Sysop: 1 revizi

2013-10-01T12:12:00Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 1. 10. 2013, 12:12

Sysop: Nahrazení textu

2011-04-13T12:40:31Z

Nahrazení textu

Nová stránka

[[Soubor:Parabola.png|thumb|Parabola]]
'''Parabola''' je druh [[kuželosečka|kuželosečky]], [[rovina|rovinné]] [[křivka|křivky]] druhého stupně. Parabola je [[množina]] těch [[bod]]ů roviny, které jsou stejně vzdáleny od dané [[přímka|přímky]] (tzv. ''řídicí přímka'' nebo také ''direktrix'') jako od daného [[bod]]u, který na ní neleží (tzv. ''ohnisko'').
== Vlastnosti, vyjádření ==
Parabola je pouze [[osová symetrie|osově]] [[symetrie|souměrná]]. Osa souměrnosti prochází ohniskem a je kolmá na řídicí přímku. Otáčením paraboly kolem její osy symetrie vznikne kvadratická rotační [[plocha]], zvaná rotační [[paraboloid]].
O parabole říkáme, že je v ''normální poloze'', je-li její osa [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math> nebo <math>y</math>.
Parabolu lze také definovat jako kuželosečku s [[výstřednost]]í rovnou jedné. Z toho vyplývá, že všechny paraboly jsou [[podobnost|podobné]]. Parabolu lze také chápat jako [[limita|limitu]] [[posloupnost (matematika)|posloupnosti]] [[elipsa|elips]], ve které je jedno ohnisko pevné a druhé ohnisko se postupně vzdaluje do nekonečna.
=== Matematická vyjádření ===
'''Implicitní vyjádření'''
: <math>\| XF \| = \| Xd \| \,\!</math>
[[Množina]] všech [[bod]]ů ''X'' v [[rovina|rovině]], které mají stejnou [[vzdálenost]] od [[ohnisko|ohniska]] ''F'' a od [[řídicí přímka|řídicí přímky]] ''d'', která neprochází ohniskem ''F''.
==== Kartézský souřadnicový systém ====
Standardní popis paraboly: 
[[Soubor:Parabola_kartezsky_system.GIF|right|Parabola v kartezském souřadnicovém systému]]
<div>
'''V[m, n]''' – vrchol paraboly o souřadnicích m, n 
'''F''' – ohnisko paraboly 
'''d''' – řídicí přímka 
'''o''' – osa paraboly 
'''|DF| = p''' – velikost [[parametr (matematika)|parametru]], <math>p > 0 \,\!</math> 
<math>|DV| = |FV| = {p\over 2} \,\!</math> 
'''X[x, y]''' – libovolný [[bod]] náležící parabole
</div> 
===== Kanonický tvar rovnice =====
Kanonický (normální) tvar rovnice paraboly v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou <math>x</math> a vrchol <math>V=[x_0,y_0]</math>) v kartézských souřadnicích je
:<math>{(y-y_0)}^2 = 2p(x-x_0)</math>
Pro <math>p>0</math> je parabola otevřená doprava a pro <math>p<0</math> je parabola otevřená doleva. Pro <math>x_0=0, y_0=0</math> dostaneme parabolu s vrcholem v počátku souřadnic.
Ohnisko takto zadané paraboly má souřadnice
:<math>\left[x_0+\frac{p}{2},y_0\right]</math>
a řídicí přímka je určena rovnicí
:<math>x=x_0-\frac{p}{2}</math>
Kanonický tvar rovnice paraboly s osou v ose <math>y</math> a vrcholem v počátku souřadnicového systému lze zapsat jako
:<math>x^2 = 2py</math>
Pro <math>p>0</math> je parabola otevřená nahoru a pro <math>p<0</math> je otevřená dolů.
===== Rovnice kuželosečky =====
Jestliže v rovnici [[kuželosečka|kuželosečky]] položíme <math>a_{11}=a_{12}=0</math> a <math>a_{13}a_{22}\neq 0</math>, pak dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou <math>x</math>), která má řídicí přímku
:<math>x = \frac{a_{23}^2+a_{13}^2-a_{22}a_{23}}{2a_{22}a_{13}}</math>
ohnisko má souřadnice
:<math>F = \left[\frac{a_{23}^2-a_{13}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
a souřadnice vrcholu jsou
:<math>V = \left[\frac{a_{23}^2-a_{22}a_{33}}{2a_{22}a_{13}},\;-\frac{a_{23}}{a_{22}}\right]</math>
Parametr má velikost
:<math>|p| = \left|\frac{a_{13}}{a_{22}}\right|</math>
Podobně v případě <math>a_{12}=a_{22}=0</math> a <math>a_{11}a_{23}\neq 0</math> dostaneme parabolu v normální poloze (osa paraboly je rovnoběžná s osou <math>y</math>). Pro řídicí přímku, ohnisko, vrchol a parametr pak dostaneme
:<math>y = \frac{a_{13}^2+a_{23}^2-a_{11}a_{13}}{2a_{11}a_{23}}</math>
