Sysop: + NEW

2022-08-29T09:09:16Z

+ NEW

Nová stránka

'''Rovnice kontinuity''' je ve [[fyzika|fyzice]] velmi důležitou [[rovnice|rovnicí]] vyjadřující zákon zachování nějaké veličiny pomocí jejího prostoročasového rozložení (zpravidla v diferenciálním tvaru). Příkladem je ''rovnice kontinuity'' v popisu [[ustálené proudění|ustáleného proudění kapaliny]], [[hustota elektrického proudu|hustoty elektrického proudu]], v [[teorie relativity|teorii relativity]] rovnice kontinuity pro [[čtyřproud]], nebo v [[kvantová mechanika|kvantové mechanice]], kde ''rovnice kontinuity'' vyjadřuje pomocí [[amplituda pravděpodobnosti|amplitudy pravděpodobnosti]] zachování celkové pravděpodobnosti výskytu částice.

Pod pojmem '''rovnice kontinuity''' se rovněž často rozumí zjednodušený tvar rovnice kontinuity pro [[ideální kapalina|ideální kapalinu]] protékající za [[ustálené proudění|ustáleného proudění]] uzavřenou trubicí obecně proměnlivého průřezu ''S''.

== Tvary rovnice kontinuity ==
Rovnici kontinuity lze zapsat v obecném diferenciálním tvaru:
<big>\( {\partial \rho \over \partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = s \)</big>  , kde
* <big>\( \rho \,\)</big> je prostorová hustota zachovávající se [[fyzikální veličina|veličiny]],
* <big>\( {\partial \over \partial t} \,\)</big> je [[derivace]] podle [[čas]]u
* <big>\( \mathbf{j} \,\)</big> je veličina vyjadřující hustotu toku (množství prošlé za jednotku času jednotkovou plochou kolmou ke směru průchodu) zachovávající se veličiny (je-li zachovávající se veličina [[skalár]]ní, je její tok [[vektor]])
* <big>\( \nabla \cdot \mathbf{j} \,\)</big> je [[divergence]] této hustoty toku
* <big>\( s \,\)</big> je zdrojový člen, vyjadřující rychlost přibývání zachovávající se veličiny v jednotce objemu procesy jiné fyzikální podstaty nebo ze zdrojů mimo studovaný systém.

V relativistické fyzice se pak levá strana zápisu zjednoduší na (čtyř)divergenci čtyřvektoru (nebo čtyřtenzoru vyššího řádu, není-li zachovávající se veličina skalár): 
<big>\( \partial_{\mu} J^{\mu} = S\)</big>, kde
* <big>\( J^{\mu} \,\)</big> je čtyřvektor (<big>\(\scriptstyle \mu = 0,1,2,3 \)</big>) odpovídající hustotě toku zachovávající se veličiny,
* <big>\( S \,\)</big> je relativistická obdoba zdrojového členu <big>\( s \,\)</big> (složky relativistického čtyřvektoru hustoty toku a relativistický zdrojový člen se od "nerelativistických" obdob mohou lišit konstantou, zpravidla mocninou [[rychlost světla|rychlosti světla ve vakuu]]).

Následující tabulka uvádí stručný přehled tvarů rovnice kontinuity v různých aplikacích.
{| border="1" cellpadding="8" cellspacing="0"
|- style="background-color: #aaeecc;"
! Zachovávající se veličina
! Běžný tvar rovnice kontinuity
|-
| [[hmotnost]] [[tekutina|tekutiny]]:
| <big>\( \nabla \cdot \left(\rho_{\mathrm{tek.}}\mathbf{v}\right) + {\partial \rho_\mathrm{tek.} \over \partial t} = 0 \)</big>
|-
| [[hybnost]] [[tekutina|tekutiny]]:
| <big>\( \nabla \cdot (\rho_{\mathrm{tek.}} v_i \mathbf{v}) +\frac{\partial}{\partial t}(\rho_{\mathrm{tek.}} v_i) + F_i = 0\)</big>
|-
| [[elektrický náboj]]:
| <big>\( \nabla \cdot \mathbf{j} + {\partial \rho_\mathrm{el.} \over \partial t} = 0 \)</big>
|-
|   ''nebo v zápise pro [[čtyřproud]]'':
| <big>\(\partial_{\mu} J^{\mu}=\partial_{\mu} {\left(\rho_0 U^{\mu}\right)} = 0\)</big>
|-
| [[energie]] [[elektromagnetické pole|elektromagnetického pole]]:
| <big>\( \nabla \cdot \mathbf{S} + {\partial u \over \partial t} + \frac{\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}}{\sigma} = \mathbf{E}\cdot\mathbf{j} \)</big>
|-
| [[hybnost elektromagnetického pole]]:
| <big>\(\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{S}}{\partial t}+\mathrm{div}\, \boldsymbol{\sigma}=-\mathbf{f},\)</big>
|-
| pravděpodobnost výskytu částice:
| <big>\(\frac{\hbar}{2 m i} \nabla \cdot \left(\psi^{*} \nabla \psi - \psi \nabla \psi^{*} \right) + {\partial {|\psi|^2} \over \partial t} = 0 \)</big>
|}

