Potenční algebra - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:13Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 1:		Řádka 1:
-	'''Potenční algebra''' je [[Matematika\|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin\|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina\|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny\|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace\|relací]] <big>\( \subseteq \,\! </~~math~~> ("být [[podmnožina\|podmnožinou]]").	+	'''Potenční algebra''' je [[Matematika\|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin\|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina\|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny\|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace\|relací]] <big>$ \subseteq \,\! $</big> ("být [[podmnožina\|podmnožinou]]").

	== Příklady ==		== Příklady ==
	V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:		V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:
-	* <big>\( \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </~~math~~> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] 3	+	* <big>$ \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! $</big> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] 3
-	* <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </~~math~~> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] <big>\( \omega \,\! </~~math~~> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo\|přirozených čísel]]	+	* <big>$ \mathbb{P}(\omega) \,\! $</big> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] <big>$ \omega \,\! $</big> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo\|přirozených čísel]]

	== Uspořádání inkluzí ==		== Uspořádání inkluzí ==
Řádka 10:		Řádka 10:

	Příklad:<br />		Příklad:<br />
-	Množina <big>\( \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </~~math~~> nemá v <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </~~math~~> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <big>\( \subseteq \,\! </~~math~~> .	+	Množina <big>$ \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! $</big> nemá v <big>$ \mathbb{P}(3) \,\! $</big> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <big>$ \subseteq \,\! $</big> .


-	Naproti tomu má každá množina vzhledem k <big>\( \subseteq \,\! </~~math~~> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.	+	Naproti tomu má každá množina vzhledem k <big>$ \subseteq \,\! $</big> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.
-	* <big>\( sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </~~math~~>	+	* <big>$ sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b $</big>
-	* <big>\( inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </~~math~~>	+	* <big>$ inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b $</big>
	Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):		Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):
-	* <big>\( sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </~~math~~>	+	* <big>$ sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A $</big>
-	* <big>\( inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </~~math~~>	+	* <big>$ inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A $</big>

	To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)\|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].		To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)\|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].

	Příklady:<br />		Příklady:<br />
-	Množina <big>\( \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </~~math~~> má v <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </~~math~~> infimum <big>\( \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </~~math~~> a supremum <big>\( \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </~~math~~><br />	+	Množina <big>$ \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! $</big> má v <big>$ \mathbb{P}(3) \,\! $</big> infimum <big>$ \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! $</big> a supremum <big>$ \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! $</big><br />
	[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost\|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />		[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost\|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />
-	<big>\( \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </~~math~~><br />	+	<big>$ \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! $</big><br />
-	má v <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </~~math~~> infimum <big>\( \{ 7 \} \,\! </~~math~~> a supremum <big>\( \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </~~math~~> .	+	má v <big>$ \mathbb{P}(\omega) \,\! $</big> infimum <big>$ \{ 7 \} \,\! $</big> a supremum <big>$ \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! $</big> .

	== Operace součinu a součtu ==		== Operace součinu a součtu ==
	Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':		Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':
-	* <big>\( a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! $</big>
-	* <big>\( a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! $</big>

	Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace\|komutativní]], [[Asociativní operace\|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace\|distributivní]]		Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace\|komutativní]], [[Asociativní operace\|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace\|distributivní]]
-	* <big>\( a + b = b + a \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + b = b + a \,\! $</big>
-	* <big>\( a \cdot b = b \cdot a \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot b = b \cdot a \,\! $</big>
-	* <big>\( a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + (b + c) = (a + b) + c \,\! $</big>
-	* <big>\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! $</big>
-	* <big>\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! $</big>

	Příklady:		Příklady:
-	* <big>\( \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! $</big>
-	* <big>\( \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! $</big>
-	* <big>\( \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! $</big>
-	* <big>\( \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! $</big>

	== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==		== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==
-	Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <big>\( 0 \,\! </~~math~~> a <big>\( 1 \,\! </~~math~~>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):	+	Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <big>$ 0 \,\! $</big> a <big>$ 1 \,\! $</big>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):
-	* <big>\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! $</big>
-	* <big>\( a + 0 = 0 + a = a \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + 0 = 0 + a = a \,\! $</big>
-	* <big>\( a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + 1 = 1 + a = 1 \,\! $</big>
-	* <big>\( a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! $</big>

	== Operace rozdílu ==		== Operace rozdílu ==
-	Označíme-li pro potenční algebru na množině <big>\( X \,\! </~~math~~> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />	+	Označíme-li pro potenční algebru na množině <big>$ X \,\! $</big> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />
-	<big>\( -a = X - a \,\! </~~math~~>	+	<big>$ -a = X - a \,\! $</big>
	získáváme [[Unární operace\|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:		získáváme [[Unární operace\|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:
-	* <big>\( a \cdot (-a) = 0 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a \cdot (-a) = 0 \,\! $</big>
-	* <big>\( a + (-a) = 1 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ a + (-a) = 1 \,\! $</big>
-	* <big>\( -(-a) = a \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ -(-a) = a \,\! $</big>
-	* <big>\( -0 = 1 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ -0 = 1 \,\! $</big>
-	* <big>\( -1 = 0 \,\! </~~math~~>	+	* <big>$ -1 = 0 \,\! $</big>

