Umocňování - Historie editací

Sysop: ++

2024-04-15T11:58:03Z

← Starší verze		Verze z 15. 4. 2024, 11:58
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:		'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
	:<big>$\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b$</big>		:<big>$\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b$</big>
-	V tomto vzorci se <big>$a$</big> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <big>$b$</big> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<big>$b$</big>-tá ''mocnina'' čísla <big>$a$</big>“, „<big>$a$</big> na <big>$b$</big>-tou“. Například <big>$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$</big> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <big>$3^4$</big>. Speciálním případem prázdného součinu je <big>$a^0 = 1$</big> (pro <big>$a \ne 0$</big>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).	+	V tomto vzorci se <big>$a$</big> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <big>$b$</big> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<big>$b$</big>-tá ''mocnina'' čísla <big>$a$</big>“, „<big>$a$</big> na <big>$b$</big>-tou“.
		+
		+	Například <big>$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$</big> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <big>$3^4$</big>. Speciálním případem prázdného součinu je <big>$a^0 = 1$</big> (pro <big>$a \ne 0$</big>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).

	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <big>$a \ne 0$</big> je <big>$a^0=1$</big> a <big>$a^{n+1}=a^n \cdot a$</big> (pro <big>$a=0$</big> je <big>$a^n = 0$</big> (pro <big>$n>0$</big>).		Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <big>$a \ne 0$</big> je <big>$a^0=1$</big> a <big>$a^{n+1}=a^n \cdot a$</big> (pro <big>$a=0$</big> je <big>$a^n = 0$</big> (pro <big>$n>0$</big>).
Řádka 8:		Řádka 10:

	== Zobecnění definice ==		== Zobecnění definice ==
-		+	Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Kladné a záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:
-	Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[~~Záporné~~ číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:	+
	:<big>$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n$</big>		:<big>$a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n$</big>
	Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:		Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:
Řádka 83:		Řádka 84:

	{{Článek z Wikipedie}}		{{Článek z Wikipedie}}
		+	[[Kategorie:Mocniny\| ]]
	[[Kategorie:Aritmetika]]		[[Kategorie:Aritmetika]]
	[[Kategorie:Binární operace]]		[[Kategorie:Binární operace]]

Sysop: Nahrazení textu „“ textem „\)“

2022-08-14T14:54:05Z

Nahrazení textu „</math>“ textem „\)</big>“

Sysop: Nahrazení textu „ $“ textem „$ \(“

2022-08-14T14:50:30Z

Nahrazení textu „<math>“ textem „<big>\(“

Sysop: + Masivní vylepšení

2014-07-29T00:23:29Z

+ Masivní vylepšení

← Starší verze		Verze z 29. 7. 2014, 00:23
Řádka 1:		Řádka 1:
-	{{~~Wikipedia~~-~~cs\|Umocňování\|700~~}}	+	'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
		+	:<math>\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b</math>
		+	V tomto vzorci se <math>a</math> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <math>b</math> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<math>b</math>-tá ''mocnina'' čísla <math>a</math>“, „<math>a</math> na <math>b</math>-tou“. Například <math>3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</math> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <math>3^4</math>. Speciálním případem prázdného součinu je <math>a^0 = 1</math> (pro <math>a \ne 0</math>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).

