Totálně omezený metrický prostor - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:53:58Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:50:24Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

2014-03-01T20:24:36Z

+ Výrazné vylepšení

← Starší verze		Verze z 1. 3. 2014, 20:24
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia-cs\|Totálně omezený metrický prostor\|700~~}}	+	{{Upravit}}
		+	Nejobecnější definice '''Totálně omezeného metrického prostoru''' je:

		+	podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:
		+	* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <math>A_1, A_2, A_3,... A_n</math> podmnožin množiny ''X'', takový, že
		+	** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a
		+	** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).
		+	V [[matematická symbolika\|matematické symbolice]]:
		+	: <math> \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>
		+
		+	Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.
		+
		+	== Porovnání s omezenou množinou ==
		+	;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina\|omezenost]].
		+
		+	Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <math>M </math> všech [[Omezená posloupnost\|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <math> a_i,\, b_i \,\! </math> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <math> \left\|a_1-b_1\right \| ,\, \left\|a_2-b_2\right \| \dots \,\! </math>.
		+
		+	Uvažme množinu <math>A\subseteq M </math> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.
		+
		+	Metrický prostor <math>M</math> není [[Omezená množina\|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <math>A</math> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <math>A</math> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <math>\epsilon =1 \,\! </math> existovala konečná <math>\epsilon</math>-síť <math>S</math>, jejíž prvky můžeme označit <math> S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </math>, kde <math>m</math> je počet jejích prvků.
		+
		+	Pak by bylo možné definovat posloupnost <math> c_n\,\! </math>, definovanou takto:
		+	* <math>c_i = -2 \,\!</math>, pokud <math>i \le m \,\!</math> a <math>S(i)_i\ge 0 \,\!</math>
		+	* <math>c_i = \,2 \,\!</math>, pokud <math>i \le m \,\!</math> a <math>S(i)_i<0 \,\!</math>
		+	* <math>c_i = 0 \,\!</math>, pokud <math>i>m \,\!</math>
		+
		+	Symbol <math>S(i)_i</math> značí <math>i</math>-tý prvek <math>i</math>-té posloupnosti v množině <math>S</math>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <math>c_n</math> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <math> S(i)\,\! </math>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <math>i</math> vhodnou volbou <math>c_i</math> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <math>S(i)</math>
		+
		+	Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <math>S(j)</math> má od posloupnosti <math> c_n\,\! </math> vzdálenost menší, než 1. Z definice <math> c_n\,\! </math> však plyne, že číslo <math>S(j)_j</math> je od čísla <math>c_j</math> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem\|spor]].
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Kompaktní množina]]
		+	* [[Metrický prostor]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Geometrie]]		[[Kategorie:Geometrie]]

Sysop: 1 revizi

2013-10-18T12:04:26Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 18. 10. 2013, 12:04

Sysop: 1 revizi

2012-10-25T10:49:05Z

1 revizi

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Totálně omezený metrický prostor|700}}

[[Kategorie:Geometrie]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:53
Řádka 3:		Řádka 3:

	podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:		podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:
-	* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n</~~math~~> podmnožin množiny ''X'', takový, že	+	* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n\)</big> podmnožin množiny ''X'', takový, že
	** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a		** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a
	** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).		** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).
	V [[matematická symbolika\|matematické symbolice]]:		V [[matematická symbolika\|matematické symbolice]]:
-	: <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </~~math~~>	+	: <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! \)</big>

	Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.		Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.
Řádka 14:		Řádka 14:
	;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina\|omezenost]].		;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina\|omezenost]].

-	Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M </~~math~~> všech [[Omezená posloupnost\|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! </~~math~~> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left\|a_1-b_1\right \| ,\, \left\|a_2-b_2\right \| \dots \,\! </~~math~~>.	+	Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M \)</big> všech [[Omezená posloupnost\|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! \)</big> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left\|a_1-b_1\right \| ,\, \left\|a_2-b_2\right \| \dots \,\! \)</big>.

-	Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M </~~math~~> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.	+	Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M \)</big> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

-	Metrický prostor <big>\(M</~~math~~> není [[Omezená množina\|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A</~~math~~> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A</~~math~~> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! </~~math~~> existovala konečná <big>\(\epsilon</~~math~~>-síť <big>\(S</~~math~~>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </~~math~~>, kde <big>\(m</~~math~~> je počet jejích prvků.	+	Metrický prostor <big>\(M\)</big> není [[Omezená množina\|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A\)</big> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A\)</big> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! \)</big> existovala konečná <big>\(\epsilon\)</big>-síť <big>\(S\)</big>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! \)</big>, kde <big>\(m\)</big> je počet jejích prvků.

