Topologický prostor - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:57Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:50:23Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:50
Řádka 13:		Řádka 13:

	== Definice ==		== Definice ==
-	'''Topologickým prostorem''' nazveme [[Množina\|množinu]] <~~math~~>X</math> společně s kolekcí <~~math~~>\tau</math> podmnožin <~~math~~>X</math>, splňující následující axiomy:	+	'''Topologickým prostorem''' nazveme [[Množina\|množinu]] <big>\(X</math> společně s kolekcí <big>\(\tau</math> podmnožin <big>\(X</math>, splňující následující axiomy:

-	# <~~math~~>\emptyset \in \tau</math>, <~~math~~>X \in \tau</math>	+	# <big>\(\emptyset \in \tau</math>, <big>\(X \in \tau</math>
-	# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <~~math~~>\tau</math> leží v <~~math~~>\tau</math>	+	# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <big>\(\tau</math> leží v <big>\(\tau</math>
-	# [[průnik]] konečného počtu množin z <~~math~~>\tau</math> leží v <~~math~~>\tau</math>	+	# [[průnik]] konečného počtu množin z <big>\(\tau</math> leží v <big>\(\tau</math>

-	Kolekci <~~math~~>\tau</math> říkáme '''topologie''' na <~~math~~>X</math> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <~~math~~>\tau</math> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)\|doplňky]] v <~~math~~>X</math> uzavřené množiny.	+	Kolekci <big>\(\tau</math> říkáme '''topologie''' na <big>\(X</math> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <big>\(\tau</math> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)\|doplňky]] v <big>\(X</math> uzavřené množiny.

-	Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <~~math~~>(X,\tau)</math>.	+	Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <big>\((X,\tau)</math>.

	== Homeomorfní topologické prostory ==		== Homeomorfní topologické prostory ==
Řádka 37:		Řádka 37:
	== Jemnější a hrubší topologie ==		== Jemnější a hrubší topologie ==

-	O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<~~math~~>\subseteq</math>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.	+	O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<big>\(\subseteq</math>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.

-	Nejhrubší topologie na libovolné množině <~~math~~>X</math> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <~~math~~>X</math> a [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] <~~math~~>\emptyset</math>, tzn. <~~math~~>\tau = \{\emptyset,X\}</math>.	+	Nejhrubší topologie na libovolné množině <big>\(X</math> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <big>\(X</math> a [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] <big>\(\emptyset</math>, tzn. <big>\(\tau = \{\emptyset,X\}</math>.

	Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.		Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.

Sysop: + Výrazné vylepšení

2018-11-28T17:31:35Z

+ Výrazné vylepšení

← Starší verze		Verze z 28. 11. 2018, 17:31
Řádka 1:		Řádka 1:
-	~~{{Wikipedia-cs\|~~Topologický prostor\|~~700}}~~	+	'''Topologický prostor''' je [[matematická struktura]], která formalizuje pojem ''tvar''. Umožňuje také definovat na prostoru takové pojmy, jako jsou [[konvergence]], [[kompaktnost]] a [[spojitost]]. Topologickými prostory se zabývá [[topologie]]. Vyskytuje se prakticky ve všech odvětvích moderní [[Matematika\|matematiky]].