:<math>F = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{23}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>V = \left[-\frac{a_{13}}{a_{11}},\; \frac{a_{13}^2-a_{11}a_{33}}{2a_{11}a_{23}}\right]</math>
:<math>|p| = \left|\frac{a_{23}}{a_{11}}\right|</math>
Parabolu v obecné poloze lze do normální polohy převést [[rotace (geometrie)|otočením]] souřadnicové soustavy o [[úhel]] <math>\alpha</math> určený vztahem
:<math>\operatorname{tg}2\alpha = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}</math>
===== Charakteristické rovnice paraboly dle jejího umístění =====
* Osa paraboly <math>o</math> [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math> mající minimum(bod V) na ose <math>x</math>.
[[Soubor:Parabola_kartezsky_system_vpravo.GIF|right|Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy x]]
:''Vrcholová rovnice'':
:: <math>(y - n)^2 = 2p(x - m) \,\!</math>
:''[[parametrická funkce|Parametrické rovnice]]'':
:: <math>x = {p\over 2}t^2 + m \,\!</math> 
:: <math>y = pt + n \,\!</math>
:''Obecná rovnice'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0 \,\!</math>
:''Rovnice řídicí přímky'':
:: <math>x = m - {p\over 2} \,\!</math>
:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
Osa paraboly <math>o</math> [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>x</math> mající maximum(bod V) na ose <math>x</math>. 
[[Soubor:Parabola_kartezsky_system_vlevo.GIF|right|Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozevirající se do záporné části osy ''x'']]
:''Vrcholová rovnice'':
:: <math>(y - n)^2 = -2p(x - m) \,\!</math>
:''Parametrické rovnice'':
:: <math>x = -{p\over 2}t^2 + m \,\!</math> 
:: <math>y = -pt + n \,\!</math>
:''Obecná rovnice'':
:: <math>y^2 + Ax + By + C = 0, A \ne 0</math>
:''Rovnice řídicí přímky'':
:: <math>x = m + {p\over 2} \,\!</math>
:''Rovnice [[tečna|tečny]] v [[bod]]ě <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(y - n)(y_0 - n) = -p(x + x_0 - 2m) \,\!</math>
* Osa paraboly <math>o</math> [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>y</math> mající minimum. Konvexní parabola.
[[Soubor:Parabola_kartezsky_system_nahore.GIF|right|Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do kladné části osy ''y'']]
:''Vrcholová rovnice'':
:: <math>(x - m)^2 = 2p(y - n) \,\!</math>
:''Parametrické rovnice'':
:: <math>x = pt + m \,\!</math> 
:: <math>y = {p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''Obecná rovnice'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Rovnice řídicí přímky'':
:: <math>y = n - {p\over 2} \,\!</math>
:''Rovnice tečny v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>'':
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
* Osa paraboly <math>o</math> [[rovnoběžky|rovnoběžná]] s osou <math>y</math> mající maximum. Konkávní parabola.
[[Soubor:Parabola_kartezsky_system_dole.GIF|right|Parabola v kartézském souřadnicovém systému rozvirající se do záporné části osy ''y'']]
:''Vrcholová rovnice'':
:: <math>(x - m)^2 = -2p(y - n) \,\!</math>
:''Parametrické rovnice'':
:: <math>x = -pt + m \,\!</math> 
:: <math>y = -{p\over 2}t^2 + n \,\!</math>
:''Obecná rovnice'':
:: <math>x^2 + Ax + By + C = 0, B \ne 0</math>
:''Rovnice řídicí přímky'':
:: <math>y = n + {p\over 2} \,\!</math>
:''Rovnice [[tečna|tečny]] v bodě <math>T[x_0, y_0]</math>:
:: <math>(x - m)(x_0 - m) = -p(y + y_0 - 2n) \,\!</math>
===== Převedení obecné rovnice na vrcholovou =====
Uspořádáme členy v rovnici.
: <math>2x^2 + 3x + 5y + 8 = 0 \,\!</math>
Z prvních dvou členů vytkneme dvojku ([[koeficient]]) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu.
: <math>2\left[(x + {3 \over 4})^2 - {9 \over 16}\right] = -5y - 8 \,\!</math>
Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala vrcholovému tvaru.
: <math>2(x + {3 \over 4})^2 - {9\over 8} = -5y - 8 \,\!</math>
