Sysop: /* Definice ordinální mocniny */ Heureka

2019-03-03T15:22:59Z

Definice ordinální mocniny: Heureka

← Starší verze		Verze z 3. 3. 2019, 15:22
Řádka 71:		Řádka 71:
	# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>		# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
	# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>		# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
-	# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math><br />'''sup''' v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \~~isin~~ </math>	+	# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math><br />'''sup''' v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \in </math>

	== Vlastnosti ordinální mocniny ==		== Vlastnosti ordinální mocniny ==

Sysop: + Dnes už 20. článek ?? To byla zívačka... :-))

2019-03-03T15:19:28Z

+ Dnes už 20. článek ?? To byla zívačka... :-))

Nová stránka

'''Ordinální aritmetika''' je jednou z disciplín klasické [[teorie množin]]. Zabývá se rozšířením základních aritmetických operací ([[součet|sčítání]], [[součin|násobení]], [[mocnina|mocnění]]) z [[Přirozené číslo|přirozených čísel]] na všechna [[Ordinální číslo|ordinální čísla]] (včetně [[Nekonečná množina|nekonečných]]). Toto rozšíření probíhá tak, aby byly dobře zachyceny vlastnosti takzvaných [[Dobře uspořádaná množina|dobrých uspořádání]]. Jinou možností je pokus o zachycení vlastností velikosti množin - tím se zabývá [[kardinální aritmetika]].

V celém článku jsou písmena ze začátku řecké [[alfabeta|alfabety]] používána pro označení [[ordinál]]ů.

== Ordinální čísla a jejich vlastnosti ==
''Základní definice a vlastnosti ordinálních čísel najdete v článku '''[[Ordinální číslo]]'''.''

== Definice ordinálního součtu a součinu ==
Jsou-li <math> \alpha \,\!</math> a <math> \beta \,\!</math> dvě ordinální čísla, pak:
* jako <math> \alpha + \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> ( \{ 0 \} \times \alpha ) \cup ( \{ 1 \} \times \beta ) </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]]
* jako <math> \alpha . \beta \,\!</math> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <math> \beta \times \alpha </math> v [[Lexikografické uspořádání|lexikografickém uspořádání]].

Typem [[Dobře uspořádaná množina|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <math> \isin </math> [[Izomorfismus|izomorfní]] s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===
Součet 3 + 2: 
<math> ( \{ 0 \} \times 3) \cup ( \{ 1 \} \times 2) = </math> 
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0,1,2 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1 \}) = </math> 
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2] \} \cup \{ [1,0],[1,1] \} = </math> 
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1] \} \,\!</math> 
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání (tj. napřed podle prvního a pak podle druhého prvku uspořádané dvojice) je ordinál 5, takže 2 + 3 = 5, což vypadá docela povědomě.

Součet <math> 1 + \omega_0 \,\!</math> (jako <math> \omega_0 \,\!</math> se značí množina všech přirozených čísel) 
<math> ( \{ 0 \} \times 1) \cup ( \{ 1 \} \times \omega_0 ) = </math> 
<math> ( \{ 0 \} \times \{ 0 \}) \cup ( \{ 1 \} \times \{ 0,1,2,3,... \} ) = </math> 
<math> \{ [0,0] \} \cup \{ [1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} = </math> 
<math> \{ [0,0],[1,0],[1,1],[1,2],[1,3],... \} \,\!</math> 
Typem této množiny v lexikografickém uspořádání je <math> \omega_0 \,\!</math>, takže <math> 1 + \omega_0 = \omega_0 \,\!</math>. Tady už je to s tou povědomostí horší - když něco zleva přičtu k množině všech přirozených čísel, dostanu opět množinu přirozených čísel.