		+	== Neformální úvod ==
		+	Pojmy [[uzavřená množina]], [[kompaktní množina]], [[spojité zobrazení]], [[Konvergentní posloupnost\|konvergence posloupnosti]] a mnohé další byly původně zavedeny pro podmnožiny [[Reálné číslo\|reálných čísel]]. Lze je však definovat podobně na libovolné množině, na které je dána [[metrika]], tzv. [[metrický prostor]]. Metrika je funkce, která splňuje několik axiomů, které zobecňují klasickou euklidovskou vzdálenost.
		+
		+	Pojem „topologický prostor“ vznikl proto{{Doplňte zdroj}}, aby bylo možné mnoho metrických pojmů rozšířit na ještě širší skupinu množin, včetně některých, na nichž nemá smysl zavádět strukturu metrického prostoru. Příkladem takových množin jsou [[Ordinální číslo\|ordinální čísla]].
		+
		+	Topologie stanoví, které množiny pokládáme za otevřené, a všechny ostatní pojmy definujeme pomocí otevřených množin. Topologickým prostorem je tedy každá množina (tzv. [[nosná množina]]) spolu se systémem jejích podmnožin (tzv. otevřené množiny), pokud splňují axiomy topologického prostoru.
		+
		+	Každý metrický prostor je topologickým prostorem, protože sjednocení otevřených koulí přirozeně definují systém otevřených množin. Pojmy definované topologicky splývají s pojmy zavedenými pomocí metriky - například zobrazení mezi dvěma metrickými prostory je spojité v metrickém smyslu právě tehdy, pokud je spojité v topologickém smyslu.
		+
		+	Jiný přístup k topologii je matematické uchopení pojmu ''tvar''. Pro běžná geometrická tělesa platí, že se dají na sebe vzájemně spojitě zobrazit, pokud mají stejnou topologii.
		+
		+	== Definice ==
		+	'''Topologickým prostorem''' nazveme [[Množina\|množinu]] <math>X</math> společně s kolekcí <math>\tau</math> podmnožin <math>X</math>, splňující následující axiomy:
		+
		+	# <math>\emptyset \in \tau</math>, <math>X \in \tau</math>
		+	# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>
		+	# [[průnik]] konečného počtu množin z <math>\tau</math> leží v <math>\tau</math>
		+
		+	Kolekci <math>\tau</math> říkáme '''topologie''' na <math>X</math> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <math>\tau</math> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)\|doplňky]] v <math>X</math> uzavřené množiny.
		+
		+	Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <math>(X,\tau)</math>.
		+
		+	== Homeomorfní topologické prostory ==
		+
		+	[[Soubor:Mug and Torus morph.gif\|náhled\|vpravo\|250px\|Spojitá deformace ([[homotopie]]) hrníčku na pneumatiku ([[toroid]]) ilustruje, že tyto dva předměty jsou topologicky shodné.]]
		+
		+	Říkáme, že dva topologické prostory jsou '''homeomorfní''', pokud mezi nimi existuje [[homeomorfismus]], tzn. [[zobrazení (matematika)\|zobrazení]] které je [[Prosté zobrazení\|prosté]] a [[Zobrazení na\|na]], je [[Spojité zobrazení\|spojité]] a jeho [[Inverzní zobrazení\|inverze]] je spojitá. Z pohledu topologie jsou takové prostory identické (mají stejné topologické vlastnosti).
		+
		+	Topologie zkoumá tvar objektů bez přihlédnutí ke vzdálenostem. Například písmena K a I jsou topologicky shodná (homeomorfní), pokud je chápeme jako dvojrozměrné útvary (tužka kreslí čáru o nenulové tloušťce), protože písmeno I vyrobené z velmi pružné gumy lze vytvarovat v K (a také v C,E,F,G,J,L atd.). Písmeno O je topologicky shodné s A,D,P, zatímco písmeno B je topologicky shodné s číslicí 8.
		+
		+	Pokud písmena chápeme jako křivku ve dvourozměrném prostoru (jako tužka kreslící úsečky o nulové tloušťce), pak písmena E a T (bez patiček) jsou topologicky shodná navzájem, ale liší se od K, neboť K má bod, ze kterého „vyhýbají“ čtyři křivky (je jedno, zda jsou to úsečky nebo křivé čáry), zatímco E takový bod nemá.
		+
		+	Každé dvě křivky, které neprotínají samy sebe jsou homeomorfní (například písmena I a L - nezáleží na tom, že L má ostrý zlom).
		+
		+	== Jemnější a hrubší topologie ==
		+
		+	O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<math>\subseteq</math>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.
		+
		+	Nejhrubší topologie na libovolné množině <math>X</math> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <math>X</math> a [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] <math>\emptyset</math>, tzn. <math>\tau = \{\emptyset,X\}</math>.
		+
		+	Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.
		+
		+	== Příklady topologických prostorů ==
		+	* Množina [[Reálné číslo\|reálných čísel]] s topologií generovanou otevřenými [[Interval (matematika)\|intervaly]]. Znamená to, že množina je otevřená, pokud vznikla sjednocením otevřených intervalů
		+	* [[Metrický prostor]] je topologický prostor s topologií otevřených množin generovaných otevřenými [[Koule (topologie)\|koulemi]]. To zahrnuje i [[Banachův prostor\|Banachovy prostory]] či [[Hilbertův prostor\|Hilbertovy prostory]].
		+	* [[Graf (teorie grafů)]].
		+	* [[Varieta (matematika)\|Varieta]] s topologií definovanou daným atlasem.
		+	* [[Riemannova plocha\|Riemannovy plochy]]
		+	* [[Lp prostor\|Obecné lebesguovy prostory]]
		+	* Dlouhá přímka
		+	* [[Algebraická varieta]] se [[Zariského topologie\|Zariského topologií]]. Tato topologie, používaná v [[Algebraická geometrie\|algebraické geometrii]] není Hausdorfovská.
		+
		+	== Literatura ==
		+	* John L. Kelley: General topology, Birkhäuser, 1975
		+	* James Munkres: Topology, Cambridge University Press, 2nd edition, 1988
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Zobrazení (matematika)\|Zobrazení]]
		+	* [[Spojité zobrazení]]
		+	* [[Kompaktní množina]]
		+	* [[Algebraická topologie]]
		+	* [[Diferenciální topologie]]
		+	* [[Hausdorffův prostor]]
		+	* [[Topologická grupa]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Topologie]]		[[Kategorie:Topologie]]
	[[Kategorie:Geometrie]]		[[Kategorie:Geometrie]]

