Neutrální prvek - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:52:55Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:52
Řádka 1:		Řádka 1:
-	V [[algebra\|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina\|množiny]] ''A'' s [[binární operace\|binární]] [[operace (matematika)\|operací]] <big>\(\otimes</~~math~~> takový [[Prvek množiny\|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x ∈ A'' je ''x''.	+	V [[algebra\|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina\|množiny]] ''A'' s [[binární operace\|binární]] [[operace (matematika)\|operací]] <big>$\otimes$</big> takový [[Prvek množiny\|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x ∈ A'' je ''x''.

-	V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>\(\cdot</~~math~~>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>\((1 \cdot x = x)</~~math~~>.	+	V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>$\cdot$</big>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>$(1 \cdot x = x)$</big>.
-	V případě použití aditivního značení, např. <big>\(+</~~math~~>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>\((0 + x = x)\!</~~math~~>.	+	V případě použití aditivního značení, např. <big>$+$</big>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>$(0 + x = x)\!$</big>.
	Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)\|identita]]'''.		Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)\|identita]]'''.

	== Příklady ==		== Příklady ==
-	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</~~math~~> jsou [[reálné číslo\|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.	+	* Pokud <big>$(A,\ \otimes)$</big> jsou [[reálné číslo\|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
-	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</~~math~~> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.	+	* Pokud <big>$(A,\ \otimes)$</big> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
-	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</~~math~~> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice\|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic\|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].	+	* Pokud <big>$(A,\ \otimes)$</big> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice\|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic\|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
-	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</~~math~~> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic\|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].	+	* Pokud <big>$(A,\ \otimes)$</big> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic\|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
-	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</~~math~~> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z množiny <big>\(M\,</~~math~~> do sebe sama a <big>\(\otimes</~~math~~> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)\|identita]] definovaná <big>\(\forall x \in M : id(x) = x</~~math~~>.	+	* Pokud <big>$(A,\ \otimes)$</big> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z množiny <big>$M\,$</big> do sebe sama a <big>$\otimes$</big> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)\|identita]] definovaná <big>$\forall x \in M : id(x) = x$</big>.
-	* Pokud má <big>\(A\,</~~math~~> pouze dva prvky <big>\(e\,</~~math~~> a <big>\(f\,</~~math~~> a operace <big>\(\otimes</~~math~~> je definována tak, že <big>\(e \otimes e = f \otimes e = e</~~math~~> a <big>\(f \otimes f = e \otimes f = f</~~math~~>, jsou oba prvky <big>\(e\,</~~math~~> a <big>\(f\,</~~math~~> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.	+	* Pokud má <big>$A\,$</big> pouze dva prvky <big>$e\,$</big> a <big>$f\,$</big> a operace <big>$\otimes$</big> je definována tak, že <big>$e \otimes e = f \otimes e = e$</big> a <big>$f \otimes f = e \otimes f = f$</big>, jsou oba prvky <big>$e\,$</big> a <big>$f\,$</big> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

-	Jak ukazuje poslední příklad, <big>\((A,\otimes)</~~math~~> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>\(A\,</~~math~~> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>\(A\,</~~math~~> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>\(l = l \otimes r = r</~~math~~>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>	+	Jak ukazuje poslední příklad, <big>$(A,\otimes)$</big> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>$A\,$</big> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>$A\,$</big> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>$l = l \otimes r = r$</big>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>

	== Formální definice ==		== Formální definice ==
-	Buď <big>\(A\,</~~math~~> množina a <big>\(\otimes</~~math~~> operace na <big>\(A\,</~~math~~>.	+	Buď <big>$A\,$</big> množina a <big>$\otimes$</big> operace na <big>$A\,$</big>.

-	* Prvek <big>\(e\in A\,</~~math~~> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : e \otimes x = x</~~math~~>.	+	* Prvek <big>$e\in A\,$</big> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>$\forall x \in A : e \otimes x = x$</big>.
-	* Prvek <big>\(e\in A\,</~~math~~> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = x</~~math~~>.	+	* Prvek <big>$e\in A\,$</big> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>$\forall x \in A : x \otimes e = x$</big>.
-	* Prvek <big>\(e\in A\,</~~math~~> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</~~math~~>.	+	* Prvek <big>$e\in A\,$</big> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>$\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x$</big>.

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:34Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 1:		Řádka 1:
-	V [[algebra\|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina\|množiny]] ''A'' s [[binární operace\|binární]] [[operace (matematika)\|operací]] <~~math~~>\otimes</math> takový [[Prvek množiny\|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x ∈ A'' je ''x''.	+	V [[algebra\|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina\|množiny]] ''A'' s [[binární operace\|binární]] [[operace (matematika)\|operací]] <big>\(\otimes</math> takový [[Prvek množiny\|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x ∈ A'' je ''x''.

-	V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <~~math~~>\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <~~math~~>(1 \cdot x = x)</math>.	+	V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <big>\(\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <big>\((1 \cdot x = x)</math>.
-	V případě použití aditivního značení, např. <~~math~~>+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <~~math~~>(0 + x = x)\!</math>.	+	V případě použití aditivního značení, např. <big>\(+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <big>\((0 + x = x)\!</math>.
	Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)\|identita]]'''.		Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)\|identita]]'''.