Doporučuji každému, aby si zkusil podle definice rozepsat <math> \omega_0 + 1 \,\!</math>. Dojde k překvapivému zjištění: 
<math> 1 + \omega_0 = \omega_0 < \omega_0 + 1 \,\!</math>

=== Příklady součinu dvou ordinálních čísel ===
Součin 3.2: 
<math> 2 \times 3 = \{ 0,1 \} \times \{ 0,1,2 \} = </math> 
<math> \{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2] \} \,\!</math> 
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je číslo 6.

Součin <math> 2.\omega_0 \,\!</math> :
<math> \omega_0 \times 2 = \{ 0,1,2,... \} \times \{ 0,1 \} = \,\! </math> 
<math> \{ [0,0],[0,1],[1,0],[1,1],[2,0],... \} \,\! </math> 
Typem této množiny s lexikografickým uspořádáním je <math> \omega_0 \,\!</math>.

Obrátím-li poslední příklad na <math> \omega_0 . 2 \,\!</math>, dostávám množinu 
<math> \{ [0,0],[0,1],[0,2],...,[1,0],[1,1],[1,2],... \} \,\!</math>, 
jejímž typem již není <math> \omega_0 \,\!</math>, ale větší ordinální číslo <math> \omega_0 + \omega_0 = \omega_0 . 2 \,\!</math>

Rozhodně opět <math> 2 . \omega_0 < \omega_0 . 2 \,\! </math>.

== Vlastnosti ordinálního součtu a součinu ==
Ordinální součet a součin je definován tak, aby na přirozených číslech (tj. v našem případě na konečných ordinálech) dával stejné výsledky jako běžný aritmetický součet a součin v [[Peanova aritmetika|Peanově aritmetice]]. Dá se dokonce ukázat, že ordinální aritmetika na konečných ordinálech je [[Model (matematika)|modelem]] Peanovy aritmetiky.

Zajímavější začíná být situace na nekonečných ordinálech, kde se již toto chování liší - součet ani součin nejsou [[komutativní]] a ordinální součin je [[distributivita|distributivní]] pouze zleva: 
<math> ( \forall \alpha, \beta, \gamma) ( \alpha.(\beta + \gamma) = \alpha.\beta + \alpha.\gamma) </math> 
Opačně to ale neplatí, protože například:
<math> (1 + 1).\omega_0 = 2.\omega_0 \neq 1.\omega_0 + 1.\omega_0 = \omega_0.2 </math> - viz předchozí příklady.

Uveďme některé další vlastnosti ordinálního součtu a součinu (všechny lze snadno odvodit přímo z definice stejně, jako v předchozích příkladech): 
* <math> \alpha + 0 = 0 + \alpha = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha . 0 = 0 . \alpha = 0 \,\!</math>
* <math> \alpha . 1 = 1 . \alpha = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha + ( \beta + \gamma) = ( \alpha + \beta) + \gamma \,\!</math>
* <math> \alpha . ( \beta . \gamma) = ( \alpha . \beta) . \gamma \,\!</math>

A na závěr ještě něco, co vypadá trochu jako zbytek po dělení na přirozených číslech: 
Pro každé dva ordinály <math> \alpha, \beta, \beta > 0 \,\!</math> existují <math> \gamma_1 \leq \alpha, \gamma_2 < \beta \,\!</math> takové, že 
<math> \alpha = \beta . \gamma_1 + \gamma_2 \,\!</math>

== Definice ordinální mocniny ==
'''Ordinální mocnina''' mocnina je opět rozšířením své jmenovkyně známé z přirozených čísel, definuje se rekurzivně následujícím způsobem: 
# <math> \alpha^0 = 1 \,\!</math>
# <math> \alpha^{\beta + 1} = \alpha^{\beta} . \alpha \,\!</math>
# pro [[limitní ordinál]] <math> \beta \,\!</math> je <math> \alpha^{\beta} = sup \{ \alpha^{\gamma} : 0 < \gamma < \beta \} \,\!</math> '''sup''' v tomto výrazu znamená [[supremum]] dané množiny k uspořádání ordinálních čísel relací <math> \isin </math>