-	Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! </~~math~~>, definovanou takto:	+	Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! \)</big>, definovanou takto:
-	* <big>\(c_i = -2 \,\!</~~math~~>, pokud <big>\(i \le m \,\!</~~math~~> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!</~~math~~>	+	* <big>\(c_i = -2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!\)</big>
-	* <big>\(c_i = \,2 \,\!</~~math~~>, pokud <big>\(i \le m \,\!</~~math~~> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!</~~math~~>	+	* <big>\(c_i = \,2 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i \le m \,\!\)</big> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!\)</big>
-	* <big>\(c_i = 0 \,\!</~~math~~>, pokud <big>\(i>m \,\!</~~math~~>	+	* <big>\(c_i = 0 \,\!\)</big>, pokud <big>\(i>m \,\!\)</big>

-	Symbol <big>\(S(i)_i</~~math~~> značí <big>\(i</~~math~~>-tý prvek <big>\(i</~~math~~>-té posloupnosti v množině <big>\(S</~~math~~>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n</~~math~~> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! </~~math~~>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i</~~math~~> vhodnou volbou <big>\(c_i</~~math~~> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)</~~math~~>	+	Symbol <big>\(S(i)_i\)</big> značí <big>\(i\)</big>-tý prvek <big>\(i\)</big>-té posloupnosti v množině <big>\(S\)</big>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n\)</big> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! \)</big>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i\)</big> vhodnou volbou <big>\(c_i\)</big> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)\)</big>

-	Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)</~~math~~> má od posloupnosti <big>\( c_n\,\! </~~math~~> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\( c_n\,\! </~~math~~> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j</~~math~~> je od čísla <big>\(c_j</~~math~~> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem\|spor]].	+	Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)\)</big> má od posloupnosti <big>\( c_n\,\! \)</big> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\( c_n\,\! \)</big> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j\)</big> je od čísla <big>\(c_j\)</big> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem\|spor]].

	== Související články ==		== Související články ==

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:50
Řádka 3:		Řádka 3:

	podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:		podmnožina ''S'' prostoru ''X'' je totálně omezená tehdy a pouze tehdy, pokud pro danou velikost ''E'' existuje:
-	* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <~~math~~>A_1, A_2, A_3,... A_n</math> podmnožin množiny ''X'', takový, že	+	* [[přirozené číslo]] ''n'' a soubor <big>\(A_1, A_2, A_3,... A_n</math> podmnožin množiny ''X'', takový, že
	** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a		** ''S'' je podmnožinou [[sjednocení]] těchto podmnožin (jinak řečeno, tento soubor podmnožin je konečné pokrytí množiny ''S'') a
	** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).		** každá podmnožina ''A<sub>i</sub>'' má velikost ''E'' (nebo menší).
	V [[matematická symbolika\|matematické symbolice]]:		V [[matematická symbolika\|matematické symbolice]]:
-	: <~~math~~> \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>	+	: <big>\( \forall_{E}\; \exists_{n \in \mathbb{N}}\; \exists_{ A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \subseteq X}\left ( S \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_{i} \; \mbox{a zaroven}\; \forall_{i = 1, \ldots, n}\; \mathrm{velikost}(A_{i}) \leq E \right ). \! </math>

	Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.		Uvažujeme-li ''P=X'', pak je prostor ''X'' totálně omezený tehdy a jen tehdy, je li ''P'' totálně omezená množina.
Řádka 14:		Řádka 14:
	;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina\|omezenost]].		;Totální omezenost je silnější vlastnost, než [[Omezená množina\|omezenost]].

-	Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <~~math~~>M </math> všech [[Omezená posloupnost\|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <~~math~~> a_i,\, b_i \,\! </math> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <~~math~~> \left\|a_1-b_1\right \| ,\, \left\|a_2-b_2\right \| \dots \,\! </math>.	+	Ukážeme to na příkladu. Uvažme prostor <big>\(M </math> všech [[Omezená posloupnost\|omezených posloupností]] reálných čísel, kde metrika přiřadí dvojici posloupností <big>\( a_i,\, b_i \,\! </math> [[supremum]] z absolutní hodnoty jejich rozdílu přes všechny položky, tedy supremum z čísel <big>\( \left\|a_1-b_1\right \| ,\, \left\|a_2-b_2\right \| \dots \,\! </math>.

