Sysop: + Aktualizace

2025-08-15T10:55:32Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 15. 8. 2025, 10:55
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Počáteční ~~podmínky~~\|~~700}}~~	+	'''Počáteční úloha''' (také '''[[Cauchyho úloha]]''' nebo '''problém počáteční hodnoty''') je v [[matematika\|matematice]] v oboru [[diferenciální rovnice\|diferenciálních rovnic]] hledání takového řešení [[obyčejná diferenciální rovnice\|obyčejné diferenciální rovnice]], které vyhovuje '''počáteční podmínce'''.

		+	Počáteční podmínka stanovuje, jaké hodnoty musí mít neznámá funkce (případně i její derivace) v určitém bodě definičního oboru. Za '''modelování systému''' se ve [[fyzika\|fyzice]] a jiných vědách obvykle považuje vyřešení počáteční úlohy.
		+
		+	Diferenciální rovnici lze v tomto případě považovat za rovnici vývoje, která udává, jak se bude systém z daných počátečních podmínek vyvíjet v čase.
		+
		+	== Definice ==
		+	'''Počáteční úloha''' je zadána diferenciální rovnicí
		+	:<big>\(y'(t) = f(t, y(t)) \,\)</big>, kde <big>\( f: \Omega \subset \mathbb{R} \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)</big> pro otevřenou množinu <big>\(\Omega \,\)</big>, která je podmnožinou <big>\(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n\)</big>,
		+	a bodem v definičním oboru funkce
		+	:<big>\((t_0, y_0) \in \Omega,\)</big>
		+	nazývaným '''počáteční podmínka'''.
		+
		+	'''Řešením''' počáteční úlohy je taková funkce ''y'', která je řešením diferenciální rovnice a vyhovuje podmínce
		+	:<big>\(y(t_0) = y_0. \,\)</big>
		+
		+	Ve vyšší dimenzi se místo jedné diferenciální rovnice uvažuje soustava rovnic <big>\(y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), ...)\)</big> a <big>\(y(t)\)</big> se bere jako vektor <big>\((y_1(t), ..., y_n(t))\)</big>. Obecně mohou být podmínky pro neznámou funkci ''y'' hodnoty v nekonečněrozměrném prostoru, jakým je například [[Banachův prostor]] nebo prostor [[Distribuce (matematika)\|distribucí]].
		+
		+	Použitím derivací v podmínce lze problém počáteční hodnoty rozšířit na vyšší řády, například <big>\(y''(t)=f(t,y(t),y'(t))\)</big>.
		+
		+	== Existence a jednoznačnost řešení ==
		+	Pro velkou třídu počátečních úloh lze existenci a jednoznačnost řešení ilustrovat pomocí kalkulátoru.
		+
		+	[[Picardova–Lindelöfova věta]] zaručuje jednoznačnost řešení na nějakém intervalu obsahujícím ''t''<sub>0</sub> pro ƒ spojitou na oblasti obsahující bod ''t''<sub>0</sub> a ''y''<sub>0</sub>, pokud funkce vyhovuje [[Lipschitzovsky spojité zobrazení\|Lipschitzově podmínce]] pro proměnnou ''y''.
		+	Důkaz této věty se provádí přeformulováním problému jako ekvivalentu [[integrální rovnice]]. Integrál může být považován operátor, který zobrazuje jednu funkci na jinou tak, že řešení je [[pevný bod\|pevným bodem]] operátoru. Pak se použije [[Banachova věta o pevném bodě]] pro důkaz, že existuje jediný pevný bod, který je řešením počáteční úlohy.
		+
		+	Ve starším důkazu Picardovy–Lindelöfovy věta se konstruuje posloupnost funkcí, která konverguje k řešení integrální rovnice a tedy k řešení počáteční úlohy. Tato konstrukce se někdy nazývá „Picardova metoda“ nebo „metoda postupných aproximací“. Jedná se vlastně o speciální případ [[Banachova věta o pevném bodě\|Banachovy věty o pevném bodě]].
		+
		+	Hiroshi Okamura získal [[Nutná a postačující podmínka\|nutnou a postačující podmínku]], aby bylo řešení počáteční úlohy jednoznačné. Tato podmínka využívá existenci soustavy [[Ljapunova funkce\|Ljapunových funkcí]].
		+
		+	Ne vždy však je funkce ƒ [[Hladká funkce\|hladká]] (třídy ''C''<sup>1</sup>) nebo dokonce [[Lipschitzovsky spojité zobrazení\|Lipschitzovská]], takže lokální existence jednoznačného řešení není zaručena. Podle [[Peanova existenční věta\|Peanovy existenční věty]] však spojitost funkce ƒ postačuje, aby řešení existovalo lokálně v čase; problémem je, že neexistuje záruka jednoznačnosti; výsledek lze nalézt v Coddington & Levinson (1955, Věta 1.3) nebo Robinson (2001, Věta 2.6). Ještě obecnější [[Carathéodoryho existenční věta]] zaručuje existenci řešení i pro některé nespojité funkce ƒ.
