Koule

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Aktuální verze z 14. 8. 2022, 14:52

Koule je prostorové těleso tvořené množinou všech bodů, jejichž vzdálenost od zadaného bodu (středu) je rovna nebo menší než zadaný poloměr. Body, jejichž vzdálenost je právě rovna poloměru, tvoří povrch koule, tzv. kulovou plochu (také označovanou jako sféru nebo sférickou plochu). Pojmy koule a sféry se tedy v matematice obvykle rozlišují, na rozdíl od běžné řeči.

Obsah

1 Vlastnosti
2 Rovnice
- 2.1 Parametrické vyjádření
- 2.2 Rovnice kvadratické plochy
3 Zobecnění
4 Související články

Vlastnosti

Koule je dokonale symetrická: bodově podle středu, osově a rovinně podle libovolné přímky, resp. roviny procházející středem.
Objem: \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)
Obsah povrchu: \(S = 4 \pi r^2\)
Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší povrch a naopak, mezi plochami s daným povrchem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě kapek a bublin, jejichž povrch je minimalizován povrchovým napětím.
Koule vznikne otáčením kruhu podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela elipsa, vznikl by rotační elipsoid.
Válec opsaný kouli má povrch i objem rovný 3/2 povrchu, resp. objemu koule.
Útvary na kulové ploše je možné popisovat pomocí sférické geometrie.
Koule s různými poloměry a shodnými středy se označují jako koncentrické koule.

Rovnice

V analytické geometrii lze kulovou plochu se středem v (x₀, y₀, z₀) a poloměrem r definovat jako množinu bodů (x, y, z), které splňují rovnici

\({(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 = r^2\).

Koule je pak vyplněním této plochy, tzn. množina bodů, kde levá strana je menší nebo rovna r².

Parametrické vyjádření

Kulovou plochu lze parametrizovat následujícími rovnicemi:

\(x = x_0 + r \sin\theta \cos\varphi\)

\(y = y_0 + r \sin\theta \sin\varphi\)

\(z = z_0 + r \cos\theta \,\)

přičemž \(0\leq\theta\leq\pi\), \(-\pi<\varphi\leq\pi\).

Rovnice kvadratické plochy

Z obecné rovnice kvadratické plochy lze získat rovnici kulové plochy, pokud ji lze zapsat jako

\(x^2+y^2+z^2+mx+ny+pz+q=0\)

Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny \(xy, xz, yz\) a koeficienty u druhých mocnin jsou stejné.

Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru

\({\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q\)

Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem \(\left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right]\) a poloměrem \(r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}\). Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o reálné kulové ploše. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod prostoru (jde o tzv. imaginární kulovou plochu). Je-li výraz pod odmocninou nulový, vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.

Zobecnění

Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu kruhu (resp. kružnice). Obdoba koule v ještě vyšších dimenzích je tzv. hyperkoule.

V metrickém prostoru X je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je ostře menší než poloměr r, tedy \(U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)<r\}\). Otevřená koule je pochopitelně otevřená množina. Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost d od daného bodu x je rovna poloměru r, tedy \(S(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)=r\}\). Sféra je uzavřená množina.

V topologii je koule taková množina, která je homeomorfní běžné eukleidovské kouli.