Sysop: 1 revizi

2013-10-18T12:10:12Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 18. 10. 2013, 12:10

Sysop: 1 revizi

2012-10-25T10:49:05Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Topologický prostor|700}}

[[Kategorie:Topologie]]
[[Kategorie:Geometrie]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 13:		Řádka 13:

	== Definice ==		== Definice ==
-	'''Topologickým prostorem''' nazveme [[Množina\|množinu]] <big>\(X</~~math~~> společně s kolekcí <big>\(\tau</~~math~~> podmnožin <big>\(X</~~math~~>, splňující následující axiomy:	+	'''Topologickým prostorem''' nazveme [[Množina\|množinu]] <big>\(X\)</big> společně s kolekcí <big>\(\tau\)</big> podmnožin <big>\(X\)</big>, splňující následující axiomy:

-	# <big>\(\emptyset \in \tau</~~math~~>, <big>\(X \in \tau</~~math~~>	+	# <big>\(\emptyset \in \tau\)</big>, <big>\(X \in \tau\)</big>
-	# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <big>\(\tau</~~math~~> leží v <big>\(\tau</~~math~~>	+	# [[sjednocení]] libovolného počtu (tj. konečného, spočetného i nespočetného) množin z <big>\(\tau\)</big> leží v <big>\(\tau\)</big>
-	# [[průnik]] konečného počtu množin z <big>\(\tau</~~math~~> leží v <big>\(\tau</~~math~~>	+	# [[průnik]] konečného počtu množin z <big>\(\tau\)</big> leží v <big>\(\tau\)</big>

-	Kolekci <big>\(\tau</~~math~~> říkáme '''topologie''' na <big>\(X</~~math~~> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <big>\(\tau</~~math~~> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)\|doplňky]] v <big>\(X</~~math~~> uzavřené množiny.	+	Kolekci <big>\(\tau\)</big> říkáme '''topologie''' na <big>\(X\)</big> (pojem [[topologie]] se také používá pro matematickou disciplínu). Množiny v <big>\(\tau\)</big> pak nazveme otevřené množiny, jejich [[Doplněk (matematika)\|doplňky]] v <big>\(X\)</big> uzavřené množiny.

-	Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <big>\((X,\tau)</~~math~~>.	+	Konkrétní topologický prostor bývá často označován jako <big>\((X,\tau)\)</big>.

	== Homeomorfní topologické prostory ==		== Homeomorfní topologické prostory ==
Řádka 37:		Řádka 37:
	== Jemnější a hrubší topologie ==		== Jemnější a hrubší topologie ==

-	O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<big>\(\subseteq</~~math~~>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.	+	O dvou topologiích J, H na téže množině řekneme, že J je jemnější než H (neboli H je hrubší, než J), pokud H<big>\(\subseteq\)</big>J, tedy každá množina otevřená v topologii H je otevřená i podle J.

-	Nejhrubší topologie na libovolné množině <big>\(X</~~math~~> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <big>\(X</~~math~~> a [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] <big>\(\emptyset</~~math~~>, tzn. <big>\(\tau = \{\emptyset,X\}</~~math~~>.	+	Nejhrubší topologie na libovolné množině <big>\(X\)</big> je tzv. '''triviální topologie''', která je tvořena pouze množinou <big>\(X\)</big> a [[prázdná množina\|prázdnou množinou]] <big>\(\emptyset\)</big>, tzn. <big>\(\tau = \{\emptyset,X\}\)</big>.

	Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.		Naopak nejjemnější topologie na jakékoli množině je '''diskrétní topologie''', která obsahuje všechny podmnožiny X. Každá podmnožina X je tak zároveň otevřená i uzavřená.

Topologický prostor - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“