: <math>(x + {3 \over 4})^2 = -{55 \over 16} - {5\over 2}y \,\!</math>
: <math>(x + {3 \over 4})^2 = -{5\over 2}(y + {11 \over 8}) \,\!</math>
Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti paraboly. 
Jedná se o parabolu, jejíž osa <math>o</math> je [[rovnoběžky|rovnoběžná]] se záporným směrem osy <math>y</math>. 
<math>p = {5 \over 4} \,\!</math>, <math>V\left[-{3 \over 4}, -{11 \over 8}\right] \,\!</math>, <math>F\left[-{3 \over 4}, -2\right] \,\!</math>,
<math>D\left[-{3 \over 4}, -{3 \over 4}\right] \,\!</math>, '''d: '''<math>y = -{3 \over 4} \,\! \,\!</math> 
===== Vzájemná poloha paraboly a přímky =====
Řešíme [[soustava rovnic|soustavu rovnic]] paraboly a [[přímka|přímky]].
Jestliže vyjde [[lineární rovnice]], která má řešení - přímka je [[sečna|sečnou]] paraboly s jedním [[průsečík]]em.
Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení - přímka není [[sečna]] (žádný společný bod).
Pokud vyjde [[kvadratická rovnice]] a [[diskriminant]] <math>D</math> je:
* D > 0 dvě řešení - přímka je sečna se dvěma průsečíky
* D = 0 jedno řešení - tečna s bodem dotyku
* D < 0 žádné řešení - přímka není sečna
===== Vzájemná poloha paraboly a bodu =====
Jestliže převedeme všechny členy rovnice paraboly na levou
stranu ([[anulace rovnice|anulujeme rovnici]]) a dosadíme souřadnice bodu,
pak bude platit:
* výsledná hodnota = 0 bod náleží parabole
* výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve [[vnější oblast]]i paraboly
* výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve [[vnitřní oblast]]i paraboly
==== Polární souřadnicový systém ====
Parabola s ohniskem v počátku souřadnicového systému s vrcholem na záporné poloose x má obecnou rovnici:
: <math>r (1 - \cos \varphi) = p \,</math>
kde <math>p>0</math> je parametr paraboly.
Odtud je vidět, že parametr paraboly má také význam poloviny délky tzv. [[:en:latus rectum|latus rectum]], což je [[Tětiva (geometrie)|tětiva]] [[Kuželosečka|kuželosečky]] [[Ortogonalita|kolmá]] na hlavní osu v ohnisku <math>F</math>. U paraboly se tato hodnota rovná čtyřnásobku [[ohnisková vzdálenost|ohniskové vzdálenosti]].
Z polární rovnice lze rovněž nahlédnout, že parabola vznikne též kruhovou inverzí [[kardioda|srdcovky]].
== Parabola ve skutečném světě ==
[[Trajektorie|Trajektorií]] [[těleso|tělesa]] pohybujícího se v homogenním [[gravitační pole|gravitačním poli]] (např. v blízkosti zemského povrchu) je právě parabola. Při započítání vlivu odporu [[vzduch]]u se tělesa pohybují po tzv. [[balistická křivka|balistické křivce]], viz [[volný pád]].
Po '''parabole''' se také pohybuje těleso v centrálním gravitačním poli, pokud je jeho [[rychlost]] přesně rovna [[Úniková rychlost|únikové rychlosti]] a směr se nerovná směru tohoto pole. Například dráhy, po nichž se pohybují některé [[Kometa|komety]], jsou velmi blízké parabolám.
Pokud se [[paprsek]] přicházející do paraboly (či [[paraboloid]]u) rovnoběžně s osou symetrie odrazí od paraboly/paraboloidu, bude procházet ohniskem (a naopak, paprsek vydávaný zdrojem umístěným v ohnisku vychází z paraboly/paraboloidu vždy rovnoběžně s osou symetrie). To je důvod, proč se vyrábějí [[parabolické zrcadlo|parabolická zrcadla]] a [[anténa|antény]] (např. v [[Světlomet|reflektorech]] [[automobil]]ů, [[dalekohled]]ech, [[Telekomunikační družice|satelitních]] anténách apod.).
== Související články ==
* [[Geometrický útvar]]
* [[Rovinné geometrické útvary]]
* [[Hyperbola]]
* [[Elipsa]]
* [[Kružnice]]
* [[Mocninná křivka]]
== Externí odkazy ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Parabola.html Parabola v encyklopedii MathWorld] (anglicky))

{{Kuželosečky}}{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Rovinné geometrické útvary]]
[[Kategorie:Křivky]]

Parabola (matematika) - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu

Parabola (matematika) - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“