	Příklady:		Příklady:
-	* na <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </~~math~~> platí <big>\( - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </~~math~~>	+	* na <big>$ \mathbb{P}(3) \,\! $</big> platí <big>$ - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! $</big>
-	* na <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </~~math~~> platí <big>\( - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </~~math~~>	+	* na <big>$ \mathbb{P}(\omega) \,\! $</big> platí <big>$ - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! $</big>

	== Použití ==		== Použití ==

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:51Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 1:		Řádka 1:
-	'''Potenční algebra''' je [[Matematika\|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin\|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina\|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny\|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace\|relací]] <~~math~~> \subseteq \,\! </math> ("být [[podmnožina\|podmnožinou]]").	+	'''Potenční algebra''' je [[Matematika\|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin\|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina\|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny\|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace\|relací]] <big>\( \subseteq \,\! </math> ("být [[podmnožina\|podmnožinou]]").

	== Příklady ==		== Příklady ==
	V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:		V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:
-	* <~~math~~> \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] 3	+	* <big>\( \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] 3
-	* <~~math~~> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] <~~math~~> \omega \,\! </math> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo\|přirozených čísel]]	+	* <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] <big>\( \omega \,\! </math> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo\|přirozených čísel]]

	== Uspořádání inkluzí ==		== Uspořádání inkluzí ==
Řádka 10:		Řádka 10:

	Příklad:<br />		Příklad:<br />
-	Množina <~~math~~> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> nemá v <~~math~~> \mathbb{P}(3) \,\! </math> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <~~math~~> \subseteq \,\! </math> .	+	Množina <big>\( \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> nemá v <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </math> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <big>\( \subseteq \,\! </math> .


-	Naproti tomu má každá množina vzhledem k <~~math~~> \subseteq \,\! </math> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.	+	Naproti tomu má každá množina vzhledem k <big>\( \subseteq \,\! </math> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.
-	* <~~math~~> sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </math>	+	* <big>\( sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </math>
-	* <~~math~~> inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </math>	+	* <big>\( inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </math>
	Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):		Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):
-	* <~~math~~> sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </math>	+	* <big>\( sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </math>
-	* <~~math~~> inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </math>	+	* <big>\( inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </math>

	To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)\|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].		To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)\|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].

	Příklady:<br />		Příklady:<br />
-	Množina <~~math~~> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> má v <~~math~~> \mathbb{P}(3) \,\! </math> infimum <~~math~~> \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </math> a supremum <~~math~~> \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </math><br />	+	Množina <big>\( \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> má v <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </math> infimum <big>\( \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </math> a supremum <big>\( \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </math><br />
	[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost\|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />		[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost\|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />
-	<~~math~~> \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </math><br />	+	<big>\( \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </math><br />
-	má v <~~math~~> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> infimum <~~math~~> \{ 7 \} \,\! </math> a supremum <~~math~~> \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </math> .	+	má v <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> infimum <big>\( \{ 7 \} \,\! </math> a supremum <big>\( \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </math> .

	== Operace součinu a součtu ==		== Operace součinu a součtu ==
	Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':		Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':
-	* <~~math~~> a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>
-	* <~~math~~> a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>	+	* <big>\( a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>

	Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace\|komutativní]], [[Asociativní operace\|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace\|distributivní]]		Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace\|komutativní]], [[Asociativní operace\|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace\|distributivní]]
-	* <~~math~~> a + b = b + a \,\! </math>	+	* <big>\( a + b = b + a \,\! </math>
-	* <~~math~~> a \cdot b = b \cdot a \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot b = b \cdot a \,\! </math>
-	* <~~math~~> a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>	+	* <big>\( a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>
-	* <~~math~~> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </math>
-	* <~~math~~> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </math>

	Příklady:		Příklady:
-	* <~~math~~> \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>	+	* <big>\( \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>
-	* <~~math~~> \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>	+	* <big>\( \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>
-	* <~~math~~> \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>	+	* <big>\( \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>
-	* <~~math~~> \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>	+	* <big>\( \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>

	== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==		== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==
-	Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <~~math~~> 0 \,\! </math> a <~~math~~> 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):	+	Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <big>\( 0 \,\! </math> a <big>\( 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):
-	* <~~math~~> a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </math>
-	* <~~math~~> a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>	+	* <big>\( a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>
-	* <~~math~~> a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>	+	* <big>\( a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>
-	* <~~math~~> a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </math>