Zde <big>\(\rho_{el}\)</big> značí [[hustota|hustotu]] [[elektrický náboj|elektrického náboje]], <big>\(\rho_{tek.}\)</big> hustotu tekutiny, <big>\(\mathbf{j}\)</big> [[plošná hustota|plošnou hustotu]] [[elektrický proud|elektrického proudu]], <big>\(u = (\mathbf{E}\cdot\mathbf{D}+\mathbf{B}\cdot\mathbf{H})/2\)</big> hustotu energie elektromagnetického pole, <big>\(\mathbf{S}\)</big> [[Poyntingův vektor]], <big>\(\mathbf{f}\)</big> hustota [[síla|síly]], <big>\(\boldsymbol{\sigma}\)</big> [[Maxwellův tenzor]] a <big>\(\psi\)</big> [[vlnová funkce|vlnovou funkci]], která vyjadřuje hustotu [[amplituda pravděpodobnosti|amplitudy pravděpodobnosti]].

== Odvození rovnice kontinuity pro elektromagnetismus==

'''Rovnici kontinuity''' lze jednoduše odvodit pomocí [[gaussova věta|Gaussovy věty]]. Předpokládáme, že se daná veličina (v našem případě uvažujme např. [[elektrický náboj]]) zachovává, tedy v daném objemu platí

:<big>\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \oint_{\partial \Omega} \mathbf{j} \cdot \mathrm{d}\mathbf{S}, \)</big>

tedy že časová změna celkového [[elektrický náboj|náboje]] v objemu <big>\(\Omega\)</big> je rovna vytečenému (proto znaménko minus) [[elektrický proud|elektrickému proudu]] přes plochu objemu <big>\(\Omega\)</big> značeného <big>\(\partial \Omega\)</big>. Ten odpovídá [[integrál]]u na pravé straně [[rovnice]].

Nyní aplikujeme na plošný integrál na pravé straně rovnice [[gaussova věta|Gaussovu větu]]

:<big>\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\Omega \rho\ \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V}. \)</big>

V dalším kroku uvážíme, že za předpokladu, že se oblast <big>\(\Omega\)</big> nemění, lze prohodit [[totální derivace|totální časovou derivaci]] s integrálem a obdržet

:<big>\(\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t} = \int_\Omega \frac{\partial\rho}{\partial t} \mathrm{d}V = - \int_{\Omega} \nabla \cdot \mathbf{j}\ \mathrm{d}{V} \implies \int_\Omega \left(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j}\right)\mathrm{d}V = 0. \)</big>

Protože tento vztah musí platit pro každou uvažovanou oblast <big>\(\Omega\)</big>, může být rovnice splněna jen tehdy, vynuluje-li se vnitřek objemového integrálu, tedy

:<big>\(\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0. \)</big>

== Odvození rovnice kontinuity pro kvantovou mechaniku ==

Uvažujeme-li reálný potenciál <big>\(V\)</big> a hamiltonián tvaru <big>\(\hat{H} = -\frac{\hbar}{2m}\Delta + V\)</big> pak časová Shcrödingerová rovnice a k ní komplexně sdružená mají tvar:

:<big>\( \begin{align} & -\frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi + V\psi = i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} , \\& - \frac{\hbar^2}{2m}\Delta \psi^{*} + V\psi^{*} = - i\hbar \frac{\partial \psi^{*}}{\partial t} .\\ \end{align}\)</big>

Vynásobením první rovnice <big>\(\psi^*\)</big> a druhou rovnici <big>\(\psi\)</big> dostáváme:

:<big>\( \begin{align} & \psi^*\frac{\partial \psi}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar } \left ( -\frac{\hbar^2\psi^*}{2m}\Delta \psi + V\psi^*\psi \right ), \\& \psi \frac{\partial \psi^*}{\partial t} = - \frac{1}{i\hbar } \left ( - \frac{\hbar^2\psi}{2m}\Delta \psi^* + V\psi\psi^* \right ).\\ \end{align}\)</big>

Dále zavedeme hustotu pravděpodobnosti <big>\(\rho = \vert\psi\vert^2\)</big>. Časová derivace hustoty pravděpodobnosti je rovna

