Průnik - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\and“ textem „\land“

2022-08-15T17:04:52Z

Nahrazení textu „\and“ textem „\land“

← Starší verze		Verze z 15. 8. 2022, 17:04
Řádka 4:		Řádka 4:
	== Formální definice ==		== Formální definice ==

-	Pro všechna ''x'' platí, že <big>$x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \~~and~~ \left (x \in B \right ) $</big>.	+	Pro všechna ''x'' platí, že <big>$x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \land \left (x \in B \right ) $</big>.

	V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big>$n$</big> množin <big>$A_1, A_2, ..., A_n$</big> lze zkráceně psát		V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big>$n$</big> množin <big>$A_1, A_2, ..., A_n$</big> lze zkráceně psát

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:20Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:57Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 4:		Řádka 4:
	== Formální definice ==		== Formální definice ==

-	Pro všechna ''x'' platí, že <~~math~~>x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \and \left (x \in B \right ) </math>.	+	Pro všechna ''x'' platí, že <big>\(x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \and \left (x \in B \right ) </math>.

-	V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <~~math~~>n</math> množin <~~math~~>A_1, A_2, ..., A_n</math> lze zkráceně psát	+	V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big>\(n</math> množin <big>\(A_1, A_2, ..., A_n</math> lze zkráceně psát

-	<~~math~~>A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}</math>	+	<big>\(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}</math>


Řádka 19:		Řádka 19:
	Průnik je [[Komutativita\|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.		Průnik je [[Komutativita\|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.

-	[[Neutrální prvek\|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <~~math~~>A \cap I = A</math>.	+	[[Neutrální prvek\|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <big>\(A \cap I = A</math>.

-	Výsledkem průniku množiny <~~math~~>A</math> s [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <~~math~~>A \cap \emptyset = \emptyset</math>.	+	Výsledkem průniku množiny <big>\(A</math> s [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <big>\(A \cap \emptyset = \emptyset</math>.

-	Je-li výsledkem průniku dvou množin <~~math~~>A,B</math> prázdná množina, pak platí <~~math~~>A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A</math>, kde <~~math~~>-A</math> je [[Doplněk množiny\|dopňkem množiny]] <~~math~~>A</math>.	+	Je-li výsledkem průniku dvou množin <big>\(A,B</math> prázdná množina, pak platí <big>\(A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A</math>, kde <big>\(-A</math> je [[Doplněk množiny\|dopňkem množiny]] <big>\(A</math>.

	Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka\|logické spojce]] ''a zároveň''.		Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka\|logické spojce]] ''a zároveň''.
Řádka 29:		Řádka 29:
	[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: \|''A'' ∩ ''B''\| ≤ [[minimum\|min]] { \|''A''\|, \|''B''\| }.		[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: \|''A'' ∩ ''B''\| ≤ [[minimum\|min]] { \|''A''\|, \|''B''\| }.

-	Průnik je [[idempotence\|idempotentní]], tzn. platí <~~math~~>A \cap A = A</math>.	+	Průnik je [[idempotence\|idempotentní]], tzn. platí <big>\(A \cap A = A</math>.

	== Související články ==		== Související články ==

Sysop: 1 revizi

2013-09-03T13:24:00Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 3. 9. 2013, 13:24

Sysop: 1 revizi

2011-04-28T15:26:25Z

1 revizi

Nová stránka

[[Soubor:Intersection_of_two_sets_A_and_B.png|thumb|right|200px|Průnik množin A a B]]
V [[Matematika|matematice]] se jako '''průnik''' dvou nebo více [[Množina|množin]] označuje taková množina, která obsahuje pouze ty prvky, které se nalézají ve všech těchto množinách a obsahuje všechny takové prvky. Průnik množin ''A'' a ''B'' se označuje symbolem ''A'' ∩ ''B''.

== Formální definice ==

Pro všechna ''x'' platí, že <math>x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \and \left (x \in B \right ) </math>.

V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <math>n</math> množin <math>A_1, A_2, ..., A_n</math> lze zkráceně psát

<math>A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}</math>

Příklad: Průnikem množin { 1, 2, 5, 6, 8, 11 } a { 2, 3, 4, 6, 8, 9 } je množina { 2, 6, 8 }. Průnikem množin všech prvočísel { 2, 3, 5, 7, 11, … } a množiny [[Sudé číslo|sudých]] [[Kladné číslo|kladných čísel]] { 2, 4, 6, 8, … } je jednoprvková množina { 2 } (jelikož 2 je jediné sudé prvočíslo).

== Vlastnosti ==

Operace průniku dvou množin (jakožto [[binární operace]]) je [[Asociativita|asociativní]], tzn. (''A'' ∩ ''B'') ∩ ''C'' = ''A'' ∩ (''B'' ∩ ''C''). Současný průnik všech tří množin – ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' – je oběma těmto výrazům roven, proto je možno psát průnik libovolného množství množin bez použití závorek.

