Plocha - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:10Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:49Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

2014-02-17T12:02:05Z

+ Výrazné vylepšení

← Starší verze		Verze z 17. 2. 2014, 12:02
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-cs\|~~Plocha~~\|~~700~~}}	+	'''Plocha''' označuje v matematice a fyzice dvojrozměrný [[geometrický útvar]]. Příkladem ploch jsou [[rovina]], [[Sféra (matematika)\|kulová plocha]], povrch [[válec\|válce]] nebo [[kuželová plocha]]. Přesné matematické definice se v různých kontextech a v různých teoriích liší.
-		+
-	[[~~Kategorie~~:~~Geometrie~~]]	+	Výraz plocha se někdy nesprávně používá nejen pro označení [[geometrický útvar\|geometrického útvaru]], ale také pro označení [[obsah]]u geometrického útvaru.
		+
		+	== Plochy v euklidovském prostoru ==
		+
		+	V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor\|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina\|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice\|rovnici]]
		+	:<math>F(x,y,z)=0</math>,
		+	kde <math>F</math> je [[funkce (matematika)\|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost\|spojitou]] [[parciální derivace\|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.
		+
		+	Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula\|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.
		+
		+	Singulární bod, v němž funkce <math>F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.
		+
		+	Plocha určená svojí [[normála plochy\|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
		+
		+	Rovnici plochy lze vyjádřit v různých tvarech.
		+
		+	=== Implicitní rovnice plochy ===
		+	Implicitní rovnice plochy má tvar
		+	:<math>F(x,y,z)=0</math>
		+
		+	=== Parametrické rovnice ===
		+	Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic\|soustavou rovnic]]
		+	:<math>x=x(u,v)</math>
		+	:<math>y=y(u,v)</math>
		+	:<math>z=z(u,v)</math>
		+	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce\|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <math>u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <math>u, v</math> z určitého oboru <math>\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <math>\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <math>u</math> a <math>v</math>.
		+
		+	=== Explicitní rovnice plochy ===
		+	Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
		+	:<math>z=f(x,y)</math>,
		+	pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.
		+
		+	== Základní rovnice plochy ==
		+	Vztahy mezi [[normála\|normálou]] plochy <math>\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <math>\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <math>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.
		+
		+	{{Upravit}}
		+	=== Weingartenovy rovnice plochy ===
		+	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <math>\mathbf{n}</math> a <math>\mathbf{r}</math>.
		+	:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
		+	:<math>\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
		+	:
		+	:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
		+	:<math>\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
		+	kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].
		+
		+	=== Gaussovy rovnice plochy ===
		+	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor\|polohového vektoru]] <math>\mathbf{r}</math>.
		+	:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
		+	:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
		+	:<math>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>
		+	kde <math>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <math>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].
		+
		+	=== Codazziho rovnice plochy ===
		+	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy prvního řádu]] <math>E, F, G</math> a [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy druhého řádu]] <math>L, M, N</math>.
		+	:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
		+	:<math>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	* Zavedeme [[matice\|matici]]
		+	:<math>\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>
		+	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice\|hodnost]] <math>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <math>h<2</math>, pak jde o singulární body.
		+
		+	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <math>\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <math>h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Prostorové geometrické útvary]]
		+	* [[Přímková plocha]]
		+	* [[Kvadrika\|Kvadratická plocha]]
		+	* [[Kuželová plocha]]
		+	* [[Válcová plocha]]
		+	* [[Obsah]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]		[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]

Sysop: 1 revizi

2013-09-22T21:37:05Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 22. 9. 2013, 21:37

Sysop: 1 revizi

2012-10-25T10:49:02Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Plocha|700}}

[[Kategorie:Geometrie]]
[[Kategorie:Prostorové geometrické útvary]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 6:		Řádka 6:

	V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor\|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina\|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice\|rovnici]]		V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor\|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina\|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice\|rovnici]]
-	:<big>\(F(x,y,z)=0</~~math~~>,	+	:<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>,
-	kde <big>\(F</~~math~~> je [[funkce (matematika)\|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost\|spojitou]] [[parciální derivace\|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.	+	kde <big>\(F\)</big> je [[funkce (matematika)\|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost\|spojitou]] [[parciální derivace\|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

	Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula\|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.		Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula\|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.

-	Singulární bod, v němž funkce <big>\(F</~~math~~> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.	+	Singulární bod, v němž funkce <big>\(F\)</big> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.