		+	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <math>a \ne 0</math> je <math>a^0=1</math> a <math>a^{n+1}=a^n \cdot a</math> (pro <math>a=0</math> je <math>a^n = 0</math> (pro <math>n>0</math>).
		+
		+	Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>a^b</code>, někdy také <code>a**b</code>.
		+
		+	== Zobecnění definice ==
		+
		+	Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:
		+	:<math>a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n</math>
		+	Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:
		+	:<math>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</math>.
		+	Zobecnění na celý obor [[reálné číslo\|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo\|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita\|limity]].
		+
		+	Mocniny s [[komplexní číslo\|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <math>a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly <math>a, b, n, r > 0</math> a <math>\varphi</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta\|Moivrovu větu]])
		+	:<math>z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))</math>
		+
		+	Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <math>a</math>, pak je mocnina dána jako
		+
		+	:<math>z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}\|z\|+i\varphi\right)},</math>
		+
		+	kde argument <math>\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <math>\varphi</math> z intervalu <math>\langle 0; 2\pi)</math> nebo <math>(-\pi; \pi \rangle</math>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <math>a</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina\|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce\|holomorfní]].
		+
		+	Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <math>a^b = \{f \| f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.</math>
		+
		+	Např. <math>2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.</math>
		+
		+	Mocnina je zde tedy množina zobrazení.
		+
		+	== Vlastnosti ==
		+	* <math>\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x</math> (pro reálné <math>x</math> a kladná reálná <math>a, b</math>; pro celočíselné <math>x</math> platí pro všechna nenulová <math>a, b</math>).
		+	* <math>\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}</math> (za stejných podmínek jako předchozí)
		+	* <math>a^x \cdot a^y = a^{x+y}</math>
		+	* <math>a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 </math>
		+	* <math>\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0</math>
		+	* <math>\left(a^x\right)^y = a^{xy}</math> (pro reálná <math>x, y</math>)
		+	* <math>a^0 = 1</math> pro <math>a \ne 0</math> (pro 0<sup>0</sup> viz [[#Nula na nultou\|níže]])
		+
		+	Umocňování není obecně [[komutativita\|komutativní]] (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).
		+
		+	== Mocniny nuly ==
		+	Pokud je mocnitel kladný, pak je mocnina nuly nula. 0<sup>''x''</sup> = 0, kde ''x'' > 0.
		+
		+	Pokud je mocnitel záporný, pak je mocnina nuly (0<sup>−''x''</sup>, kde ''x'' > 0) nedefinována, protože [[dělení nulou]] není na množině reálných čísel ani na množině komplexních čísel definováno.
		+
		+	=== Nula na nultou ===
		+	Zcela obecně není výraz 0<sup>0</sup> definován. Např. [[limita]] v tomto tvaru je tzv. [[neurčitý výraz]] a pro její vyčíslení je potřeba použít jinou techniku (např. [[L'Hospitalovo pravidlo]]). Důvodem pro tuto nedefinovanost je dvojí pohled na tento výraz: První pohled na výraz hledí jako na funkci ''x''<sup>0</sup>, která je všude (kromě nuly) rovna jedné, takže je možno ji v nule dodefinovat stejně a klade se 0<sup>0</sup> = 1. Naopak druhý pohled vychází z funkce 0<sup>''x''</sup>, která je pro všechna kladná ''x'' nulová, takže se i v nule dodefinuje 0<sup>0</sup> = 0.
		+
		+	V běžných situacích se používá hlavně první definice, podle které je
		+	:0<sup>0</sup> = 1,
		+	jindy je 0<sup>0</sup> ponecháno nedefinované, v některých kontextech je možno se setkat i s použitím druhé definice.
		+
		+	Pro použití první definice existuje několik závažných důvodů, mezi nejdůležitější patří [[binomická věta]], pro jejíž obecnou platnost je tato definice vyžadována.
		+
		+	== Zvláštní mocniny ==
		+	V každodenním životě často používáme mocniny o základu deset (to jsou 1, 10, 100, 1000, …). Tyto mocniny tvoří základ naší desítkové [[číselná soustava\|číselné soustavy]], také v [[soustava SI\|soustavě SI]] jsou [[Předpona soustavy SI\|předpony]] násobků jednotek označením mocnin deseti – 1 kg = 10³ g apod.
		+
		+	Velmi časté je rovněž využití druhé mocniny (a<sup>2</sup>), tj. vynásobení čísla ''a'' sama sebou. Druhá mocnina je v běžné řeči někdy označována jako '''čtverec''', protože obsah [[čtverec\|čtverce]] je roven druhé mocnině délky jeho hrany (S = a<sup>2</sup>).
		+
		+	[[Počítač]]e při zpracování dat používají [[dvojková soustava\|dvojkovou soustavu]], založenou na mocninách čísla 2. Z toho důvodu se někdy v informatice používají násobky jednotek jako mocniny o základu 2 – 1 KiB = 2<sup>10</sup> B = 1024 B. (Viz též [[binární předpony]].)
		+
		+	V matematice jsou zvlášť důležité mocniny o základu ''e'' ≅ 2,71828, takzvaného [[Eulerovo číslo\|Eulerova čísla]].
		+
		+	== Rychlost růstu ==
		+	Mocnina je velice rychle rostoucí funkce, jedna z nejrychleji rostoucích běžně používaných funkcí. Příkladem rychlosti růstu je následující pozorování:
		+
		+	;Příklad 1
		+	List papíru se dá obvykle přeložit (na polovinu) jen asi 7krát. Výsledkem je 128 (2<sup>7</sup>) vrstev papíru. Pokud by (teoreticky) takový papír byl přeložen 42krát, vrstva papíru by měla tloušťku rovnající se vzdálenosti ze Země na [[Měsíc]].
		+
		+	;Příklad 2
		+	Každý člověk má dva biologické [[rodič]]e, čtyři prarodiče, osm praprarodičů atd. Pokud sledujeme tento [[rodokmen]] dále, dejme tomu 70 [[generace\|generací]], dostaneme se až do doby narození Ježíše Krista. V tomto případě počet předků každého člověka představuje 2<sup>70</sup> = 1 180 591 620 717 411 303 424 lidí. To výrazně přesahuje počet všech dosud žijících lidí. Tento příklad pouze ilustrativně zobrazuje hodnotu růstu ale nepočítá s faktem, že každý jedinec nemá své jedinečné rodiče – nepočítá tedy s alternativou, že dva lidé (sourozenci) mají stejné rodiče.
		+
		+	== Související články ==
		+	* [[Odmocnina]]
		+	* [[Logaritmus]]
		+	* [[Mocninná funkce]]
		+	* [[Exponenciální funkce]]
		+	* [[Geometrická řada]]
		+	* [[Kořen (matematika)]]
		+
		+
		+	{{Článek z Wikipedie}}
	[[Kategorie:Aritmetika]]		[[Kategorie:Aritmetika]]
		+	[[Kategorie:Binární operace]]

