Minkowského prostor

Vektor v Minkowského prostoru  <math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> má 4 souřadnice

:<math>a^\mu = \left( a^0, a^1, a^2, a^3 \right)\,.</math>

První z nich nazýváme časová složka nebo časová komponenta <math>t</math>, ostatní tři odpovídají prostorovým souřadnicím <math>x,y,z</math>. Někdy se na časové ose používá jiné měřítko, což odpovídá konvenci měření času v sekundách a vzdálenosti v metrech. Přepočet mezi [[sekunda|sekundou]] a [[metr]]em je dán [[rychlost světla|rychlostí světla]] ve vakuu <math>c=299792458\ \mathrm{m.s^{-1}}</math>. V tomto článku předpokládáme na všech osách stejné měřítko, což odpovídá <math>c=1</math>. Vizte též [[přirozená soustava jednotek]].

[[Skalární součin]] dvou vektorů v Minkowského prostoru (<math>\mathbf{a}=a^{\mu}\mathbf{e}_{\mu},\ \mathbf{b}=b^{\mu}\mathbf{e}_{\mu}</math> ) je definován vztahem

:<math>\langle \mathbf{a},\mathbf{b} \rangle \equiv a_\mu b^\mu = \eta_{\mu \nu} a^\mu b^\nu = -a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\,.</math>

:<math>||\mathbf{a}||^2 =\langle \mathbf{a},\mathbf{a} \rangle  =-a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2</math>

Vektor je nazýván jednotkovým, pokud platí <math>||\mathbf{a}||^2=\pm 1</math>.

Standardní bázi Minkowského prostoru tvoří 4 [[ortogonalita|ortogonální]] jednotkové vektory <math>\mathbf{e}_0,\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math>, pro které platí

:<math>-||\mathbf{e}_0||^2 = ||\mathbf{e}_1||^2 = ||\mathbf{e}_2||^2 = ||\mathbf{e}_3||^2 = 1\,.</math>

:<math>\langle \mathbf{e}_\mu, \mathbf{e}_\nu \rangle = \eta_{\mu\nu}\,,</math>

kde <math>\eta</math> je diagonální matice

:<math>\eta=\operatorname{diag}\left(-1,1,1,1\right)=\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\,.</math>