	Plocha určená svojí [[normála plochy\|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.		Plocha určená svojí [[normála plochy\|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
Řádka 19:		Řádka 19:
	=== Implicitní rovnice plochy ===		=== Implicitní rovnice plochy ===
	Implicitní rovnice plochy má tvar		Implicitní rovnice plochy má tvar
-	:<big>\(F(x,y,z)=0</~~math~~>	+	:<big>\(F(x,y,z)=0\)</big>

	=== Parametrické rovnice ===		=== Parametrické rovnice ===
	Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic\|soustavou rovnic]]		Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic\|soustavou rovnic]]
-	:<big>\(x=x(u,v)</~~math~~>	+	:<big>\(x=x(u,v)\)</big>
-	:<big>\(y=y(u,v)</~~math~~>	+	:<big>\(y=y(u,v)\)</big>
-	:<big>\(z=z(u,v)</~~math~~>	+	:<big>\(z=z(u,v)\)</big>
-	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce\|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v</~~math~~> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v</~~math~~> z určitého oboru <big>\(\Omega</~~math~~> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega</~~math~~> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u</~~math~~> a <big>\(v</~~math~~>.	+	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce\|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v\)</big> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v\)</big> z určitého oboru <big>\(\Omega\)</big> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega\)</big> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u\)</big> a <big>\(v\)</big>.

	=== Explicitní rovnice plochy ===		=== Explicitní rovnice plochy ===
	Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar		Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
-	:<big>\(z=f(x,y)</~~math~~>,	+	:<big>\(z=f(x,y)\)</big>,
	pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.		pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

	== Základní rovnice plochy ==		== Základní rovnice plochy ==
-	Vztahy mezi [[normála\|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}</~~math~~>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}</~~math~~> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</~~math~~> uvést v různých tvarech.	+	Vztahy mezi [[normála\|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}\)</big>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}\)</big> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)\)</big> uvést v různých tvarech.

	{{Upravit}}		{{Upravit}}
	=== Weingartenovy rovnice plochy ===		=== Weingartenovy rovnice plochy ===
-	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}</~~math~~> a <big>\(\mathbf{r}</~~math~~>.	+	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}\)</big> a <big>\(\mathbf{r}\)</big>.
-	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big>
-	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}\)</big>
	:		:
-	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big>
-	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}\)</big>
-	kde <big>\(E, F, G</~~math~~> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</~~math~~> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].	+	kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].

	=== Gaussovy rovnice plochy ===		=== Gaussovy rovnice plochy ===
-	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor\|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}</~~math~~>.	+	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor\|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}\)</big>.
-	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}\)</big>
-	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}\)</big>
-	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</~~math~~>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}\)</big>
-	kde <big>\(E, F, G</~~math~~> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</~~math~~> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].	+	kde <big>\(E, F, G\)</big> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N\)</big> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].

	=== Codazziho rovnice plochy ===		=== Codazziho rovnice plochy ===
-	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G</~~math~~> a [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N</~~math~~>.	+	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G\)</big> a [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N\)</big>.
-	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</~~math~~>	+	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0\)</big>
-	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</~~math~~>	+	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0\)</big>

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
	* Zavedeme [[matice\|matici]]		* Zavedeme [[matice\|matici]]
-	:<big>\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</~~math~~>	+	:<big>\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}\)</big>
-	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice\|hodnost]] <big>\(h=2</~~math~~> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2</~~math~~>, pak jde o singulární body.	+	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice\|hodnost]] <big>\(h=2\)</big> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2\)</big>, pak jde o singulární body.

-	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega</~~math~~> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2</~~math~~>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.	+	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega\)</big> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2\)</big>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.

	== Související články ==		== Související články ==

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 6:		Řádka 6:

	V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor\|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina\|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice\|rovnici]]		V dalším předpokládejme, že plocha je podmnožina třírozměrného [[Eukleidovský prostor\|euklidovského prostoru]]. Můžeme ji definovat jako [[množina\|množinu]] všech [[bod]]ů, jejichž [[souřadnice]] vyhovují [[rovnice\|rovnici]]
-	:<~~math~~>F(x,y,z)=0</math>,	+	:<big>\(F(x,y,z)=0</math>,
-	kde <~~math~~>F</math> je [[funkce (matematika)\|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost\|spojitou]] [[parciální derivace\|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.	+	kde <big>\(F</math> je [[funkce (matematika)\|funkce]], která má v každém bodě [[spojitost\|spojitou]] [[parciální derivace\|parciální derivaci]] alespoň prvního řádu a na žádné otevřené množině není identicky rovna nule.

	Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula\|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.		Body plochy, v nichž je alespoň jedna z těchto parciálních derivací nenulová, se nazývají ''[[regulární bod]]y'' plochy, zatímco body, v nichž jsou všechny parciální derivace prvního řádu [[nula\|nulové]] označujeme jako ''[[singulární bod]]y''. Příkladem singulárního bodu je např. vrchol [[kužel]]e.

-	Singulární bod, v němž funkce <~~math~~>F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.	+	Singulární bod, v němž funkce <big>\(F</math> má alespoň jednu nenulovou parciální derivaci druhého řádu, se nazývá ''kónický bod'' plochy.

	Plocha určená svojí [[normála plochy\|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.		Plocha určená svojí [[normála plochy\|normálou]] se označuje jako '''orientovaná plocha'''.
Řádka 19:		Řádka 19:
	=== Implicitní rovnice plochy ===		=== Implicitní rovnice plochy ===
	Implicitní rovnice plochy má tvar		Implicitní rovnice plochy má tvar
-	:<~~math~~>F(x,y,z)=0</math>	+	:<big>\(F(x,y,z)=0</math>

	=== Parametrické rovnice ===		=== Parametrické rovnice ===
	Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic\|soustavou rovnic]]		Uvažujme plochu, jejíž souřadnice jsou vyjádřeny [[soustava rovnic\|soustavou rovnic]]
-	:<~~math~~>x=x(u,v)</math>	+	:<big>\(x=x(u,v)</math>
-	:<~~math~~>y=y(u,v)</math>	+	:<big>\(y=y(u,v)</math>
-	:<~~math~~>z=z(u,v)</math>	+	:<big>\(z=z(u,v)</math>
-	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce\|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <~~math~~>u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <~~math~~>u, v</math> z určitého oboru <~~math~~>\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <~~math~~>\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <~~math~~>u</math> a <~~math~~>v</math>.	+	Tato soustava rovnic představuje [[parametrická funkce\|parametrické]] vyjádření plochy, přičemž <big>\(u, v</math> jsou parametry plochy. Každou dvojici <big>\(u, v</math> z určitého oboru <big>\(\Omega</math> nazýváme [[bod]]em plochy. Předpokládáme přitom, že tyto rovnice jsou na <big>\(\Omega</math> spojité a mají spojité nebo po částech spojité parciální derivace prvního řádu podle <big>\(u</math> a <big>\(v</math>.

	=== Explicitní rovnice plochy ===		=== Explicitní rovnice plochy ===
	Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar		Pokud lze předchozí rovnice plochy převést na tvar
-	:<~~math~~>z=f(x,y)</math>,	+	:<big>\(z=f(x,y)</math>,
	pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.		pak hovoříme o explicitní rovnici plochy.

	== Základní rovnice plochy ==		== Základní rovnice plochy ==
-	Vztahy mezi [[normála\|normálou]] plochy <~~math~~>\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <~~math~~>\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <~~math~~>\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.	+	Vztahy mezi [[normála\|normálou]] plochy <big>\(\mathbf{n}</math>, [[rádiusvektor]]em <big>\(\mathbf{r}</math> a jejich [[derivace]]mi určují tzv. ''základní rovnice plochy''. Tyto [[rovnice]] lze pro plochu určenou <big>\(\mathbf{r}=\mathbf{r}(u,v)</math> uvést v různých tvarech.

	{{Upravit}}		{{Upravit}}
	=== Weingartenovy rovnice plochy ===		=== Weingartenovy rovnice plochy ===
-	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <~~math~~>\mathbf{n}</math> a <~~math~~>\mathbf{r}</math>.	+	'''Weingartenovy rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[derivace]]mi [[vektor]]ů <big>\(\mathbf{n}</math> a <big>\(\mathbf{r}</math>.
-	:<~~math~~>\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} = \frac{FM-GL}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FL-EM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
-	:<~~math~~>\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{n}}{\part v} = \frac{FN-GM}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{FM-EN}{EG-F^2}\frac{\part\mathbf{r}}{\part v}</math>
	:		:
-	:<~~math~~>\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part u} = \frac{MF-NE}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{ME-LF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
-	:<~~math~~>\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>	+	:<big>\(\frac{\part\mathbf{r}}{\part v} = \frac{MG-NF}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part u} + \frac{MF-LG}{LN-M^2}\frac{\part\mathbf{n}}{\part v}</math>
-	kde <~~math~~>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <~~math~~>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].	+	kde <big>\(E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].