Sysop: 1 revizi

2013-10-13T09:26:54Z

1 revizi

← Starší verze

Verze z 13. 10. 2013, 09:26

Sysop: + Výrazné vylepšení

2012-11-18T20:36:22Z

+ Výrazné vylepšení

Nová stránka

{{Wikipedia-cs|Umocňování|700}}

[[Kategorie:Aritmetika]]

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:54
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:		'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
-	:<big>\(\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b</~~math~~>	+	:<big>\(\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b\)</big>
-	V tomto vzorci se <big>\(a</~~math~~> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <big>\(b</~~math~~> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<big>\(b</~~math~~>-tá ''mocnina'' čísla <big>\(a</~~math~~>“, „<big>\(a</~~math~~> na <big>\(b</~~math~~>-tou“. Například <big>\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</~~math~~> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <big>\(3^4</~~math~~>. Speciálním případem prázdného součinu je <big>\(a^0 = 1</~~math~~> (pro <big>\(a \ne 0</~~math~~>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).	+	V tomto vzorci se <big>\(a\)</big> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <big>\(b\)</big> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<big>\(b\)</big>-tá ''mocnina'' čísla <big>\(a\)</big>“, „<big>\(a\)</big> na <big>\(b\)</big>-tou“. Například <big>\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81\)</big> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <big>\(3^4\)</big>. Speciálním případem prázdného součinu je <big>\(a^0 = 1\)</big> (pro <big>\(a \ne 0\)</big>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).

-	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <big>\(a \ne 0</~~math~~> je <big>\(a^0=1</~~math~~> a <big>\(a^{n+1}=a^n \cdot a</~~math~~> (pro <big>\(a=0</~~math~~> je <big>\(a^n = 0</~~math~~> (pro <big>\(n>0</~~math~~>).	+	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <big>\(a \ne 0\)</big> je <big>\(a^0=1\)</big> a <big>\(a^{n+1}=a^n \cdot a\)</big> (pro <big>\(a=0\)</big> je <big>\(a^n = 0\)</big> (pro <big>\(n>0\)</big>).

	Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>a^b</code>, někdy také <code>a**b</code>.		Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>a^b</code>, někdy také <code>a**b</code>.
Řádka 10:		Řádka 10:

	Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:		Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:
-	:<big>\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n</~~math~~>	+	:<big>\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n\)</big>
	Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:		Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:
-	:<big>\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</~~math~~>.	+	:<big>\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)</big>.
	Zobecnění na celý obor [[reálné číslo\|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo\|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita\|limity]].		Zobecnění na celý obor [[reálné číslo\|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo\|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita\|limity]].

-	Mocniny s [[komplexní číslo\|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <big>\(a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</~~math~~> s reálnými čísly <big>\(a, b, n, r > 0</~~math~~> a <big>\(\varphi</~~math~~>, pak platí (viz [[Moivrova věta\|Moivrovu větu]])	+	Mocniny s [[komplexní číslo\|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <big>\(a + b i = r \cdot e^{i\varphi}\)</big> s reálnými čísly <big>\(a, b, n, r > 0\)</big> a <big>\(\varphi\)</big>, pak platí (viz [[Moivrova věta\|Moivrovu větu]])
-	:<big>\(z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))</~~math~~>	+	:<big>\(z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))\)</big>

-	Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <big>\(a</~~math~~>, pak je mocnina dána jako	+	Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <big>\(a\)</big>, pak je mocnina dána jako

-	:<big>\(z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}\|z\|+i\varphi\right)},</~~math~~>	+	:<big>\(z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}\|z\|+i\varphi\right)},\)</big>

-	kde argument <big>\(\varphi</~~math~~> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <big>\(\varphi</~~math~~> z intervalu <big>\(\langle 0; 2\pi)</~~math~~> nebo <big>\((-\pi; \pi \rangle</~~math~~>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <big>\(a</~~math~~> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina\|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce\|holomorfní]].	+	kde argument <big>\(\varphi\)</big> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <big>\(\varphi\)</big> z intervalu <big>\(\langle 0; 2\pi)\)</big> nebo <big>\((-\pi; \pi \rangle\)</big>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <big>\(a\)</big> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina\|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce\|holomorfní]].

-	Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <big>\(a^b = \{f \| f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.</~~math~~>	+	Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <big>\(a^b = \{f \| f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.\)</big>

-	Např. <big>\(2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.</~~math~~>	+	Např. <big>\(2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.\)</big>

	Mocnina je zde tedy množina zobrazení.		Mocnina je zde tedy množina zobrazení.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* <big>\(\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x</~~math~~> (pro reálné <big>\(x</~~math~~> a kladná reálná <big>\(a, b</~~math~~>; pro celočíselné <big>\(x</~~math~~> platí pro všechna nenulová <big>\(a, b</~~math~~>).	+	* <big>\(\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x\)</big> (pro reálné <big>\(x\)</big> a kladná reálná <big>\(a, b\)</big>; pro celočíselné <big>\(x\)</big> platí pro všechna nenulová <big>\(a, b\)</big>).
-	* <big>\(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}</~~math~~> (za stejných podmínek jako předchozí)	+	* <big>\(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}\)</big> (za stejných podmínek jako předchozí)
-	* <big>\(a^x \cdot a^y = a^{x+y}</~~math~~>	+	* <big>\(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)</big>
-	* <big>\(a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 </~~math~~>	+	* <big>\(a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 \)</big>
-	* <big>\(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0</~~math~~>	+	* <big>\(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0\)</big>
-	* <big>\(\left(a^x\right)^y = a^{xy}</~~math~~> (pro reálná <big>\(x, y</~~math~~>)	+	* <big>\(\left(a^x\right)^y = a^{xy}\)</big> (pro reálná <big>\(x, y\)</big>)
-	* <big>\(a^0 = 1</~~math~~> pro <big>\(a \ne 0</~~math~~> (pro 0<sup>0</sup> viz [[#Nula na nultou\|níže]])	+	* <big>\(a^0 = 1\)</big> pro <big>\(a \ne 0\)</big> (pro 0<sup>0</sup> viz [[#Nula na nultou\|níže]])

	Umocňování není obecně [[komutativita\|komutativní]] (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).		Umocňování není obecně [[komutativita\|komutativní]] (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).

