Funkce (matematika)

Z Multimediaexpo.cz

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:51

Funkce je v matematice název pro zobrazení z nějaké množiny M do množiny čísel (většinou reálných nebo komplexních), nebo do vektorového prostoru (pak se mluví o vektorové funkci). Je to tedy předpis, který každému prvku z množiny M jednoznačně přiřadí nějaké číslo nebo vektor (hodnotu funkce). Někdy se však slovo funkce používá pro libovolné zobrazení.

Definice

Poněkud neformální

Na množině čísel M je definovaná funkce, je-li dán předpis, podle kterého je každému x náležícímu do množiny M přiřazeno právě jedno číslo y.

Značíme: \(y=f(x)\).

Proměnná \(x\) se označuje jako argument funkce (nezávisle proměnná). Proměnná \(y\) je funkční hodnota (závisle proměnná).

M nazýváme definičním oborem funkce. Pokud není při zadání funkce uveden definiční obor, pak se za definiční obor obvykle považuje množina všech hodnot nezávisle proměnné, pro něž má funkce smysl. Definičním oborem může být například množina celých, reálných nebo komplexních čísel. Definiční obor může mít i více dimenzí. Pokud má dvě, pak můžeme říkat, že má funkce dva argumenty, nebo že jejím argumentem je jeden dvourozměrný vektor. Jedná se o dva pohledy na stejnou věc. V případě, že má vektor, který je argumentem funkce, nekonečnou dimenzi (většinou nespočetnou), nemluvíme již o funkci, ale o funkcionálu.

Množinu všech čísel \(\ f(x)\), takových, že \(x \in\ M\), nazýváme oborem hodnot dané funkce.

Matematicky přesnější

Funkce \(f\) je podmnožina součinu \(M\times T\), kde M a T jsou množiny, T je obvykle podmnožina reálných nebo komplexních čísel, taková, že pro každý prvek m množiny M existuje nejvýše jedna uspořádaná dvojice \([m,x]\in f\). Obvykle píšeme \(f(m)=x\).

Definičním oborem funkce je pak podmnožina všech prvků množiny M, ke kterým taková uspořádaná dvojice existuje právě jedna. Říkáme, že pro prvky množiny M, které nejsou prvky definičního oboru, daná funkce není definována.

Oborem hodnot dané funkce je množina všech prvků x množiny T, ke kterým v relaci existuje alespoň jedna uspořádaná dvojice \([m,x]\in f\), kde \(m \in M\).

Způsoby zadání funkce

Analyticky

Analytickým předpisem rozumíme zadání funkce ve formě \(y = f(x)\), pak říkáme, že funkce je zadána explicitním vyjádřením (explicitní funkce). Funkci můžeme vyjádřit také v implicitním tvaru (implicitní funkce) jako \(F(x,y) = 0\). Dalším způsobem je zápis v parametrickém tvaru (parametrická funkce) soustavou rovnic \(x = f_1(t)\), \(y = f_2(t)\), kde \(t\) je vhodný parametr.

Příklad

Např. \(y = 2x^2\) je explicitní zápis kvadratické funkce. V implicitním tvaru lze stejnou rovnici zapsat jako \(y - 2x^2 = 0\). V parametrickém tvaru lze zvolit např. soustavu rovnic \(x = \frac{t}{\sqrt{2}}\), \(y = t^2\).

Graficky

Při grafickém zadání funkci vyjádříme grafem.

Příklad

Příklad zadání funkce grafem (\(D(x)\) označuje definiční obor a \(V(y)\) obor hodnot)

Tabulkou (výčtem hodnot)

Funkční předpis může být zadán také výčtem hodnot, který obvykle uspořádáme do tabulky.

Příklad

Příkladem může být např. zadání funkce

Definičním oborem je zde množina \(\{1,2,3,7,9\}\) a oborem hodnot je množina \(\{2,3,4,5\} \).

Typy funkcí

Je-li nezávisle proměnná z množiny reálných čísel, pak hovoříme o funkci reálné proměnné, pokud je nezávisle proměnná z množiny komplexních čísel, hovoříme o funkci komplexní proměnné. Pokud je závislá proměnná z množiny reálných čísel, pak s jedná o reálnou funkci, je-li z množiny komplexních čísel, jde o komplexní funkci. Např. komplexní funkce reálné proměnné přiřazuje každému reálnému číslu (z definičního oboru) komplexní číslo.