	=== Gaussovy rovnice plochy ===		=== Gaussovy rovnice plochy ===
-	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor\|polohového vektoru]] <~~math~~>\mathbf{r}</math>.	+	'''Gaussovy rovnice plochy''' umožňují určit druhou derivaci [[polohový vektor\|polohového vektoru]] <big>\(\mathbf{r}</math>.
-	:<~~math~~>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u^2} = \frac{G\frac{\part E}{\part u} - 2F\frac{\part F}{\part u} + F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{-F\frac{\part E}{\part u} + 2E\frac{\part F}{\part u} - E\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + L\mathbf{n}</math>
-	:<~~math~~>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part u\part v} = \frac{G\frac{\part E}{\part v} - F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part u} - F\frac{\part E}{\part v}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + M\mathbf{n}</math>
-	:<~~math~~>\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>	+	:<big>\(\frac{\part^2\mathbf{r}}{\part v^2} = \frac{-F\frac{\part G}{\part v} + 2G\frac{\part F}{\part v} - G\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part u} + \frac{E\frac{\part G}{\part v} - 2F\frac{\part F}{\part v} + F\frac{\part G}{\part u}}{2(EG-F^2)} \frac{\part\mathbf{r}}{\part v} + N\mathbf{n}</math>
-	kde <~~math~~>E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <~~math~~>L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].	+	kde <big>\(E, F, G</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy prvního řádu]] a <big>\(L, M, N</math> jsou [[základní veličina plochy\|základní veličiny plochy druhého řádu]].

	=== Codazziho rovnice plochy ===		=== Codazziho rovnice plochy ===
-	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy prvního řádu]] <~~math~~>E, F, G</math> a [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy druhého řádu]] <~~math~~>L, M, N</math>.	+	'''Codazziho''' (nebo také '''Mainardiho''') '''rovnice plochy''' určují vztahy mezi [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy prvního řádu]] <big>\(E, F, G</math> a [[základní veličina plochy\|základními veličinami plochy druhého řádu]] <big>\(L, M, N</math>.
-	:<~~math~~>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>	+	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part L}{\part v} - \frac{\part M}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part E}{\part v} - \frac{\part F}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part u} & L \\ F & \frac{\part F}{\part u} & M \\ G & \frac{\part G}{\part u} & N \end{vmatrix} = 0</math>
-	:<~~math~~>(EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>	+	:<big>\((EG-2F^2+GE)\left(\frac{\part M}{\part v} - \frac{\part N}{\part u}\right) - (EN-2FM+GL)\left(\frac{\part F}{\part v} - \frac{\part G}{\part u}\right) + \begin{vmatrix} E & \frac{\part E}{\part v} & L \\ F & \frac{\part F}{\part v} & M \\ G & \frac{\part G}{\part v} & N \end{vmatrix} = 0</math>

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
	* Zavedeme [[matice\|matici]]		* Zavedeme [[matice\|matici]]
-	:<~~math~~>\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>	+	:<big>\(\begin{pmatrix} \frac{\part x}{\part u} & \frac{\part y}{\part u} & \frac{\part z}{\part u} \\ \frac{\part x}{\part v} & \frac{\part y}{\part v} & \frac{\part z}{\part v} \end{pmatrix}</math>
-	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice\|hodnost]] <~~math~~>h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <~~math~~>h<2</math>, pak jde o singulární body.	+	Body plochy, v nichž má tato matice [[hodnost matice\|hodnost]] <big>\(h=2</math> jsou regulárními body. Je-li hodnost matice <big>\(h<2</math>, pak jde o singulární body.

-	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <~~math~~>\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <~~math~~>h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.	+	* Máme-li plochu zadanou rovnicemi, které mají všude v <big>\(\Omega</math> nenulovou parciální derivaci prvního řádu a uvedená matice má v každém bodě hodnost <big>\(h=2</math>, pak plochu označujeme jako '''hladkou'''.

	== Související články ==		== Související články ==

Plocha - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“