← Starší verze		Verze z 14. 8. 2022, 14:50
Řádka 1:		Řádka 1:
	'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:		'''Umocňování''' je [[matematika\|matematická]] [[Funkce (matematika)\|funkce]], která vyjadřuje opakované [[násobení]]. Umocňování je k násobení v podobném vztahu, v jakém je samo [[násobení]] ke [[sčítání]]. Umocňování slouží ke zkrácenému zápisu vícenásobného násobení:
-	:<~~math~~>\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b</math>	+	:<big>\(\underbrace{ a\cdot a\cdot a\cdots a }_{b \operatorname{-kr\acute{a}t}} =a^b</math>
-	V tomto vzorci se <~~math~~>a</math> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <~~math~~>b</math> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<~~math~~>b</math>-tá ''mocnina'' čísla <~~math~~>a</math>“, „<~~math~~>a</math> na <~~math~~>b</math>-tou“. Například <~~math~~>3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</math> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <~~math~~>3^4</math>. Speciálním případem prázdného součinu je <~~math~~>a^0 = 1</math> (pro <~~math~~>a \ne 0</math>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).	+	V tomto vzorci se <big>\(a</math> označuje jako ''základ mocniny'' (mocněnec) a <big>\(b</math> se nazývá ''exponent'' (mocnitel). Výsledek je „<big>\(b</math>-tá ''mocnina'' čísla <big>\(a</math>“, „<big>\(a</math> na <big>\(b</math>-tou“. Například <big>\(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81</math> je „tři na čtvrtou“, což zapisujeme <big>\(3^4</math>. Speciálním případem prázdného součinu je <big>\(a^0 = 1</math> (pro <big>\(a \ne 0</math>, viz [[#Nula na nultou\|níže]]).

-	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <~~math~~>a \ne 0</math> je <~~math~~>a^0=1</math> a <~~math~~>a^{n+1}=a^n \cdot a</math> (pro <~~math~~>a=0</math> je <~~math~~>a^n = 0</math> (pro <~~math~~>n>0</math>).	+	Tato funkce je vlastně [[posloupnost]] definovatelná rekurentně: Pro <big>\(a \ne 0</math> je <big>\(a^0=1</math> a <big>\(a^{n+1}=a^n \cdot a</math> (pro <big>\(a=0</math> je <big>\(a^n = 0</math> (pro <big>\(n>0</math>).

	Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>a^b</code>, někdy také <code>a**b</code>.		Když z technických důvodů nelze psát exponent na horní pozici, používá se často zápis ve tvaru <code>a^b</code>, někdy také <code>a**b</code>.
Řádka 10:		Řádka 10:

	Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:		Výše uvedená definice mocnění jako opakovaného násobení je použitelná jen pro [[přirozené číslo\|přirozené]] exponenty. [[Záporné číslo\|Záporné]] exponenty označují mocninu [[převrácené číslo\|převráceného čísla]]:
-	:<~~math~~>a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n</math>	+	:<big>\(a^{-n} = \frac{1}{a^n} = \left( \frac{1}{a} \right)^n</math>
	Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:		Zobecnění pro [[racionální číslo\|racionální]] exponent poskytuje definice:
-	:<~~math~~>a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</math>.	+	:<big>\(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}</math>.
	Zobecnění na celý obor [[reálné číslo\|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo\|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita\|limity]].		Zobecnění na celý obor [[reálné číslo\|reálných čísel]] (tzn. rozšíření definice o mocniny s [[iracionální číslo\|iracionálními]] exponenty) se pak dosahuje dodefinováním pomocí [[limita\|limity]].

-	Mocniny s [[komplexní číslo\|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <~~math~~>a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly <~~math~~>a, b, n, r > 0</math> a <~~math~~>\varphi</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta\|Moivrovu větu]])	+	Mocniny s [[komplexní číslo\|komplexním]] základem jsou definovány následujícím způsobem: Je-li <big>\(a + b i = r \cdot e^{i\varphi}</math> s reálnými čísly <big>\(a, b, n, r > 0</math> a <big>\(\varphi</math>, pak platí (viz [[Moivrova věta\|Moivrovu větu]])
-	:<~~math~~>z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))</math>	+	:<big>\(z^n\equiv (a+bi)^n = (r \cdot e^{i\varphi})^n = r^n \cdot e^{i\; n\varphi} = r^n \cdot (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi))</math>

-	Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <~~math~~>a</math>, pak je mocnina dána jako	+	Pokud je navíc komplexním číslem i exponent <big>\(a</math>, pak je mocnina dána jako

-	:<~~math~~>z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}\|z\|+i\varphi\right)},</math>	+	:<big>\(z^a=e^{a \operatorname{Ln} z}=e^{a\left(\operatorname{ln}\|z\|+i\varphi\right)},</math>

-	kde argument <~~math~~>\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <~~math~~>\varphi</math> z intervalu <~~math~~>\langle 0; 2\pi)</math> nebo <~~math~~>(-\pi; \pi \rangle</math>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <~~math~~>a</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina\|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce\|holomorfní]].	+	kde argument <big>\(\varphi</math> má nutně skok, jehož polohu však lze zvolit. Volí se zpravidla <big>\(\varphi</math> z intervalu <big>\(\langle 0; 2\pi)</math> nebo <big>\((-\pi; \pi \rangle</math>. Tedy mocnina je obecně [[mnohoznačná funkce]] a pokud není <big>\(a</math> [[celé číslo]], mocnina není na celé [[komplexní rovina\|komplexní rovině]] [[holomorfní funkce\|holomorfní]].

-	Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <~~math~~>a^b = \{f \| f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.</math>	+	Jiná užitečná definice, z oblasti [[teorie množin]], říká, že <big>\(a^b = \{f \| f\ \mathrm{zobrazuje}\ b \rightarrow a \}.</math>

-	Např. <~~math~~>2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.</math>	+	Např. <big>\(2^3 = \{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1) \}.</math>

	Mocnina je zde tedy množina zobrazení.		Mocnina je zde tedy množina zobrazení.

	== Vlastnosti ==		== Vlastnosti ==
-	* <~~math~~>\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x</math> (pro reálné <~~math~~>x</math> a kladná reálná <~~math~~>a, b</math>; pro celočíselné <~~math~~>x</math> platí pro všechna nenulová <~~math~~>a, b</math>).	+	* <big>\(\left(ab\right)^x = a^x \cdot b^x</math> (pro reálné <big>\(x</math> a kladná reálná <big>\(a, b</math>; pro celočíselné <big>\(x</math> platí pro všechna nenulová <big>\(a, b</math>).
-	* <~~math~~>\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}</math> (za stejných podmínek jako předchozí)	+	* <big>\(\left(\frac{a}{b}\right)^x = \frac{a^x}{b^x}</math> (za stejných podmínek jako předchozí)
-	* <~~math~~>a^x \cdot a^y = a^{x+y}</math>	+	* <big>\(a^x \cdot a^y = a^{x+y}</math>
-	* <~~math~~>a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 </math>	+	* <big>\(a^{-x} = \frac{1}{a^x},\quad a\neq 0 </math>
-	* <~~math~~>\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0</math>	+	* <big>\(\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y},\quad a\neq 0</math>
-	* <~~math~~>\left(a^x\right)^y = a^{xy}</math> (pro reálná <~~math~~>x, y</math>)	+	* <big>\(\left(a^x\right)^y = a^{xy}</math> (pro reálná <big>\(x, y</math>)
-	* <~~math~~>a^0 = 1</math> pro <~~math~~>a \ne 0</math> (pro 0<sup>0</sup> viz [[#Nula na nultou\|níže]])	+	* <big>\(a^0 = 1</math> pro <big>\(a \ne 0</math> (pro 0<sup>0</sup> viz [[#Nula na nultou\|níže]])

	Umocňování není obecně [[komutativita\|komutativní]] (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).		Umocňování není obecně [[komutativita\|komutativní]] (2³ = 8 ≠ 9 = 3²).