Lorentzův faktor

Z Multimediaexpo.cz

(Rozdíly mezi verzemi)

Verze z 14. 8. 2022, 14:49

Jako Lorentzův faktor se označuje člen, který se často vyskytuje ve výrazech a rovnicích speciální teorie relativity (např. kontrakce délek, dilatace času, Lorentzova transformace).

Tento člen se označuje řeckým písmenem γ (gama) a je definován jako

\(\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,

kde \(v</math> je velikost rychlosti ve vztažné soustavě, v níž je měřen čas \(t</math>, \(\tau</math> je vlastní čas a \(c</math> je rychlost světla ve vakuu.

Dalším často se opakujícím výrazem je \(\frac{v}{c}</math>, nazývá se bezrozměrná rychlost a značí se \(\beta</math>.

\(\beta \equiv \frac{v}{c}</math>

Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako

\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.</math>

Hodnoty

Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých \(c</math> roste nade všechny meze.

\(\beta</math>	\(\gamma </math>	\(\gamma^{-1}</math>
0.010	1.000	1.000
0.100	1.005	0.995
0.200	1.021	0.980
0.300	1.048	0.954
0.400	1.091	0.917
0.500	1.155	0.866
0.600	1.250	0.800
0.700	1.400	0.714
0.800	1.667	0.600
0.866	2.000	0.500
0.900	2.294	0.436
0.990	7.089	0.141
0.999	22.366	0.045

Přibližné vyjádření

Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí Taylorovy řady jako

\(\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>

Aproximaci \(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti \(\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti \(\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.

Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké rychlosti přechází speciální teorie relativity na Newtonovu mechaniku. (V následujících vzorcích písmeno \(m</math> značí klidovou hmotnost, která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro hybnost

\(\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>

přejde pro \(\gamma \approx 1\,</math> na

\(\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>

Podobně vztah pro energii

\(E = \gamma m c^2</math>

přejde pro \(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar

\(E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>

V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu \(\beta^2</math> a vyšší, takže je \(\gamma\approx 1</math> a obdržíme tzv. pomalou Lorentzovu transformaci.

\(x^\prime = x - \beta ct</math>

\(y^\prime = y</math>

\(z^\prime = z</math>

\(ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>

Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí \(\gamma</math>

\(\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>

což lze také přepsat do Taylorovy řady

\(\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>

Související články

Náklady na energie a provoz naší encyklopedie prudce vzrostly. Potřebujeme vaši podporu... Kolik ?? To je na Vás. Náš FIO účet — 2500575897 / 2010
Informace o článku. Článek je převzat z Wikipedie, otevřené encyklopedie, do které přispívají dobrovolníci z celého světa. Tento text je dostupný za podmínek Creative Commons 3.0 Unported – creativecommons.org. Originální článek na české Wikipedii