Argumentem funkce nemusí být jen čísla, ale mohou jím být také matice, vektory, tenzory, apod. Pak podle typu argumentu hovoříme o maticové funkci, vektorové funkci, tenzorové funkci, apod.

O funkci obsahující jedinou nezávisle proměnnou hovoříme jako o funkci jedné proměnné, např. \(y = f(x)\). Funkce obsahující dvě (nebo více) nezávislých proměnných pak označujeme jako funkci dvou (tří, čtyř, …) proměnných, např. \(z = f(x,y)\) je funkce dvou proměnných \(x\) a \(y\). Funkci \(n\)-proměnných zapisujeme jako

• \(f(x_1,x_2,..., x_n)\)
• \(f(x_i)\) pro \(i=1,2,...,n\)
• \(f(X)\), kde \(X = [x_1,x_2,...,x_n]\) představuje bod v n-rozměrném prostoru
• \(f(r)\), kde \(r\) představuje polohový vektor bodu v n-rozměrném prostoru.

Algebraická a transcendentní funkce

Funkci označujeme jako algebraickou, pokud ji lze vyjádřit ve tvaru polynomu, např. pokud lze funkci \(y = f(x)\) vyjádřit jako \(P(x,y) = 0\), kde \(P\) je polynom, pak se jedná o algebraickou funkci. Stupeň polynomu \(P\) pak určuje stupeň funkce. Funkce, které nejsou algebraické, označujeme jako transcendentní. Mezi transcendentní funkce se řadí funkce sin, cos, tg, cotg, exp, log, případně další, které nejdou vyjádřit pomocí elementárních funkcí.

Algebraické funkce lze dále rozdělit na racionální funkce a iracionální funkce. Iracionální funkce jsou funkce obsahující \(x^{\frac{m}{n}}\), kde \(m, n\) jsou nesoudělná čísla.

Transcendentní funkce lze rozdělit na nižší, kam patří např. exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické funkce, a vyšší. Vyšší transcendentní funkce nelze pomocí elementárních funkcí vyjádřit v konečném tvaru.

Rekurzivní funkce

Zvláštním případem zadání funkce je tzv. rekurzivní funkce. Zadání funkce rekurentně je zadání předpisu, který dává do vztahu nějaké hodnoty funkce s jinými hodnotami takovým způsobem, že funkce je dobře definována.

Příkladem takové funkce může být např. funkce definovaná na přirozených číslech, kterou definujeme vztahy \(f(0) = 1\) a \(f(n) = n \cdot f(n-1)\) pro \(n = 1,2,...\). Uvedenou funkci lze také zapsat jako \(f(n) = n!\), tzn. tato funkce počítá faktoriál.

Celý proces výpočtu rekurzivní funkce je označován jako rekurze a našel uplatnění především ve výpočetní technice.

Operace s funkcemi

Mějme funkci \(f(x)\) s definičním oborem \(D_f(x)\) a funkci \(g(x)\) s definičním oborem \(D_g(x)\). Společný definiční obor obou funkcí je průnikem obou definičních oborů, tzn. \(D = D_f \cap D_g\).

Funkce \(f, g\) jsou si na \(D\) rovny, pokud platí \(f(x) = g(x)\) pro všechna \(x \in D\).

Součtem funkcí \(f, g\) na \(D\) označíme funkci \(h\) takovou, že \(h(x) = f(x) + g(x)\) pro všechna \(x \in D\).

Součinem funkcí \(f, g\) na \(D\) označíme funkci \(h\) takovou, že \(h(x) = f(x) \cdot g(x)\) pro všechna \(x \in D\).

Podílem funkcí \(f, g\) na \(D^\prime\) označíme funkci \(h\) takovou, že \(h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) pro všechna \(x \in D^\prime\), kde \(D^\prime\) je definiční obor \(D\), z něhož byla vyňata všechna \(x\), pro která platí \(g(x) = 0\).

Související články

• Meromorfní funkce
• Obraz funkce
• Vzor funkce
• Průběh funkce
• Inverzní funkce
• Sudé a liché funkce
• Periodická funkce
• Skládání funkcí
• Komplexní funkce
• Prostá funkce
• Spojitá funkce
• Monotónní funkce

Externí odkazy

• functions.wolfram.com – online encyklopedie vzorců a grafických ztvárnění funkcí