		+
		+	== Příklady ==
		+	;První příklad
		+	Řešíme rovnici <big>\(y' = 0.85 y\)</big> s počáteční podmínkou <big>\(y(0) = 19\)</big>. Hledáme funkci <big>\(y(t)\)</big>, která vyhovuje oběma rovnicím.
		+
		+	Nejdříve zapíšeme <big>\(y'\)</big> jako <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\)</big>:
		+
		+	: <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 0.85 y\)</big>
		+
		+	pak přeuspořádáme rovnici, aby <big>\(y\)</big> bylo na jedné a <big>\(t\)</big> na druhé straně:
		+
		+	: <big>\(\frac{\mathrm{d}y}{y} = 0.85\mathrm{d}t\)</big>
		+
		+	a obě strany zintegrujeme (což vnáší [[integrační konstanta\|integrační konstantu]] <big>\(B\)</big>):
		+
		+	: <big>\(\ln \| y \| = 0.85t + B \)</big>
		+
		+	aplikujeme inverzní funkci k logaritmu:
		+
		+	: <big>\( \| y \| = e^Be^{0.85t} \)</big>
		+
		+	zavedeme novou integrační konstantu <big>\(C = \pm e^B\)</big>:
		+
		+	: <big>\( y = Ce^{0.85t} \)</big>.
		+
		+	Nyní potřebujeme nalézt hodnotu <big>\(C\)</big>. Podle počáteční podmínky <big>\(y(0) = 19\)</big> a dosadíme za <big>\(t\)</big> 0 a za <big>\(y\)</big> 19
		+
		+	: <big>\( 19 = C e^{0.85 * 0}\)</big>
		+	: <big>\( C = 19 \)</big>
		+
		+	Výsledné řešení je <big>\( y(t) = 19e^{0.85t}\)</big>.
		+
		+	;Druhý příklad
		+	Řešením diferenciální rovnice s počáteční podmínkou
		+
		+	: <big>\(y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3\)</big>
		+
		+	je funkce
		+
		+	: <big>\(y(t)=2e^{-3t}+2t+1. \,\)</big>
		+
		+	což lze ověřit dosazením
		+
		+	: <big>\( \begin{align} y'+3y &= \tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} (2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1) \\ &= (-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3) \\ &= 6t+5.\end{align} \)</big>
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Okrajová úloha]]
		+	* [[Integrační konstanta]]
		+	* [[Integrální křivka]]
		+
		+	== Reference ==
		+	<div class="references-small">
		+	* {{Citace monografie \| autor = Coddington, Earl. a Levinson, Norman \| titul = Theory of ordinary differential equations \| vydavatel = McGraw-Hill Book Company, Inc. \| místo = New York-Toronto-London \| rok=1955 }}
		+	* {{Citace monografie \| autor = Morris W. Hirsch a Stephen Smale \| titul = Differential equations, dynamical systems, and linear algebra \| vydavatel = Academic Press \| místo = New York-London \| rok=1974 }}
		+	* {{Citace periodika \| příjmení = Okamura \| jméno = Hirosi \| titul = Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano \| periodikum = Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. \| svazek = 24 \| rok=1942 \| jazyk = French \| strana = 21-28 }}
		+	* {{Citace monografie \| autor = Agarwal, Ravi P. a Lakshmikantham, V. \| titul = Uniqueness a Nonuniqueness Criteria for Ordinary Differential Equations \| url=http://books.google.com/books?id=q4OkW4H8BCUC \| edice = Series in real analysis \| svazek = 6 \| rok=1993 \| vydavatel = World Scientific \| isbn=978-981-02-1357-2}}
		+	* {{Citace monografie \| autor = Polyanin, Andrei D. a Zaitsev, Valentin F. \| titul = Handbook of exact solutions for ordinary differential equations \| vydání=2 \| vydavatel = Chapman & Hall/CRC \| místo = Boca Raton, FL \| rok=2003 \| isbn=1-58488-297-2 }}
		+	* {{Citace monografie \| příjmení = Robinson \| jméno = James C. \| titul = Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors \| vydavatel = Cambridge University Press \| místo = Cambridge \| rok=2001 \| isbn=0-521-63204-8 }}
		+	</div>
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Diferenciální počet]]		[[Kategorie:Diferenciální počet]]
	[[Kategorie:Rovnice]]		[[Kategorie:Rovnice]]

Sysop: 1 revizi

2013-09-20T12:06:20Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 20. 9. 2013, 12:06

Sysop: 1 revizi

2012-10-29T14:28:02Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Počáteční podmínky|700}}

[[Kategorie:Diferenciální počet]]
[[Kategorie:Rovnice]]

Počáteční podmínky - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi