http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?action=history&feed=atom&title=Spo%C4%8Detn%C3%A1_mno%C5%BEinaSpočetná množina - Historie editací2026-05-06T23:33:39ZHistorie editací této stránkyMediaWiki 1.16.5http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php?title=Spo%C4%8Detn%C3%A1_mno%C5%BEina&diff=3030593&oldid=prevSysop: + NEW...powered by ZORIN OS2025-01-06T09:04:53Z<p>+ NEW...powered by ZORIN OS</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>'''Spočetná množina''' je [[Matematika|matematický]] pojem z [[teorie množin]], označující množinu, kterou lze vzájemně jednoznačně (tzv. [[Bijekce|bijektivně]]) [[Zobrazení (matematika)|zobrazit]] na některou [[Podmnožina|podmnožinu]] množiny [[Přirozené číslo|přirozených čísel]].<br />
<br />
== Úvodní přiblížení ==<br />
Zjednodušeně lze říci, že přívlastek ''spočetná'' o [[Množina|množině]] konstatuje, že „její prvky lze spočítat“. Spočítáním se zde rozumí očíslování prvků [[Přirozené číslo|přirozenými čísly]].<br />
<br />
Podle toho, zda k očíslování postačuje, či nepostačuje konečný počet přirozených čísel, se spočetné množiny klasifikují jako ''konečné'' a ''nekonečné''. V případě konečných spočetných množin se používá formulace, že ''v očíslování existuje nejvyšší přirozené číslo''.<br />
<br />
== Příklad — množina celých čísel je spočetná ==<br />
I když by se mohlo zdát, že [[Celé číslo|celých čísel]] je více než [[Přirozené číslo|přirozených]] (dalo by se říci „dvakrát více“), pojem spočetnosti toto zdání nereflektuje. Celá čísla přirozenými čísly očíslovat lze, např. následujícím způsobem:<br />
* Celá čísla se [[Řazení|seřadí]] — primárně vzestupně podle [[Absolutní hodnota|absolutní hodnoty]], sekundárně vzestupně podle velikosti.<br />
* Dle předchozího bodu seřazená množina se očísluje přirozenými čísly tak, jak po sobě tyto ve vzestupném pořadí následují:<br />
** <big>\(0\)</big> bude mít číslo <big>\(0\)</big>;<br />
** <big>\(-1\)</big> bude mít číslo <big>\(1\)</big>;<br />
** <big>\(1\)</big> bude mít číslo <big>\(2\)</big>;<br />
** <big>\(-2\)</big> bude mít číslo <big>\(3\)</big>;<br />
** <big>\(2\)</big> bude mít číslo <big>\(4\)</big>;<br />
** <big>\(-3\)</big> bude mít číslo <big>\(5\)</big>;<br />
** <big>\(3\)</big> bude mít číslo <big>\(6\)</big>;<br />
** …<br />
<br />
Výše naznačené očíslování se považuje za [[Matematický důkaz|důkaz]] spočetnosti množiny celých čísel. Říká se, že předvedeným způsobem ''se podaří očíslovat všechna celá čísla''.<br />
<br />
''Další důkaz spočetnosti nekonečné množiny se nachází v článku [[Nespočetná množina]].''<br />
<br />
== Spočetné a nespočetné nekonečné množiny ==<br />
Nabízí se otázka, zda vůbec existují jiné než spočetné množiny. V běžně používaných modelech [[teorie množin]], kupř. [[Zermelova-Fraenkelova teorie množin|Zermelově-Fraenkelově teorii množin]], je odpověď kladná — existují. Takové množiny se nazývají ''[[Nespočetná množina|nespočetné množiny]]'' a jejich příklady jsou množina [[Reálné číslo|reálných čísel]] nebo množina všech [[Podmnožina|podmnožin]] množiny [[Přirozené číslo|přirozených čísel]].<br />
<br />
''Důkaz nespočetnosti množiny reálných čísel naleznete v článku [[Cantorova diagonální metoda]].''<br />
<br />
Z [[Cantorova věta|Cantorovy věty]] dokonce vyplývá, že ke každé (tedy i nespočetné) [[Množina|množině]] existuje množina s větší [[mohutnost]]í — tedy ještě mnohem „nespočetnější“ množina než množina, k níž je tato množina dohledávána. V tomto smyslu — ve smyslu nekonečnosti — lze spočetné množiny považovat za pouhou vstupní bránu do světa mnohem větších nespočetných množin.<br />
<br />
== Lze dokázat ==<br />
* že [[kartézský součin]] dvou spočetných množin je spočetná množina;<br />
* že konečné [[sjednocení]] spočetných množin je spočetná množina;<br />
* že [[reálné číslo|reálná čísla]] <big>\(\mathbb R\)</big> nejsou spočetná (vizte [[Cantorova diagonální metoda|Cantorovu diagonální metodu]]).<br />
<br />
== Příklady spočetných množin ==<br />
* [[Algebraické číslo|Algebraická čísla]]<br />
* [[Celé číslo|Celá čísla]] (<big>\(\mathbb Z\)</big>)<br />
* [[Přirozené číslo|Přirozená čísla]] (<big>\(\mathbb N\)</big>)<br />
* [[Racionální číslo|Racionální čísla]] (<big>\(\mathbb Q\)</big>)<br />
<br />
== Související články ==<br />
* [[Bijekce]]<br />
* [[Cantorova diagonální metoda]]<br />
* [[Cantorova věta]]<br />
* [[Kardinální číslo]]<br />
* [[Konečná množina]]<br />
* [[Množina]]<br />
* [[Mohutnost]]<br />
* [[Nekonečná množina]]<br />
* [[Nespočetná množina]]<br />
* [[Podmnožina]]<br />
* [[Rekurzivně spočetný jazyk]]<br />
* [[Teorie množin]]<br />
* [[Zobrazení (matematika)]]<br />
<br />
== Externí odkazy ==<br />
<br />
{{Commonscat|Countable sets}}{{Článek z Wikipedie}}<br />
[[Kategorie:Nekonečno]]<br />
[[Kategorie:Teorie množin]]</div>Sysop