Mnohoúhelník

Z Multimediaexpo.cz

Nemáte oprávnění „upravit tuto stránku“. Důvod:

Můžete si prohlédnout a zkopírovat zdrojový kód této stránky:

'''Mnohoúhelník''' (též '''n-úhelník''') je část [[Rovina|roviny]] vymezená [[Úsečka|úsečkami]], které spojují určitý počet [[Bod|bodů]] (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné [[přímka|přímce]]. Přesnější [[Definice (matematika)|definice]] je tato: '''Mnohoúhelník''' je omezená část [[Rovina|roviny]] ohraničená uzavřenou [[Lomená čára|lomenou čárou]]. == Základní pojmy == Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají '''[[vrchol (geometrie)|vrcholy]]''' mnohoúhelníku. [[úsečka|Úsečky]], které spojují ''sousední'' vrcholy, se nazývají '''[[strana (geometrie)|strany]]''' mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují ''nesousední'' vrcholy, se nazývají '''[[úhlopříčka|úhlopříčky]]'''. [[Úhel|Úhly]], které svírají sousední strany, se nazývají '''[[vnitřní úhel|vnitřní úhly]]''' mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku ''stejný'' a tento počet určuje ''název'' mnohoúhelníku: [[trojúhelník]], [[čtyřúhelník]], [[pětiúhelník]], [[šestiúhelník]]… == Znázornění a zápis == Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, [[čtverec]], [[obdélník]], …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly. [[Soubor:Mnohouhelnik.jpg]] == Druhy mnohoúhelníků == Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy), se mnohoúhelníky dělí na: * '''pravidelné''' (všechny strany i vnitřní úhly jsou [[Shodnost|shodné]]) a ''nepravidelné'', * '''konvexní''' (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a '''nekonvexní''' (alespoň jeden vnitřní úhel je vetší než 180°), * '''pravoúhelníky''' (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 270°`) a ''nepravoúhelníky'' (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu). == Vlastnosti == * [[Obvod]] mnohoúhelníka <big>\(o\)</big> se vypočte jako [[součet]] všech jeho stran: :<big>\(o = a + b + c + ...\)</big>, kde <big>\(a, b, c, ...\)</big> jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka. * [[Obsah]] obecného mnohoúhelníka <big>\(S\)</big> se vypočte pomocí ''rozložení'' mnohoúhelníka na ''vhodné'' vzájemně se nepřekrývající [[trojúhelník]]y, [[obdélník]]y nebo [[čtverec|čtverce]], jejichž obsahy <big>\(S_1, S_2, ...\)</big> se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou: :<big>\(S = S_1 + S_2 + ...\)</big> * Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven :<big>\(\pi (n-2) \;\mathrm{rad}\)</big> * Počet úhlopříček obecného <big>\(n\)</big>-úhelníku určíme ze vztahu :<big>\(\frac{1}{2}n(n-3)\)</big> * Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak říkáme, že je mnohoúhelníku [[opsaná kružnice|opsaná]]. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá ''tětivový'' (jeho strany jsou [[tětiva (geometrie)|tětivami]] opsané kružnice). * Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na <big>\( n - 2 \)</big> trojúhelníků. === Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku === * Velikost vnitřního úhlu pravidelného <big>\(n\)</big>-úhelníku má hodnotu :<big>\(\alpha_n = \frac{n-2}{n}\pi\)</big> * Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna :<big>\(\alpha_n^\prime = \frac{2\pi}{n}\)</big> * Pravidelnému mnohoúhelníku lze [[kružnice opsaná|opsat]] i [[kružnice vepsaná|vepsat kružnici]]. Středy obou [[kružnice|kružnic]] leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku. * Označíme-li délku strany pravidelného <big>\(n\)</big>-úhelníku jako <big>\(a_n\)</big> a poloměr [[kružnice opsaná|kružnice opsané]] jako <big>\(r_n\)</big>, pak [[poloměr]] <big>\(\rho_n\)</big> [[kružnice vepsaná|kružnice vepsané]] lze určit ze vztahu :<big>\(\rho_n = \frac{1}{2}\sqrt{4r_n^2 - a_n^2}\)</big> * Obsah pravidelného <big>\(n\)</big>-úhelníku lze určit jako :<big>\(S_n = \frac{n a_n \rho_n}{2} = n \rho_n^2 \operatorname{tg}\frac{\pi}{n} = \frac{n\cdot a_n^2}{4\cdot \operatorname{tg}\frac{\pi}{n}} = n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{\pi}{n} \operatorname{cos}\frac{\pi}{n} = \frac{1}{2}\ n r_n^2 \operatorname{sin}\frac{2\pi}{n}\)</big> == Související články == * [[Geometrický útvar]] * [[Planimetrie]] * [[Mnohostěn]] {{commonscat|Polygons}}{{Článek z Wikipedie}} [[Kategorie:Rovinné geometrické útvary]]

Návrat na stránku „Mnohoúhelník“.