== Vlastnosti ordinální mocniny ==
Ordinální mocnina má opět řadu vlastností, které bychom od aritmetické operace toho jména čekali: 
* <math> 0^0 = 1 \,\!</math>
* <math> 0^{\alpha} = 0 \,\!</math> pro <math> \alpha > 0 \,\!</math>
* <math> 1^{\alpha} = 1 \,\!</math>
* <math> \alpha^1 = \alpha \,\!</math>
* <math> \alpha^2 = \alpha . \alpha \,\!</math>

A především:
* <math> \alpha^{\beta + \gamma} = \alpha^{\beta} . \alpha^{\gamma} \,\!</math>
* <math> (\alpha^{\beta})^{\gamma} = \alpha^{\beta.\gamma} \,\!</math>

== Mocninný rozvoj ordinálního čísla ==
Na závěr ještě uveďme větu o mocninném rozvoji ordinálních čísel (konkrétně pro základ <math> \omega_0 \,\!</math> - opět lze srovnávat s mocninným rozvojem na přirozených číslech například ze základu 2:

Je-li <math> \omega = \omega_0 \,\!</math> množina přirozených čísel a <math> \alpha \,\!</math> libovolný ordinál, pak existují jednoznačně daná přirozená čísla <math> k, m_0, m_1,...,m_k \,\!</math> a ordinály <math> \beta_0 > \beta_1 > \beta_2 >...> \beta_k \,\!</math> takové, že platí: 
<math> \alpha = \omega^{\beta_0}.m_0 + \omega^{\beta_1}.m_1 + ... + \omega^{\beta_k}.m_k \,\!</math>

Tento zápis nazýváme '''Cantorův normální tvar''' ordinálního čísla.

Pro vyjádření čísla <math>\,\alpha</math> v Cantorově normálním tvaru platí <math>\alpha\geq\beta_0</math>, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když <math>\,\alpha=\omega^\alpha</math>. Takových <math>\,\alpha</math> existuje dokonce [[vlastní třída]], nejmenší z nich se nazývá <math>\varepsilon_0</math>. Pro <math>\,\alpha<\varepsilon_0</math> tedy je <math>\,\alpha>\beta_0</math>, což umožňuje často používanou metodu dokazování – takzvanou indukci do epsilon nula.

== Související články ==
* [[Ordinální číslo]]
* [[Kardinální číslo]]
* [[Kardinální aritmetika]]
* [[Goodsteinova posloupnost]]
* [[Transfinitní indukce]]
* [[Transfinitní rekurze]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Ordinální čísla]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 22:01
Řádka 11:		Řádka 11:
	* jako <big>\( \alpha . \beta \,\!\)</big> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <big>\( \beta \times \alpha \)</big> v [[Lexikografické uspořádání\|lexikografickém uspořádání]].		* jako <big>\( \alpha . \beta \,\!\)</big> označíme ordinální číslo, které je typem množiny <big>\( \beta \times \alpha \)</big> v [[Lexikografické uspořádání\|lexikografickém uspořádání]].

-	Typem [[Dobře uspořádaná množina\|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <big>\( \~~isin~~ \)</big> [[Izomorfismus\|izomorfní]] s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.	+	Typem [[Dobře uspořádaná množina\|dobře uspořádané množiny]] se rozumí ordinální číslo, které je při uspořádání relací <big>\( \in \)</big> [[Izomorfismus\|izomorfní]] s touto množinou - jedním z poměrně jednoduchých výsledků teorie ordinálních čísel je, že každá dobře uspořádaná množina je izomorfní s právě jedním ordinálem.

	=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===		=== Příklady součtu dvou ordinálních čísel ===

Ordinální aritmetika - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\isin“ textem „\in“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: /* Definice ordinální mocniny */ Heureka

Sysop: + Dnes už 20. článek ?? To byla zívačka... :-))

Ordinální aritmetika - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\isin“ textem „\in“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: /* Definice ordinální mocniny */ Heureka

Sysop: + Dnes už 20. článek ?? To byla zívačka... :-))

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“