@@ Řádka 2: / Řádka 2: @@
 Tento člen se označuje [[řecká abeceda|řeckým písmenem]] [[gama|γ (gama)]] a je definován jako
-:<math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,
+:<big>\(\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{c}{\sqrt{c^2 - v^2}} = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}\tau}</math>,
-kde <math>v</math> je velikost [[rychlost]]i ve [[vztažná soustava|vztažné soustavě]], v níž je měřen [[čas]] <math>t</math>, <math>\tau</math> je [[vlastní čas]] a <math>c</math> je [[rychlost světla]] ve [[vakuum|vakuu]].
+kde <big>\(v</math> je velikost [[rychlost]]i ve [[vztažná soustava|vztažné soustavě]], v níž je měřen [[čas]] <big>\(t</math>, <big>\(\tau</math> je [[vlastní čas]] a <big>\(c</math> je [[rychlost světla]] ve [[vakuum|vakuu]].
-Dalším často se opakujícím výrazem je <math>\frac{v}{c}</math>, nazývá se [[bezrozměrná rychlost]] a značí se <math>\beta</math>.
+Dalším často se opakujícím výrazem je <big>\(\frac{v}{c}</math>, nazývá se [[bezrozměrná rychlost]] a značí se <big>\(\beta</math>.
-:<math>\beta \equiv \frac{v}{c}</math>
+:<big>\(\beta \equiv \frac{v}{c}</math>
 Lorentzův faktor lze pak vyjádřit jako
-:<math>\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.</math>
+:<big>\(\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}} = \left(1-\beta^2\right)^{-{1\over2}} \,.</math>
 == Hodnoty ==
-[[Soubor:Lorentz factor.png|thumb|220px|Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých <math>c</math> roste nade všechny meze.]]
+[[Soubor:Lorentz factor.png|thumb|220px|Lorentzův faktor roste s rychlostí od hodnoty 1. Při rychlostech blízkých <big>\(c</math> roste nade všechny meze.]]
 {| class="wikitable"
-! <math>\beta</math> !! <math>\gamma </math> !! <math>\gamma^{-1}</math>
+! <big>\(\beta</math> !! <big>\(\gamma </math> !! <big>\(\gamma^{-1}</math>
 |-
 | 0.010 || 1.000 || 1.000
@@ Řádka 47: / Řádka 47: @@
 == Přibližné vyjádření ==
 Lorentzův faktor lze vyjádřit pomocí [[Taylorova řada|Taylorovy řady]] jako
-:<math>\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>
+:<big>\(\gamma ( \beta ) = 1 + \frac{1}{2} \beta^2 + \frac{3}{8} \beta^4 + \frac{5}{16} \beta^6 + \frac{35}{128} \beta^8 + ...\,.</math>
-[[Aproximace|Aproximaci]] <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti <math>\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti <math>\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.
+[[Aproximace|Aproximaci]] <big>\(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> lze využít pro určení relativistických jevů při nízkých rychlostech. Pro rychlosti <big>\(\beta< 0,4</math> vykazuje tato aproximace chybu do 1%, pro rychlosti <big>\(\beta< 0,22</math> vykazuje chybu menší než 0,1%.
-Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké [[rychlost]]i přechází [[speciální teorie relativity]] na [[Newtonova mechanika|Newtonovu mechaniku]]. (V následujících vzorcích písmeno <math>m</math> značí [[klidová hmotnost|klidovou hmotnost]], která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro [[hybnost]]
+Při omezení řady lze také ukázat, že pro nízké [[rychlost]]i přechází [[speciální teorie relativity]] na [[Newtonova mechanika|Newtonovu mechaniku]]. (V následujících vzorcích písmeno <big>\(m</math> značí [[klidová hmotnost|klidovou hmotnost]], která je invariantní vůči Lorentzově transformaci.) Například relativistický výraz pro [[hybnost]]
-:<math>\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>
+:<big>\(\mathbf{p} = \gamma m \mathbf{v} </math>
-přejde pro <math>\gamma \approx 1\,</math> na
+přejde pro <big>\(\gamma \approx 1\,</math> na
-:<math>\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>
+:<big>\(\mathbf{p} = m \mathbf{v} \,.</math>
 Podobně vztah pro [[energie|energii]]
-:<math>E = \gamma m c^2</math>
+:<big>\(E = \gamma m c^2</math>
-přejde pro <math>\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar
+přejde pro <big>\(\gamma \approx 1 + \frac{1}{2}\beta^2</math> na klasický tvar
-:<math>E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>
+:<big>\(E = m c^2 + \frac{1}{2} m v^2 \,. </math>
-V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu <math>\beta^2</math> a vyšší, takže je <math>\gamma\approx 1</math> a obdržíme tzv. [[Lorentzova transformace#Pomalá Lorentzova transformace|pomalou Lorentzovu transformaci]].
+V Lorentzově transformaci při nízkých rychlostech můžeme zanedbat členy řádu <big>\(\beta^2</math> a vyšší, takže je <big>\(\gamma\approx 1</math> a obdržíme tzv. [[Lorentzova transformace#Pomalá Lorentzova transformace|pomalou Lorentzovu transformaci]].
-: <math>x^\prime = x - \beta ct</math>
+: <big>\(x^\prime = x - \beta ct</math>
-: <math>y^\prime = y</math>
+: <big>\(y^\prime = y</math>
-: <math>z^\prime = z</math>
+: <big>\(z^\prime = z</math>
-: <math>ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>
+: <big>\(ct^\prime = ct - \beta x \,.</math>
-Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí <math>\gamma</math>
+Pro některé relativistické výpočty se používá vyjádření rychlosti pomocí <big>\(\gamma</math>
-:<math>\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>
+:<big>\(\beta = \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}} \,,</math>
 což lze také přepsat do Taylorovy řady
-:<math>\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>
+:<big>\(\beta = 1 - \frac{1}{2} \gamma^{-2} - \frac{1}{8} \gamma^{-4} - \frac{1}{16} \gamma^{-6} - \frac{1}{128} \gamma^{-8} + ... \,.</math>
 == Související články ==