Průnik je [[Komutativita|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.

[[Neutrální prvek|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <math>A \cap I = A</math>.

Výsledkem průniku množiny <math>A</math> s [[prázdná množina|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <math>A \cap \emptyset = \emptyset</math>.

Je-li výsledkem průniku dvou množin <math>A,B</math> prázdná množina, pak platí <math>A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A</math>, kde <math>-A</math> je [[Doplněk množiny|dopňkem množiny]] <math>A</math>.

Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka|logické spojce]] ''a zároveň''.

[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: |''A'' ∩ ''B''| ≤ [[minimum|min]] { |''A''|, |''B''| }.

Průnik je [[idempotence|idempotentní]], tzn. platí <math>A \cap A = A</math>.

== Související články ==
* [[Množinové operace]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Teorie množin]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 4:		Řádka 4:
	== Formální definice ==		== Formální definice ==

-	Pro všechna ''x'' platí, že <big>\(x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \and \left (x \in B \right ) </~~math~~>.	+	Pro všechna ''x'' platí, že <big>\(x \in \left ( A \cap B \right ) \equiv \left ( x \in A \right ) \and \left (x \in B \right ) \)</big>.

-	V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big>\(n</~~math~~> množin <big>\(A_1, A_2, ..., A_n</~~math~~> lze zkráceně psát	+	V případě, že se jedná o průnik více množin, je možno jej chápat jako několik postupných průniků (viz ''asociativita'' níže), nebo tak, že prvek je součástí průniku právě tehdy, je-li prvkem všech množin. Obě tyto možnosti jsou však ekvivalentní. Např. pro průnik tří množin platí, že ''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B'' ∩ ''C'' iff ''x'' ∈ ''A'' a zároveň ''x'' ∈ ''B'' a zároveň ''x'' ∈ ''C''. Průnik <big>\(n\)</big> množin <big>\(A_1, A_2, ..., A_n\)</big> lze zkráceně psát

-	<big>\(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}</~~math~~>	+	<big>\(A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_2 = \bigcap_{i=_1}^n {A_i}\)</big>


Řádka 19:		Řádka 19:
	Průnik je [[Komutativita\|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.		Průnik je [[Komutativita\|komutativní]] operace, platí tedy, že ''A'' ∩ ''B'' = ''B'' ∩ ''A''.

-	[[Neutrální prvek\|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <big>\(A \cap I = A</~~math~~>.	+	[[Neutrální prvek\|Neutrálním prvkem]] pro operaci průniku je [[univerzum]], tzn. množina ''všech'' prvků, které v daném kontextu uvažujeme. Platí tedy <big>\(A \cap I = A\)</big>.

-	Výsledkem průniku množiny <big>\(A</~~math~~> s [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <big>\(A \cap \emptyset = \emptyset</~~math~~>.	+	Výsledkem průniku množiny <big>\(A\)</big> s [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] je opět prázdná množina, tzn. <big>\(A \cap \emptyset = \emptyset\)</big>.

-	Je-li výsledkem průniku dvou množin <big>\(A,B</~~math~~> prázdná množina, pak platí <big>\(A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A</~~math~~>, kde <big>\(-A</~~math~~> je [[Doplněk množiny\|dopňkem množiny]] <big>\(A</~~math~~>.	+	Je-li výsledkem průniku dvou množin <big>\(A,B\)</big> prázdná množina, pak platí <big>\(A \cap B \leftrightarrow B \subseteq -A\)</big>, kde <big>\(-A\)</big> je [[Doplněk množiny\|dopňkem množiny]] <big>\(A\)</big>.

	Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka\|logické spojce]] ''a zároveň''.		Vzhledem k definici průniku vyplývají všechny tyto skutečnosti z obdobných skutečností o [[Logická spojka\|logické spojce]] ''a zároveň''.
Řádka 29:		Řádka 29:
	[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: \|''A'' ∩ ''B''\| ≤ [[minimum\|min]] { \|''A''\|, \|''B''\| }.		[[Mohutnost]] průniku dvou množin je nejvýše rovna mohutnosti menší z nich: \|''A'' ∩ ''B''\| ≤ [[minimum\|min]] { \|''A''\|, \|''B''\| }.

-	Průnik je [[idempotence\|idempotentní]], tzn. platí <big>\(A \cap A = A</~~math~~>.	+	Průnik je [[idempotence\|idempotentní]], tzn. platí <big>\(A \cap A = A\)</big>.

	== Související články ==		== Související články ==

Průnik - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „\and“ textem „\land“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“