Sysop: + NEW

2025-04-27T11:48:05Z

+ NEW

Nová stránka

__NOTOC__
V [[matematika|matematice]] se pojmem '''podgrupa''' [[grupa|grupy]] ''G'' = (G,*) označuje grupa ''H'' = (H, *H), je-li H [[podmnožina|podmnožinou]] G a *H je podmnožinou [[Operace (matematika)|operace]] *.

V následujícím textu se místo zápisu ''a''*''b'' používá zkrácené ''ab''.

== Základní vlastnosti podgrup ==
* Podgrupa je grupa
* ''H'' je podgrupa grupy ''G'', právě když je neprázdná a je uzavřená na operaci * (to znamená, že pokud ''a'', ''b'' ∈ ''H'', pak ''ab'' ∈ ''H'') a na inverzi (tzn. jestliže ''a'' ∈ ''H'', pak ''a''−1 ∈ ''H'')
* [[Neutrální prvek]] v ''G'' se rovná neutrálnímu prvku v ''H''
* [[Inverzní prvek]] v ''G'' se rovná inverznímu prvku v ''H''

== Zvláštní případy podgrup ==
* Každá grupa obsahuje dvě tzv. '''nevlastní podgrupy''' (též '''triviální podgrupy'''), sebe samu a podgrupu obsahující pouze neutrální prvek (ta je zároveň [[triviální grupa|triviální grupou]]).<ref>
{{Citace monografie
| titul = Algebra a teoretická aritmetika, I. díl
| vydavatel = Státní pedagogické nakladatelství
| rok = 1983
| příjmení = Blažek
| jméno = Jaroslav
| příjmení2 = Calda
| jméno2 = Emil
| spoluautoři = aj.
| stránky = 90
}}</ref> Ostatní podgrupy označujeme jako '''vlastní''' (nebo '''netriviální''').
* Je-li ''S'' podmnožina G, existuje nejmenší podgrupa grupy ''G'' obsahující ''S''. Tato podgrupa se značí <''S''> a jmenuje se [[generování grupy|podgrupa generovaná]] množinou ''S'' (v případě, že ''S'' je jednoprvková, píšeme podgrupu jako <''a''> místo <''{a}''>).
* Zvláště významné jsou [[normální podgrupa|normální podgrupy]] splňující <big>\(\forall g \in G \quad g \cdot H \equiv \{g \cdot h, h \in H \} = \{h \cdot g, h \in H \} \equiv H \cdot g \)</big>

== Reference ==
<references/>
== Externí odkazy ==

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie grup]]

Podgrupa - Historie editací

Sysop: + NEW