Paprsková rovnice - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

2022-08-14T15:27:02Z

Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 15:27
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je		'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je

-	<big>$\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s})$</big>,	+	<big>$\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})$</big>,

	kde <big>$s$</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.		kde <big>$s$</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
Řádka 7:		Řádka 7:
	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar		Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

-	<big>$n\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s}$</big>	+	<big>$n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}$</big>

-	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>$\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2}$</big> je vždy kolmá na <big>$\frac{\rm{d} \~~bold~~{r}}{\rm{d}s}$</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,	+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>$\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}$</big> je vždy kolmá na <big>$\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}$</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

-	<big>$\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2}\right\|$</big>.	+	<big>$\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right\|$</big>.

	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).		Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

-	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>$\frac{\rm{d} \~~bold~~{r}}{\rm{d}s}$</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.	+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>$\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}$</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

	==Příklady==		==Příklady==

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:04Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:45Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-08T08:56:08Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 8. 8. 2014, 08:56
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-cs\|Paprsková rovnice~~\|700~~}}	+	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je
-		+
		+	<math>\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,
		+
		+	kde <math>s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
		+
		+	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar
		+
		+	<math>n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>
		+
		+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <math>\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,
		+
		+	<math>\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right\|</math>.
		+
		+	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).
		+
		+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <math>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.
		+
		+	==Příklady==
		+
		+	Speciálně je-li <math>\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.
		+
		+	Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí
		+
		+	<math>n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>
		+
		+	Což lze přepsat pomocí úhlu <math>\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru
		+
		+	<math>n(y) \sin \alpha = konst.</math>
		+
		+	Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:
		+
		+	<math>n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Rovnice]]		[[Kategorie:Rovnice]]
	[[Kategorie:Optika]]		[[Kategorie:Optika]]

Sysop: 1 revizi

2013-10-01T12:11:27Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 1. 10. 2013, 12:11

Sysop: 1 revizi

2012-10-29T14:28:02Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Paprsková rovnice|700}}

[[Kategorie:Rovnice]]
[[Kategorie:Optika]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 15:27
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je		'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je

-	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s})\)</big>,	+	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\)</big>,

	kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.		kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.
Řádka 7:		Řádka 7:
	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar		Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

-	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\~~bold~~{r}}{\rm{d}s}\)</big>	+	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big>

-	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \~~bold~~{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,	+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

-	<big>\(\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \~~bold~~{r}}{\rm{d}s^2}\right\|\)</big>.	+	<big>\(\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \mathbf{r}}{\rm{d}s^2}\right\|\)</big>.

	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).		Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

-	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \~~bold~~{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.	+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \mathbf{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

	==Příklady==		==Příklady==

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je		'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je

-	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</~~math~~>,	+	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\)</big>,

-	kde <big>\(s</~~math~~> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.	+	kde <big>\(s\)</big> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar		Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

-	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</~~math~~>	+	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}\)</big>

-	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</~~math~~> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</~~math~~> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,	+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\)</big> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

-	<big>\(\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right\|</~~math~~>.	+	<big>\(\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right\|\)</big>.

	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).		Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

-	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</~~math~~> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.	+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}\)</big> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

	==Příklady==		==Příklady==

-	Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0</~~math~~>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.	+	Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0\)</big>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

	Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí		Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

-	<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</~~math~~>	+	<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.\)</big>

-	Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha</~~math~~>, který paprsek svírá s osou y do tvaru	+	Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha\)</big>, který paprsek svírá s osou y do tvaru

-	<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.</~~math~~>	+	<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.\)</big>

	Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:		Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:

-	<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</~~math~~>	+	<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2\)</big>

	== Externí odkazy ==		== Externí odkazy ==

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je		'''Paprskovu rovnici''' je možno odvodit z [[eikonálová rovnice\|eikonálové rovnice]], případně z [[Fermatův princip\|Fermatova principu]]. Tato rovnice popisuje šíření [[paprsek\|paprsku]] v prostředí s proměnným [[index lomu\|indexem lomu]]. Její tvar je

-	<~~math~~>\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,	+	<big>\(\nabla n = \frac{\rm{d}}{\rm{d}s} (n \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})</math>,

-	kde <~~math~~>s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.	+	kde <big>\(s</math> je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.

	Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar		Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tvar

-	<~~math~~>n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>	+	<big>\(n\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2} = \nabla n - (\nabla n \cdot \frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s})\frac{\rm{d}\bold{r}}{\rm{d}s}</math>

-	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <~~math~~>\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <~~math~~>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,	+	Z diferenciální geometrie je přitom známo, že <big>\(\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}</math> je vždy kolmá na <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> (tedy na směr paprsku) a její velikost se rovná křivosti křivky,

-	<~~math~~>\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right\|</math>.	+	<big>\(\frac{1}{R}= \left\|\frac{\rm{d}^2 \bold{r}}{\rm{d}s^2}\right\|</math>.

	Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).		Paprsková rovnice tedy umožňuje ze směru paprsku v určitém bodě určit jeho poloměr křivosti R v tomto bodě a také rovinu, ve které je paprsek zakřiven (oskulační rovinu).

-	Máme-li tedy zadán směr paprsku <~~math~~>\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.	+	Máme-li tedy zadán směr paprsku <big>\(\frac{\rm{d} \bold{r}}{\rm{d}s}</math> v jednom bodě v prostoru, jsme schopni z paprskové rovnice vypočítat, jak se bude paprsek dál šířit, případně i jak se šířil předtím, než do tohoto místa doletěl.

	==Příklady==		==Příklady==

-	Speciálně je-li <~~math~~>\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.	+	Speciálně je-li <big>\(\nabla n =0</math>, dostáváme nulovou křivost v každém bodě, což odpovídá přímočarému šíření světla v homogenním izotropním prostředí, paprsky jsou přímky.

	Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí		Závisí-li index lomu pouze na souřadnici y, pak z paprskové rovnice je okamžitě vidět, že pro paprsek pohybující se v rovině x,y platí

-	<~~math~~>n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>	+	<big>\(n(y)\frac{\rm{d}x}{\rm{d}s}=konst.</math>

-	Což lze přepsat pomocí úhlu <~~math~~>\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru	+	Což lze přepsat pomocí úhlu <big>\(\alpha</math>, který paprsek svírá s osou y do tvaru

-	<~~math~~>n(y) \sin \alpha = konst.</math>	+	<big>\(n(y) \sin \alpha = konst.</math>

	Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:		Z čehož speciálně plyne [[Snellův zákon]] lomu:

-	<~~math~~>n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>	+	<big>\(n_1 \sin \alpha_1 = n_2 \sin \alpha_2</math>

	== Externí odkazy ==		== Externí odkazy ==

Paprsková rovnice - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\bold{“ textem „\mathbf{“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“