Prvočíselná věta - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:19Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 6:		Řádka 6:
	Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem		Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem

-	: <big>\(\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,</~~math~~>	+	: <big>$\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,$</big>

	Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem		Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem

-	:<big>\(\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.</~~math~~>	+	:<big>$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.$</big>

	Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza\|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.		Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza\|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.
Řádka 20:		Řádka 20:
	\| jméno = J.		\| jméno = J.
	\| příjmení = Hadamard		\| příjmení = Hadamard
-	\| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <big>\(\zeta (s)</~~math~~> et ses conséquences arithmétiques	+	\| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <big>$\zeta (s)$</big> et ses conséquences arithmétiques
	\| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France		\| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France
	\| rok = 1896		\| rok = 1896

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:49:57Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:49
Řádka 6:		Řádka 6:
	Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem		Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem

-	: <~~math~~>\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,</math>	+	: <big>\(\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,</math>

	Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem		Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem

-	:<~~math~~>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.</math>	+	:<big>\(\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.</math>

	Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza\|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.		Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza\|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.
Řádka 20:		Řádka 20:
	\| jméno = J.		\| jméno = J.
	\| příjmení = Hadamard		\| příjmení = Hadamard
-	\| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <~~math~~>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques	+	\| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <big>\(\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques
	\| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France		\| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France
	\| rok = 1896		\| rok = 1896

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-08-07T07:39:46Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 7. 8. 2014, 07:39
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Prvočíselná věta\|~~700}}~~	+	'''Prvočíselná věta''' je důležitý poznatek z oboru [[teorie čísel]], který hrubě popisuje rozmístění [[prvočíslo\|prvočísel]] mezi [[přirozené číslo\|přirozenými čísly]].

		+	Zhruba se dá prvočíselná věta vyjádřit tak, že když vybereme náhodně číslo blízko nějakého velkého čísla ''N'', pak pravděpodobnost, že naše číslo bude prvočíslem, je přibližně 1/ln(''N''), kde ln(''N'') značí [[logaritmus\|přirozený logaritmus]] ''N''. Např. kolem ''N'' = 10,000 je přibližně jedno z devíti čísel prvočíslem, zatímco poblíž např. ''N'' = 1,000,000,000 je pouze jedno z 21 čísel prvočíslem. Jinými slovy můžeme říct, že průměrná mezera mezi dvěma prvočísly blízko ''N'' je zhruba ln(''N'').
		+
		+	== Vyjádření věty ==
		+	Nechť π(''x'') je [[prvočíselná funkce]], která nám udává počet prvočísel menších nebo rovných ''x'' pro jakékoliv reálné ''x''. Např. π(10) = 4 neboť existují právě čtyři prvočísla (2, 3, 5 a 7) menší nebo rovna 10. Prvočíselná věta poté říká, že limita podílu funkcí π(''x'') a ''x'' / ln(''x''), kde ''x'' jde k nekonečnu, je 1, což vyjadřujeme vzorcem
		+
		+	: <math>\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)}{x/\ln(x)}=1,</math>
		+
		+	Pomocí asymptotické notace můžeme totéž vyjádřit také zápisem
		+
		+	:<math>\pi(x)\sim\frac{x}{\ln x}.</math>
		+
		+	Podstatné je, že vzorec neříká nic o rozdílu těchto dvou funkcí, když x jde k nekonečnu. Chování tohoto rozdílu je ve skutečnosti velmi komplikované a je spojeno s jedním z nejdůležitějších nevyřešených problému matematiky: [[Riemannova hypotéza\|Riemannovou domněnkou]]. Věta namísto toho vyjadřuje, že výraz ''x''/ln(''x'') aproximuje π(''x'') v tom smyslu, že [[chyba aproximace]] se blíží k nule, když se ''x'' blíží k nekonečnu.
		+
		+	Ekvivalentním tvrzením je taktéž to, že ''n''-té prvočíslo ''p''<sub>''n''</sub> je přibližně rovno ''n'' ln(''n''); opět s [[chyba aproximace\|chybou aproximace]] blížící se nule, když se ''n'' blíží nekonečnu.
		+
		+	== Stručná historie ==
		+	Konkrétnější úvahy nad asymptotickým vyjádřením četnosti prvočísel se nacházejí již u [[Carl Friedrich Gauss\|Carla Friedricha Gausse]] na přelomu 18. a 19. století. Během 19. století se pokusili PČV dokázat [[P. L. Čebyšev]] a [[Bernhard Riemann\|G. F. B. Riemann]]. Avšak první důkaz podali nezávisle na sobě francouzský matematik [[Jacques Hadamard]] <ref>{{citace monografie
		+	\| jméno = J.
		+	\| příjmení = Hadamard
		+	\| titul = Sur la distribution des zéros de la fonction <math>\zeta (s)</math> et ses conséquences arithmétiques
		+	\| vydavatel = Bulletin Société Mathématique de France
		+	\| rok = 1896
		+	}}</ref> a belgický matematik [[Charles Jean de la Vallée-Poussin]] <ref>{{citace monografie
		+	\| jméno = Ch. J.
		+	\| příjmení = de la Vallée-Poussin
		+	\| titul = Recherches analytiques la théorie des nombres premiers
		+	\| vydavatel = Ann. Soc. scient.
		+	\| místo = Brusel
		+	\| rok = 1896
		+	}}</ref> v roce 1896 s použitím složitých metod komplexní analýzy. Důkazem prvočíselné věty se poté zabývali další matematici v průběhu 20. století, kteří našli několik dalších důkazů. O mnoho jednodušší důkaz
		+	<ref>{{citace monografie
		+	\| jméno = E.
		+	\| příjmení = Landau
		+	\| titul = Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen
		+	\| vydavatel = Chelsea Publishing Company
		+	\| místo = New York
		+	\| rok = 1974
		+	}}</ref> podal německý matematik [[Edmund Landau]] v roce [[1909]] a v roce [[1949]] objevil elementární<!-- Elementární zde neznamená jednoduchý, ale že nebyl proveden pomocí metod komplexní analýzy. --> důkaz<ref>{{citace monografie
		+	\| jméno = K. E.
		+	\| příjmení = Aubert
		+	\| jméno2 = E.
		+	\| příjmení2 = Bombieri
		+	\| jméno3 = D.
		+	\| příjmení3 = Goldfeld
		+	\| titul = Number Theory, Trace Formulas, and Discrete Groups
		+	\| vydavatel = Academic Press
		+	\| místo = Boston
		+	\| rok = 1989
		+	}}</ref> nejprve norský matematik [[Atle Selberg]] a poté [[Paul Erdös]], který lehce upravil některé Selbergovy myšlenky ke konstrukci vlastního důkazu [http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC1063042/pdf/pnas01544-0034.pdf].
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Prvočíselná funkce]]
		+	== Reference ==
		+	<references />
		+	== Externí odkazy ==
		+	* {{MathWorld\|id=PrimeNumberTheorem}}
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Prvočísla]]		[[Kategorie:Prvočísla]]
	[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]		[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
	[[Kategorie:Teorie čísel]]		[[Kategorie:Teorie čísel]]

Sysop: 1 revizi

2013-09-17T15:10:55Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 17. 9. 2013, 15:10

Sysop: 1 revizi

2012-11-19T00:07:02Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Prvočíselná věta|700}}

[[Kategorie:Prvočísla]]
[[Kategorie:Matematické věty a důkazy]]
[[Kategorie:Teorie čísel]]

Prvočíselná věta - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“