http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?action=history&feed=atom&title=Sigma_algebraSigma algebra - Historie editací2026-05-07T00:57:46ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.16.5http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?title=Sigma_algebra&diff=2637786&oldid=prevSysop: + NEW2023-07-11T18:01:02Z<p>+ NEW</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>'''<big>\(\sigma\)</big>-algebra''' ('''sigma-algebra''', též <big>\(\sigma\)</big>-těleso) je v [[matematika|matematice]] libovolný neprázdný [[systém množin]], který je uzavřený na [[spočetná množina|spočetné]] [[sjednocení]] a na [[rozdíl množin|rozdíl]] dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. <br />
<br />
Prefix <big>\(\sigma\)</big> v názvu vyjadřuje uzavřenost na [[Spočetná množina|''spočetné'']] sjednocení.<br />
<br />
== Formální definice ==<br />
Systém <big>\(\mathcal{A} \)</big> podmnožin množiny <big>\(\mathcal{\Omega}\)</big> nazveme '''<big>\(\sigma\)</big>-algebrou''', jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.<br />
<br />
# <big>\(\emptyset\in\mathcal{A}\)</big><br />
# jestliže <big>\((\forall n \in \mathbb{N}) (M_{n} \in \mathcal{A})\)</big>, pak <big>\(\bigcup_{n=1}^{\infty} M_{n} \in \mathcal{A}\)</big><br />
# jestliže <big>\(M \in \mathcal{A}\)</big>, pak <big>\(\Omega \setminus M \in \mathcal{A}\)</big><br />
<br />
== Další vlastnosti ==<br />
* <big>\(\sigma\)</big>-algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků: <big>\(\left(\bigcup_{M \in \mathcal{A}} M\right) \in \mathcal{A}\)</big>; dostaneme dosazením prázdné množiny za <big>\(M\)</big> v poslední části definice<br />
* <big>\(\sigma\)</big>-algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků: jestliže <big>\((\forall n \in \mathbb{N}) (A_{n} \in \mathcal{R})\)</big>, pak <big>\(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in \mathcal{R}\)</big><br />
<br />
== Použití ==<br />
Koncept <big>\(\sigma\)</big>-algebry je důležitý především v [[teorie míry|teorii míry]] a v [[teorie pravděpodobnosti|teorii pravděpodobnosti]]. ''[[Míra (matematika)|Míra]]'' je libovolná nezáporná množinová funkce, která je [[Míra (matematika)|<big>\(\sigma\)</big>-aditivní]] a má na [[prázdná množina|prázdné množině]] hodnotu 0. ''[[Pravděpodobnost]]'' je míra, která má na univerzální množině <big>\(\Omega\)</big> hodnotu 1.<br />
<br />
== Měřitelná množina ==<br />
V [[teorie míry|teorii míry]] se dvojice <big>\((\Omega,\mathcal{A}) \)</big>, kde <big>\(\Omega\)</big> je libovolná množina a <big>\(\mathcal{A}\)</big> je <big>\(\sigma\)</big>-algebra na <big>\(\Omega\)</big> nazývá '''[[měřitelný prostor]]''' a množiny <big>\(\mathcal{S} \in \mathcal{A}\)</big> nazýváme '''měřitelné množiny'''.<br />
<br />
== Související články ==<br />
* [[Sigma okruh|<big>\(\sigma\)</big>-okruh]]<br />
* [[Pravděpodobnost]]<br />
<br />
<br />
{{Článek z Wikipedie}}<br />
[[Kategorie:Teorie množin]]<br />
[[Kategorie:Teorie míry]]<br />
[[Kategorie:Algebraické struktury]]</div>Sysop