	== Operace rozdílu ==		== Operace rozdílu ==
-	Označíme-li pro potenční algebru na množině <~~math~~> X \,\! </math> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />	+	Označíme-li pro potenční algebru na množině <big>\( X \,\! </math> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />
-	<~~math~~> -a = X - a \,\! </math>	+	<big>\( -a = X - a \,\! </math>
	získáváme [[Unární operace\|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:		získáváme [[Unární operace\|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:
-	* <~~math~~> a \cdot (-a) = 0 \,\! </math>	+	* <big>\( a \cdot (-a) = 0 \,\! </math>
-	* <~~math~~> a + (-a) = 1 \,\! </math>	+	* <big>\( a + (-a) = 1 \,\! </math>
-	* <~~math~~> -(-a) = a \,\! </math>	+	* <big>\( -(-a) = a \,\! </math>
-	* <~~math~~> -0 = 1 \,\! </math>	+	* <big>\( -0 = 1 \,\! </math>
-	* <~~math~~> -1 = 0 \,\! </math>	+	* <big>\( -1 = 0 \,\! </math>

	Příklady:		Příklady:
-	* na <~~math~~> \mathbb{P}(3) \,\! </math> platí <~~math~~> - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </math>	+	* na <big>\( \mathbb{P}(3) \,\! </math> platí <big>\( - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </math>
-	* na <~~math~~> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> platí <~~math~~> - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </math>	+	* na <big>\( \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> platí <big>\( - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </math>

	== Použití ==		== Použití ==

Sysop: + Výrazné vylepšení

2019-03-03T14:03:30Z

+ Výrazné vylepšení

← Starší verze		Verze z 3. 3. 2019, 14:03
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Potenční algebra\|~~700}}~~	+	'''Potenční algebra''' je [[Matematika\|matematický]] pojem používaný v [[Teorie množin\|teorii množin]] pro strukturu prvků [[Potenční množina\|potenční množiny]] spolu s operacemi [[průnik]]u, [[sjednocení]], [[doplněk množiny\|doplňku]] a spolu s [[uspořádání]]m [[binární relace\|relací]] <math> \subseteq \,\! </math> ("být [[podmnožina\|podmnožinou]]").