-	Uvažme množinu <~~math~~>A\subseteq M </math> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.	+	Uvažme množinu <big>\(A\subseteq M </math> těch posloupností, které na každé pozici mají 2 nebo -2.

-	Metrický prostor <~~math~~>M</math> není [[Omezená množina\|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <~~math~~>A</math> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <~~math~~>A</math> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <~~math~~>\epsilon =1 \,\! </math> existovala konečná <~~math~~>\epsilon</math>-síť <~~math~~>S</math>, jejíž prvky můžeme označit <~~math~~> S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </math>, kde <~~math~~>m</math> je počet jejích prvků.	+	Metrický prostor <big>\(M</math> není [[Omezená množina\|omezený]] (ačkoli obsahuje pouze omezené posloupnosti). Množina <big>\(A</math> je omezená, ale nikoli totálně omezená. Omezenost plyne z toho, že každý prvek <big>\(A</math> má od posloupnosti samých nul vzdálenost nejvýše 2. Kdyby byl totálně omezený, pak by pro <big>\(\epsilon =1 \,\! </math> existovala konečná <big>\(\epsilon</math>-síť <big>\(S</math>, jejíž prvky můžeme označit <big>\( S(1), S(2), \dots S(m)\,\! </math>, kde <big>\(m</math> je počet jejích prvků.

-	Pak by bylo možné definovat posloupnost <~~math~~> c_n\,\! </math>, definovanou takto:	+	Pak by bylo možné definovat posloupnost <big>\( c_n\,\! </math>, definovanou takto:
-	* <~~math~~>c_i = -2 \,\!</math>, pokud <~~math~~>i \le m \,\!</math> a <~~math~~>S(i)_i\ge 0 \,\!</math>	+	* <big>\(c_i = -2 \,\!</math>, pokud <big>\(i \le m \,\!</math> a <big>\(S(i)_i\ge 0 \,\!</math>
-	* <~~math~~>c_i = \,2 \,\!</math>, pokud <~~math~~>i \le m \,\!</math> a <~~math~~>S(i)_i<0 \,\!</math>	+	* <big>\(c_i = \,2 \,\!</math>, pokud <big>\(i \le m \,\!</math> a <big>\(S(i)_i<0 \,\!</math>
-	* <~~math~~>c_i = 0 \,\!</math>, pokud <~~math~~>i>m \,\!</math>	+	* <big>\(c_i = 0 \,\!</math>, pokud <big>\(i>m \,\!</math>

-	Symbol <~~math~~>S(i)_i</math> značí <~~math~~>i</math>-tý prvek <~~math~~>i</math>-té posloupnosti v množině <~~math~~>S</math>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <~~math~~>c_n</math> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <~~math~~> S(i)\,\! </math>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <~~math~~>i</math> vhodnou volbou <~~math~~>c_i</math> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <~~math~~>S(i)</math>	+	Symbol <big>\(S(i)_i</math> značí <big>\(i</math>-tý prvek <big>\(i</math>-té posloupnosti v množině <big>\(S</math>. Myšlenka důkazu je v tom, že posloupnost <big>\(c_n</math> se musí "dostatečně lišit" od každé posloupnosti <big>\( S(i)\,\! </math>, čehož dosáhneme tak, že pro každé <big>\(i</math> vhodnou volbou <big>\(c_i</math> zajistíme dostatečnou odlišnost od posloupnosti <big>\(S(i)</math>

-	Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <~~math~~>S(j)</math> má od posloupnosti <~~math~~> c_n\,\! </math> vzdálenost menší, než 1. Z definice <~~math~~> c_n\,\! </math> však plyne, že číslo <~~math~~>S(j)_j</math> je od čísla <~~math~~>c_j</math> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem\|spor]].	+	Z předpokladu totální omezenosti vyplývá, že nějaký prvek <big>\(S(j)</math> má od posloupnosti <big>\( c_n\,\! </math> vzdálenost menší, než 1. Z definice <big>\( c_n\,\! </math> však plyne, že číslo <big>\(S(j)_j</math> je od čísla <big>\(c_j</math> vzdálené nejméně 2, takže i vzdálenost těchto posloupností (což je supremum vzdáleností na jednotlivých položkách) musí být nejméně 2, což je [[Důkaz sporem\|spor]].

	== Související články ==		== Související články ==

Totálně omezený metrický prostor - Historie editací

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\(“

Sysop: + Výrazné vylepšení

Sysop: 1 revizi

Sysop: 1 revizi

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“