	== Příklady ==		== Příklady ==
-	* Pokud <~~math~~>(A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo\|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.	+	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo\|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
-	* Pokud <~~math~~>(A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.	+	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
-	* Pokud <~~math~~>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice\|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic\|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].	+	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice\|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic\|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
-	* Pokud <~~math~~>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic\|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].	+	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic\|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
-	* Pokud <~~math~~>(A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z množiny <~~math~~>M\,</math> do sebe sama a <~~math~~>\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)\|identita]] definovaná <~~math~~>\forall x \in M : id(x) = x</math>.	+	* Pokud <big>\((A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] z množiny <big>\(M\,</math> do sebe sama a <big>\(\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)\|identita]] definovaná <big>\(\forall x \in M : id(x) = x</math>.
-	* Pokud má <~~math~~>A\,</math> pouze dva prvky <~~math~~>e\,</math> a <~~math~~>f\,</math> a operace <~~math~~>\otimes</math> je definována tak, že <~~math~~>e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <~~math~~>f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <~~math~~>e\,</math> a <~~math~~>f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.	+	* Pokud má <big>\(A\,</math> pouze dva prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> a operace <big>\(\otimes</math> je definována tak, že <big>\(e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <big>\(f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <big>\(e\,</math> a <big>\(f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

-	Jak ukazuje poslední příklad, <~~math~~>(A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <~~math~~>A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <~~math~~>A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <~~math~~>l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>	+	Jak ukazuje poslední příklad, <big>\((A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <big>\(A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <big>\(A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <big>\(l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>

	== Formální definice ==		== Formální definice ==
-	Buď <~~math~~>A\,</math> množina a <~~math~~>\otimes</math> operace na <~~math~~>A\,</math>.	+	Buď <big>\(A\,</math> množina a <big>\(\otimes</math> operace na <big>\(A\,</math>.

-	* Prvek <~~math~~>e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <~~math~~>\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.	+	* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
-	* Prvek <~~math~~>e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <~~math~~>\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.	+	* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
-	* Prvek <~~math~~>e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <~~math~~>\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.	+	* Prvek <big>\(e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <big>\(\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.

Sysop: + Nový článek

2015-10-30T00:33:47Z

+ Nový článek

Nová stránka

V [[algebra|algebře]] je '''neutrální prvek''' ''e'' [[množina|množiny]] ''A'' s [[binární operace|binární]] [[operace (matematika)|operací]] <math>\otimes</math> takový [[Prvek množiny|prvek]], pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného ''x ∈ A'' je ''x''.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např <math>\cdot</math>, je ''e'' často nazýván '''jednotkovým prvkem''' <math>(1 \cdot x = x)</math>.
V případě použití aditivního značení, např. <math>+</math>, je ''e'' často nazýván '''nulovým prvkem''' <math>(0 + x = x)\!</math>.
Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz [[identita (matematika)|identita]]'''.

== Příklady ==
* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou [[reálné číslo|reálná čísla]] se [[sčítání]]m, je číslo ''0'' neutrálním prvkem.
* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou reálná čísla s [[násobení]]m, je neutrálním prvkem číslo ''1''.
* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné [[Čtvercová matice|čtvercové]] [[matice]] se [[Sčítání matic|sčítáním]], neutrálním prvkem je [[nulová matice]].
* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> jsou ''n''-rozměrné matice s [[násobení matic|násobením]], je neutrálním prvkem [[jednotková matice]].
* Pokud <math>(A,\ \otimes)</math> je [[množina]] všech [[zobrazení (matematika)|zobrazení]] z množiny <math>M\,</math> do sebe sama a <math>\otimes</math> je [[skládání funkcí]], je neutrálním prvem funkce [[identita (matematika)|identita]] definovaná <math>\forall x \in M : id(x) = x</math>.
* Pokud má <math>A\,</math> pouze dva prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> a operace <math>\otimes</math> je definována tak, že <math>e \otimes e = f \otimes e = e</math> a <math>f \otimes f = e \otimes f = f</math>, jsou oba prvky <math>e\,</math> a <math>f\,</math> levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, <math>(A,\otimes)</math> může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny <math>A\,</math> je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině <math>A\,</math> levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.<ref group=pozn>Důkaz: Buď ''l'' levý neutrální a ''r'' pravý neutrální, pak <math>l = l \otimes r = r</math>. V množině ''A'' tedy může být jen jeden neutrální prvek.</ref>

== Formální definice ==
Buď <math>A\,</math> množina a <math>\otimes</math> operace na <math>A\,</math>.

* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''levý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : e \otimes x = x</math>.
* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''pravý neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = x</math>.
* Prvek <math>e\in A\,</math> se nazývá '''neutrální''', právě když <math>\forall x \in A : x \otimes e = e \otimes x = x</math>.

{| class="wikitable"
! colspan="4"| <big>Struktury s jednou binární operací</big>
|-
!   
! width=60 | [[Asociativita]]
! width=60 | [[Neutrální prvek]]
! width=60 | [[Inverzní prvek]]
|- align="center"
! [[Grupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center"
! [[Monoid]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Pologrupa]]
| [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Lupa (matematika)|Lupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]] || [[Soubor:FFresh tick octagon.png|32px]]
|- align="center"
! [[Kvazigrupa]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|- align="center"
! [[Grupoid]]
| [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]] || [[Soubor:FFresh cancel.png|32px]]
|}
== Související články ==
* [[Inverzní prvek]]
* [[Grupa]]
* [[Monoid]]
== Poznámky ==
<references group=pozn />

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Algebra]]

Neutrální prvek - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Nový článek

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“