Komutativita

Z Multimediaexpo.cz

Komutativita je v matematice, zejména v algebře, vlastnost binární operace spočívající v tom, že u ní nezávisí na pořadí jejích operandů.

Obsah

Definice

Binární operace ∗ (tj. nějaká operace zastoupená obecným znakem ∗) je na množině S komutativní, jestliže platí

x ∗ y = y ∗ x

pro každé x a y v S.

Příklady komutativity

Nejznámější příklady komutativní binární operace jsou sčítání (a + b) a násobení (a · b) reálných čísel.

2 + 3 = 3 + 2 (v obou případech je výsledek 5)
7 × 3 = 3 × 7 (v obou případech je výsledek 21)

Další ukázky komutativních binárních operací jsou například: sčítání a násobení komplexních čísel, sčítání či skalární součin vektorů na reálných vektorových prostorech, průnik a sjednocení množin, operace maximum a minimum.

Mezi binární operace, které nejsou komutativní, patří například odčítání (a − b), dělení (a : b), umocňování (ab) nebo vektorové násobení.

Důležitým příkladem nekomutativního násobení je násobení matic. Obecně totiž nemůžeme zaměnit pořadí matic, neboť bychom dostali různé výsledky. Jen pro některé matice lze toto pořadí zaměnit (například pro jednotkovou matici). Nekomutativnost platí už i pro velmi jednoduché matice:

\(\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}0 & -1\\1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}\).

Tato vlastnost matic (a obecněji lineárních operátorů) je důležitá v kvantové fyzice, ve které jsou např. poloha a hybnost částice popsané nekomutujícími operátory a nelze je proto určit zároveň s libovolnou přesností (viz princip neurčitosti). Měření těchto veličin je nekomutativní, což znamená, že záleží na tom, zda měříme první polohu či hybnost.

Související články

Externí odkazy


Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Komutativita“