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 4: / Řádka 4: @@
 == Vlastnosti ==
 * Koule je dokonale [[symetrie|symetrická]]: [[bodová symetrie|bodově]] podle středu, [[osová symetrie|osově]] a [[rovinná symetrie|rovinně]] podle libovolné [[přímka|přímky]], resp. [[rovina|roviny]] procházející středem.
-* [[Objem]]: <big>\(V = \frac{4}{3} \pi r^3</math>
+* [[Objem]]: <big>\(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)</big>
-* [[Obsah|Obsah povrchu]]: <big>\(S = 4 \pi r^2</math>
+* [[Obsah|Obsah povrchu]]: <big>\(S = 4 \pi r^2\)</big>
 * Mezi plochami uzavírajícími daný objem má kulová plocha nejmenší povrch a naopak, mezi plochami s daným povrchem uzavírá kulová plocha největší objem. Proto se koule často vyskytuje v přírodě, např. ve formě [[kapka|kapek]] a [[bublina|bublin]], jejichž povrch je minimalizován [[povrchové napětí|povrchovým napětím]].
 * Koule vznikne otáčením [[Kruh (geometrie)|kruhu]] podle osy; pokud by se místo kruhu otáčela [[elipsa]], vznikl by [[rotační elipsoid]].
@@ Řádka 14: / Řádka 14: @@
 == Rovnice ==
 V [[analytická geometrie|analytické geometrii]] lze kulovou plochu se středem v (''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>) a poloměrem ''r'' definovat jako [[množina|množinu]] bodů (''x, y, z''), které splňují [[rovnice|rovnici]]
-:<big>\({(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 = r^2</math>.
+:<big>\({(x-x_0)}^2 + {(y-y_0)}^2 + {(z-z_0)}^2 = r^2\)</big>.
 Koule je pak vyplněním této plochy, tzn. množina bodů, kde levá strana je menší nebo rovna ''r''&sup2;.
 === Parametrické vyjádření ===
 Kulovou plochu lze [[parametrická funkce|parametrizovat]] následujícími rovnicemi:
-:<big>\(x = x_0 + r \sin\theta \cos\varphi</math>
+:<big>\(x = x_0 + r \sin\theta \cos\varphi\)</big>
-:<big>\(y = y_0 + r \sin\theta \sin\varphi</math>
+:<big>\(y = y_0 + r \sin\theta \sin\varphi\)</big>
-:<big>\(z = z_0 + r \cos\theta \,</math>
+:<big>\(z = z_0 + r \cos\theta \,\)</big>
-přičemž <big>\(0\leq\theta\leq\pi</math>, <big>\(-\pi<\varphi\leq\pi</math>.
+přičemž <big>\(0\leq\theta\leq\pi\)</big>, <big>\(-\pi<\varphi\leq\pi\)</big>.
 === Rovnice kvadratické plochy ===
 Z obecné rovnice [[kvadratická plocha|kvadratické plochy]] lze získat rovnici kulové plochy, pokud ji lze zapsat jako
-:<big>\(x^2+y^2+z^2+mx+ny+pz+q=0</math>
+:<big>\(x^2+y^2+z^2+mx+ny+pz+q=0\)</big>
-Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny <big>\(xy, xz, yz</math> a koeficienty u druhých [[mocnina|mocnin]] jsou stejné.
+Ze tvaru této rovnice je vidět, že rovnici kulové plochy získáme z rovnice kvadratické plochy tehdy, pokud v rovnici kvadratické plochy vymizí součiny <big>\(xy, xz, yz\)</big> a koeficienty u druhých [[mocnina|mocnin]] jsou stejné.
 Uvedenou rovnici lze přepsat do tvaru
-:<big>\({\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q</math>
+:<big>\({\left(x+\frac{m}{2}\right)}^2 + {\left(y+\frac{n}{2}\right)}^2 + {\left(z+\frac{p}{2}\right)}^2 = \frac{m^2+n^2+p^2}{4}-q\)</big>
-Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem <big>\(\left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right]</math> a [[poloměr]]em <big>\(r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}</math>. Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o ''reálné kulové ploše''. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod [[prostor (geometrie)|prostoru]] (jde o tzv. ''imaginární kulovou plochu''). Je-li výraz pod odmocninou [[nula|nulový]], vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.
+Tato rovnice odpovídá kulové ploše se středem <big>\(\left[-\frac{m}{2},-\frac{n}{2},-\frac{p}{2}\right]\)</big> a [[poloměr]]em <big>\(r=\sqrt{\frac{1}{4}(m^2+n^2+p^2)-q}\)</big>. Je-li výraz pod odmocninou kladný, hovoříme o ''reálné kulové ploše''. Je-li výraz pod odmocninou záporný, pak dané rovnici nevyhovuje žádný bod [[prostor (geometrie)|prostoru]] (jde o tzv. ''imaginární kulovou plochu''). Je-li výraz pod odmocninou [[nula|nulový]], vyhovuje rovnici právě jeden bod prostoru.
 == Zobecnění ==
@@ Řádka 37: / Řádka 37: @@
 Kouli (resp. kulovou plochu) lze považovat za trojrozměrnou obdobu [[Kruh (geometrie)|kruhu]] (resp. [[kružnice]]). Obdoba koule v ještě vyšších [[dimenze|dimenzích]] je tzv. [[hyperkoule]].
-V [[metrický prostor|metrickém prostoru]] ''X'' je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''ostře menší'' než poloměr ''r'', tedy <big>\(U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)<r\}</math>. Otevřená koule je pochopitelně [[otevřená množina]].
+V [[metrický prostor|metrickém prostoru]] ''X'' je otevřená koule definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''ostře menší'' než poloměr ''r'', tedy <big>\(U(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)<r\}\)</big>. Otevřená koule je pochopitelně [[otevřená množina]].
-Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''rovna'' poloměru ''r'', tedy <big>\(S(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)=r\}</math>. Sféra je [[uzavřená množina]].
+Sféra je definována jako množina bodů, jejichž vzdálenost ''d'' od daného bodu ''x'' je ''rovna'' poloměru ''r'', tedy <big>\(S(x,r) = \{y\in X:\; d(x,y)=r\}\)</big>. Sféra je [[uzavřená množina]].
 V [[topologie|topologii]] je koule taková množina, která je [[homeomorfismus|homeomorfní]] běžné eukleidovské kouli.