:<big>\( \frac{\partial \rho}{\partial t} = \frac{\partial |\psi |^2}{\partial t } = \frac{\partial}{\partial t} \left ( \psi^{*} \psi \right ) = \psi^{*} \frac{\partial \psi}{\partial t} + \psi \frac{\partial\psi^{*}}{\partial t} .\)</big>

Dosazením do této rovnice se potenciál odečte a získáme tvar:

:<big>\( \frac{\partial \rho}{\partial t} = - \frac{\hbar}{2mi}\left( \psi^* \Delta \psi - \psi \Delta \psi^* \right) \)</big>

Rovnici kontinuity pak můžeme zapsat pomocí [[hustota toku pravděpodobnosti|hustoty toku pravděpodobnosti]] <big>\(\mathbf{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right)\)</big> ve tvaru:

:<big>\( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \textrm{div} \left(\frac{\hbar}{2mi}\left( \psi^* \nabla \psi - \psi \nabla \psi^* \right)\right) = 0.\)</big>

== Rovnice kontinuity ve středoškolské fyzice ==

'''Rovnice kontinuity''' je [[rovnice]], která platí pro [[ustálené proudění]] [[Ideální kapalina|ideální kapaliny]] v uzavřené trubici a popisuje vztah mezi [[rychlost]]í [[proudění]] ''v'' a [[obsah]]em průřezu ''S'' v jednom místě trubice:
:<big>\(Q_V = S v = \mbox{konst.}\,\)</big>

Z rovnice kontinuity plyne:
:<big>\(\frac{v_1}{v_2} = \frac{S_2}{S_1}\)</big>,
neboli poměr rychlostí ''v1'' a ''v2'' proudění ve dvou místech je převrácený k poměru obsahů průřezů ''S1'' a ''S2'' trubice v těchto místech. Čím ''užší'' trubice, tím ''rychlejší'' proudění.

Platnost rovnice kontinuity vychází ze stejného [[Objemový průtok|průtoku]] ve všech místech trubice (za podmínky ustáleného proudění, tj. neměnného v čase) a vyjadřuje tak zákon zachování objemu kapaliny.

Tyto vztahy lze zobecnit pro (stlačitelné) [[Tekutina|tekutiny]], např. plyny. U stlačitelné tekutiny se obecně mění hustota, a proto se nezachovává průtok, ale [[hmotnostní tok]].

Rovnici kontinuity lze pak zapsat jako
:<big>\(Q_m = Q_V \rho = Sv \rho = \mbox{konst} \,\)</big>,
což znamená, že při [[ustálené proudění|ustáleném proudění]] tekutiny je hmotnostní tok v libovolném průřezu [[proudová trubice|proudové trubice]] [[konstanta|konstantní]]. Zde rovnice vyjadřuje [[zákon zachování hmotnosti]].

== Reference ==
<references />
*{{Citace monografie
| příjmení1 = Štoll
| jméno1 = Ivan
| příjmení2 = Sedlák
| jméno2 = Bedřich
| titul = Elektřina a magnetismus
| vydavatel = Karolinum
| místo = Praha
| rok = 2013
| isbn = 978-80-246-2198-2
}}
*{{Citace monografie
| příjmení1 = Skála
| jméno1 = Lubomír
| titul = Úvod do kvantové mechaniky
| vydavatel = Karolinum
| místo = Praha
| rok = 2012
| isbn = 978-80-246-2022-0
}}
*{{Citace monografie
| příjmení1 = Richterek
| jméno1 = Lukáš
| titul = Teorie relativity a astronomie : studijní modul
| vydavatel = Univerzita Palackého v Olomouci
| místo = Olomouc
| rok = 2013
| isbn = 978-80-244-3335-6
}}
*{{Citace monografie
| příjmení1 = Jex
| jméno1 = Igor
| příjmení2 = Štoll
| jméno2 = Ivan
| příjmení3 = Tolar
| jméno3 = Jiří
| titul = Klasická teoretická fyzika
| vydavatel = Karolinum
| místo = Praha
| rok = 2017
| isbn = 978-80-246-3545-3
}}
*{{Citace monografie
| příjmení1 = Svoboda
| jméno1 = Emanuel
| titul = Přehled středoškolské fyziky
| vydavatel = Prometheus
| místo = Praha
| rok = 2005
| isbn = 80-7196-116-7
}}

== Související články ==
* [[Mechanika]]
* [[Mechanika tekutin]]
* [[Bernoulliho rovnice]]

{{Článek z Wikipedie}}
[[Kategorie:Mechanika tekutin]]
[[Kategorie:Elektromagnetismus]]
[[Kategorie:Kvantová mechanika]]

Rovnice kontinuity - Historie editací

Sysop: + NEW