Sysop: + Aktualizace

2025-04-27T10:24:07Z

+ Aktualizace

← Starší verze		Verze z 27. 4. 2025, 10:24
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-cs\|~~Substituční metoda~~ (~~integrování~~)\|~~700~~}}	+	'''Substituční metoda''' je [[metoda]] používaná při počítání s [[integrál]]y. Při této metodě zavádíme do [[integrál]]u novou [[proměnná\|proměnnou]].
-		+
		+	Pokud lze [[funkce (matematika)\|funkci]] <big>\(f(x)\)</big> vyjádřit na [[Interval (matematika)\|intervalu]] <big>\((a,b)\)</big> ve tvaru <big>\(f(x) = g(h(x))h^\prime(x)\)</big>, kde <big>\(h^\prime(x)\)</big> je [[spojitá funkce\|spojitá]] v intervalu <big>\((a,b)\)</big> a <big>\(g(z)\)</big> je spojitá pro všechna <big>\(z=h(x)\)</big>, pak pro <big>\(x \in (a,b)\)</big> platí
		+	:<big>\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int g(h(x)) h^\prime(x) \mathrm{d}x = \int g(z) \mathrm{d}z = G(z) + C = G(h(x)) + C\)</big>, kde byla použita [[substituce (matematika)\|substituce]] <big>\(z=h(x)\)</big>.
		+
		+	Jiným případem je substituce <big>\(x=\phi(z)\)</big>, kde funkce <big>\(\phi\)</big> je [[monotónní funkce\|monotónní]] pro všechna <big>\(z\)</big> z intervalu <big>\((\alpha,\beta)\)</big> a má na tomto intervalu spojitou [[derivace\|derivaci]] <big>\(\phi^\prime\)</big>. Potom platí
		+	:<big>\(\int f(x) \mathrm{d}x = \int f(\phi(z)) \phi^\prime(z) \mathrm{d}z = H(z)+C\)</big>
		+
		+	Výsledek získáme tak, že ze vztahu <big>\(x=\phi(z)\)</big> vyjádříme proměnnou <big>\(z\)</big> a dosadíme do <big>\(H(z) + C\)</big>.
		+
		+	== Substituce ve vícerozměrných integrálech ==
		+	Uvažujme uzavřenou ''n''-[[Dimenze vektorového prostoru\|rozměrnou]] oblast <big>\(M\)</big> v proměnných <big>\(x_i\)</big> pro <big>\(i=1,2,...,n\)</big>, a uzavřenou ''n''-rozměrnou oblast <big>\(N\)</big> v proměnných <big>\(y_i\)</big>. Mezi oblastmi <big>\(M\)</big> a <big>\(N\)</big> nechť existuje [[Bijekce\|vzájemně jednoznačné zobrazení]] <big>\(x_i = \phi_i(y_1,y_2,...,y_n)\)</big>,<br />přičemž existují [[spojitá funkce\|spojité]] [[parciální derivace]] prvního řádu <big>\(\frac{\partial \phi_i}{\partial y_j}\)</big> pro všechna <big>\(i, j\)</big> a [[Jacobiho matice a determinant\|jakobián]] <big>\(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\)</big> je nenulový, tzn. <big>\(\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)} \ne 0\)</big>. Pokud je na oblasti <big>\(M\)</big> definována spojitá [[ohraničená funkce]] <big>\(f(x_1,x_2,...,x_n)\)</big>, pak
		+	:<big>\({\iint\cdots\int}_M f(x_1,x_2,...,x_n) \mathrm{d}x_1 \mathrm{d}x_2 \cdots\mathrm{d}x_n = {\iint\cdots\int}_N f(\phi_1(y_1,y_2,...,y_n),\phi_2(y_1,y_2,...,y_n),...,\phi_n(y_1,y_2,...,y_n)) \left\|\frac{D(x_1,x_2,...,x_n)}{D(y_1,y_2,...,y_n)}\right\| \mathrm{d}y_1 \mathrm{d}y_2 \cdots\mathrm{d}y_n\)</big>
		+
		+	V případě [[dvojný integrál\|dvojného integrálu]], kdy mezi oblastí <big>\(M\)</big> o [[Soustava souřadnic\|souřadnicích]] <big>\(x, y\)</big> a oblastí <big>\(N\)</big> o souřadnicích <big>\(u, v\)</big> existuje vzájemně jednoznačné zobrazení <big>\(x=x(u,v), y=y(u,v)\)</big>, má jakobián tvar
		+	:<big>\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}\)</big>
		+
		+	Je-li <big>\(\frac{D(x,y)}{D(u.v)} \ne 0\)</big>, pak dostaneme pro funkci <big>\(f(x,y)\)</big>
		+	:<big>\(\iint_M f(x,y) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iint_N f(x(u,v),y(u,v)) \left\|\frac{D(x,y)}{D(u.v)}\right\| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\)</big>
		+
		+	V případě [[trojný integrál\|trojného integrálu]], kdy mezi oblastí <big>\(M\)</big> o souřadnicích <big>\(x, y, z\)</big> a oblastí <big>\(N\)</big> o souřadnicích <big>\(u, v, w\)</big> existuje vzájemně jednoznačné zobrazení <big>\(x=x(u,v,w), y=y(u,v,w), z=z(u,v,w)\)</big>, má jakobián tvar
		+	:<big>\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}\)</big>
		+
		+	Je-li <big>\(\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)} \ne 0\)</big>, pak pro funkci <big>\(f(x,y,z)\)</big> dostaneme výraz
		+	:<big>\(\iiint_M f(x,y,z) \mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z = \iiint_N f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)) \left\|\frac{D(x,y,z)}{D(u.v,w)}\right\| \mathrm{d}u\mathrm{d}v\mathrm{d}w\)</big>
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Substituce (matematika)\|Substituce]]
		+
		+	== Externí odkazy ==
		+	* [https://cs.wikisource.org/wiki/Ott%C5%AFv_slovn%C3%ADk_nau%C4%8Dn%C3%BD/Substituce Encyklopedické heslo Substituce v Ottově slovníku naučném]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Algebra]]		[[Kategorie:Algebra]]
	[[Kategorie:Integrální počet]]		[[Kategorie:Integrální počet]]

Sysop: 1 revizi

2013-11-03T13:39:27Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 3. 11. 2013, 13:39

Sysop: 1 revizi

2012-11-09T12:27:53Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Substituční metoda (integrování)|700}}

[[Kategorie:Algebra]]
[[Kategorie:Integrální počet]]

Substituční metoda (integrování) - Historie editací

Sysop: + Aktualizace

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi