky|rovnoběžné]] ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.
:<math>J = J_0 + m r_T^2</math>,
kde <math>J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <math>m</math> je hmotnost tělesa a <math>r_T</math> je [[kolmost|kolmá]] vzdálenost těžiště od osy otáčení.

==Tenzor setrvačnosti==
Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy <math>S</math> [[úhlová rychlost|úhlovou rychlostí]] <math>\mathbf{\omega}</math>, má [[kinetická energie]] tohoto rotačního pohybu hodnotu
:<math>E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,
kde <math>J_S</math> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose <math>S</math>, <math>v_i</math> je rychlost <math>i</math>-tého hmotného bodu soustavy, a <math>\mathbf{r}_i</math> je [[polohový vektor]] <math>i</math>-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa <math>S</math>.

[[Vektor]] <math>\mathbf{\omega}</math>, který směřuje podél osy <math>S</math> lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> vzhledem k souřadnicovým osám <math>x, y, z</math>. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru
:<math>E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]</math>
a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé [[mocnina|mocniny]], dostaneme po úpravě
:<math>2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i</math>
Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz
:<math>E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}</math>,
kde
:<math>J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i</math>
:<math>J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i</math>
:<math>J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i</math>
jsou momenty setrvačnosti vzhledem k [[souřadnicová osa|souřadnicovým osám]] <math>x, y, z</math> a
:<math>D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i</math>
:<math>D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i</math>
:<math>D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i</math>
jsou '''deviační momenty'''.

Předchozí vztahy platí pro těleso popsané [[soustava hmotných bodů|soustavou hmotných bodů]]. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od [[sumace]] k [[integrace|integraci]] a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme
:<math>J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m</math>
:<math>J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m</math>
:<math>J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m</math>
Pro deviační momenty získáme podobně vztahy
:<math>D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m</math>
:<math>D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m</math>
:<math>D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m</math>

Vektor <math>\mathbf{\omega}</math>, který leží v ose <math>S</math> je možné využít k získání směrových kosinů [[osa rotace|rotační osy]], tzn. <math>\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}</math>, kde <math>\omega</math> je velikost vektoru <math>\mathbf{\omega}</math>. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti <math>J_S</math> vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami <math>x, y, z</math> úhly <math>\alpha, \beta, \gamma</math>
:<math>J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta</math>
Změní-li se směr osy <math>S</math> vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti <math>J_S</math>. Toto rozložení charakterizuje [[elipsoid setrvačnosti]].

Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. '''tenzoru setrvačnosti''':
: <math>\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}</math>,
kde symbol <math>\otimes</math> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice|symetrická]] [[čtvercová matice]].

==Plošný moment setrvačnosti==
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k [[rovina|rovině]], kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme <math>z=0</math>. Hmotnostní element <math>\mathrm{d}m</math> je pak nahrazován [[plocha|plošným]] elementem <math>\mathrm{d}S</math>.

Plošné momenty setrvačnosti k osám <math>x, y</math> jsou tedy
:<math>J_x = \int_S y^2\mathrm{d}S</math>
:<math>J_y = \int_S x^2\mathrm{d}S</math>
Z deviačních momentů je nenulový pouze
:<math>D_{xy} = \int_S xy\mathrm{d}S</math>

Namísto [[elipsoid setrvačnosti|elipsoidu setrvačnosti]] dostáváme '''elipsu setrvačnosti'''.

Položíme-li do [[těžiště]] tělesa počátek pravoúhlé [[soustava souřadnic|soustavy souřadnic]], potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně [[kolmost|kolmým]] rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou
:<math>J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
:<math>J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
:<math>J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m</math>
Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám <math>x, y, z</math> pak platí
:<math>J_x = J_{xy} + J_{zx}</math>
:<math>J_y = J_{xy} + J_{yz}</math>
:<math>J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>

==Polární moment setrvačnosti==
Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. '''polární moment setrvačnosti'''.

Polární moment setrvačnosti části [[rovina|rovinné]] plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou <math>z</math>) je
:<math>J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\mathrm{d}S = \int_S r^2\mathrm{d}S</math>

== Související články ==
* [[Mechanika]]
* [[Mechanika tuhého tělesa]]
* [[Steinerova věta]]

==Literatura==
* Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil ''Mechanika'', Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
* Landau LD and Lifshitz EM (1976) ''Mechanics'', 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
* Goldstein H. (1980) ''Classical Mechanics'', 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
* Symon KR. (1971) ''Mechanics'', 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Mechanika]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 15:27
Řádka 101:		Řádka 101:

	Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. '''tenzoru setrvačnosti''':		Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. '''tenzoru setrvačnosti''':
-	: <big>\(\~~bold~~{J} = \int{ \left( \~~bold~~{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}\)</big>,	+	: <big>\(\mathbf{J} = \int{ \left( \mathbf{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}\)</big>,
	kde symbol <big>\(\otimes\)</big> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice\|symetrická]] [[čtvercová matice]].		kde symbol <big>\(\otimes\)</big> představuje [[tenzorový součin]], jehož výsledkem je [[symetrická matice\|symetrická]] [[čtvercová matice]].

Moment setrvačnosti - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Moment setrvačnosti - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“