		+	== Příklady ==
		+	V dalších částech tohoto článku budou jako příklady '''potenční algebry''' nejčastěji použity následující dvě množiny:
		+	* <math> \mathbb{P}(3) = \{0,\{ 0 \},\{1\},\{2\},\{0,1\},\{0,2\},\{1,2\},\{0,1,2\}\} \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] 3
		+	* <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> – potenční množina [[ordinální číslo\|ordinálního čísla]] <math> \omega \,\! </math> , tedy množina všech podmnožin množiny všech [[Přirozené číslo\|přirozených čísel]]
		+
		+	== Uspořádání inkluzí ==
		+	Uspořádání relací „být podmnožinou“ na potenční množině je příkladem uspořádání, kde každá množina (a to dokonce ani dvouprvková) nemusí mít [[největší prvek]], ani [[nejmenší prvek]]. Není to tedy [[lineární uspořádání]], ani [[Dobře uspořádaná množina\|dobré uspořádání]].
		+
		+	Příklad:<br />
		+	Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> nemá v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> největší, ani nejmenší prvek - její prvky jsou nesrovnatelné pomocí relace <math> \subseteq \,\! </math> .
		+
		+
		+	Naproti tomu má každá množina vzhledem k <math> \subseteq \,\! </math> své [[infimum]] a své [[supremum]] - jsou to průnik a sjednocení této množiny.
		+	* <math> sup_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cup b </math>
		+	* <math> inf_{\subseteq} \{ a,b \} = a \cap b </math>
		+	Obecněji (pro všechny množiny, nejen dvouprvkové):
		+	* <math> sup_{\subseteq}(A) = \bigcup A </math>
		+	* <math> inf_{\subseteq}(A) = \bigcap A </math>
		+
		+	To znamená, že (podle prvních dvou vztahů) je potenční algebra [[svaz (matematika)\|svaz]] a to dokonce (podle druhých dvou vztahů) [[úplný svaz]].
		+
		+	Příklady:<br />
		+	Množina <math> \{\{1\},\{0,2\}\} \,\! </math> má v <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> infimum <math> \{1\} \cap \{0,2\} = \emptyset \,\! </math> a supremum <math> \{1\} \cup \{0,2\} = \{ 0,1,2 \} \,\! </math><br />
		+	[[Nekonečná množina]] všech nekonečných [[Aritmetická posloupnost\|aritmetických posloupností]] s krokem větším než 1 a začínajících číslem 7<br />
		+	<math> \{ \{ 7,9,11,\ldots \}, \{7,10,13,\ldots \}, \{7,11,15,\ldots \}, \ldots \} \,\! </math><br />
		+	má v <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> infimum <math> \{ 7 \} \,\! </math> a supremum <math> \{ 7,9,10,11,12,13,14,\ldots \} \,\! </math> .
		+
		+	== Operace součinu a součtu ==
		+	Označíme-li výše uvedené infimum jako součin a supremum jako součet, dostáváme dvě algebraické operace na '''potenční algebře''':
		+	* <math> a \cdot b = inf_{\subseteq} \{a,b\} = a \cap b \,\! </math>
		+	* <math> a + b = sup_{\subseteq} \{a,b\} = a \cup b \,\! </math>
		+
		+	Snadno se dá ověřit, že tyto operace splňují vše, co od algebraického součtu a součinu běžně očekáváme – jsou [[Komutativní operace\|komutativní]], [[Asociativní operace\|asociativní]], navíc je součin vůči součtu [[Distributivní operace\|distributivní]]
		+	* <math> a + b = b + a \,\! </math>
		+	* <math> a \cdot b = b \cdot a \,\! </math>
		+	* <math> a + (b + c) = (a + b) + c \,\! </math>
		+	* <math> a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c \,\! </math>
		+	* <math> a \cdot (b + c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) \,\! </math>
		+
		+	Příklady:
		+	* <math> \{0,1\} + \{1,2\} = \{0,1\} \cup \{1,2\} = \{0,1,2\} \,\! </math>
		+	* <math> \{0,1\} \cdot \{1,2\} = \{0,1\} \cap \{1,2\} = \{1\} \,\! </math>
		+	* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} + \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cup \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \,\! </math>
		+	* <math> \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cdot \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,6,8,10,\ldots \} \cap \{2,4,8,16,32,\ldots\} = \{2,4,8,16,32,\ldots\} \,\! </math>
		+
		+	== Neutrální prvky operací součtu a součinu ==
		+	Obě operace (součin i součet) mají v '''potenční algebře''' neutrální prvek - pro součet je to [[prázdná množina]], pro součin je to celá množina, na jejíž potenční algebře se pohybujeme, Tak, jak je zvykem u běžného součtu a součinu, jsou tyto neutrální prvky označovány symboly <math> 0 \,\! </math> a <math> 1 \,\! </math>. Platí pro ně následující vztahy (které se opět dají snadno odvodit - stačí dosadit si za součin průnik a za součet sjednocení):
		+	* <math> a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \,\! </math>
		+	* <math> a + 0 = 0 + a = a \,\! </math>
		+	* <math> a + 1 = 1 + a = 1 \,\! </math>
		+	* <math> a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \,\! </math>
		+
		+	== Operace rozdílu ==
		+	Označíme-li pro potenční algebru na množině <math> X \,\! </math> jako opačný prvek množiny její množinový doplněk do X, tj. <br />
		+	<math> -a = X - a \,\! </math>
		+	získáváme [[Unární operace\|unární operaci]] nápadně podobnou logické negaci:
		+	* <math> a \cdot (-a) = 0 \,\! </math>
		+	* <math> a + (-a) = 1 \,\! </math>
		+	* <math> -(-a) = a \,\! </math>
		+	* <math> -0 = 1 \,\! </math>
		+	* <math> -1 = 0 \,\! </math>
		+
		+	Příklady:
		+	* na <math> \mathbb{P}(3) \,\! </math> platí <math> - \{1 \} = \{0,2 \} \,\! </math>
		+	* na <math> \mathbb{P}(\omega) \,\! </math> platí <math> - \{0,2,4,6,\ldots \} = \{ 1,3,5,\ldots \} \,\! </math>
		+
		+	== Použití ==
		+	Potenční algebra je prostředím pro velkou část úloh, kterými se zabývá problematika [[filtr (matematika)\|filtrů]] a [[ultrafiltr]]ů a vlastně celá [[nekonečná kombinatorika]]. [[Vnoření]] množiny [[Racionální číslo\|racionálních čísel]] do vlastní potenční množiny a následný výběr vhodných prvků potenční algebry je používán při konstrukci množiny [[Reálné číslo\|reálných čísel]] pomocí [[Dedekindův řez\|Dedekindových řezů]].
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Svaz (matematika)\|Svaz]]
		+	* [[Úplný svaz]]
		+	* [[Filtr (matematika)\|Filtr]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Teorie množin]]		[[Kategorie:Teorie množin]]
	[[Kategorie:Algebraické struktury]]		[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Sysop: 1 revizi

2013-09-20T12:58:59Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 20. 9. 2013, 12:58

Sysop: 1 revizi

2012-10-23T08:20:31Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Potenční algebra|700}}

[[Kategorie:Teorie množin]]
[[Kategorie:Algebraické struktury]]

Potenční algebra - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“