Moment setrvačnosti

Z Multimediaexpo.cz

Moment setrvačnosti je fyzikální veličina, která vyjadřuje míru setrvačnosti tělesa při otáčivém pohybu. Její velikost závisí na rozložení hmoty v tělese vzhledem k ose otáčení. Body (části) tělesa s větší hmotností a umístěné dál od osy mají větší moment setrvačnosti.

Obsah

Značení

  • Symbol veličiny: J , někdy také I
  • Základní jednotka SI: kilogram krát metr na druhou, značka jednotky: kg . m2

Výpočet

Diskrétní rozložení hmoty

Při otáčivém pohybu soustavy hmotných bodů kolem nehybné osy opisují jednotlivé hmotné body kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Úhlová rychlost <math>\omega</math> všech bodů je stejná.

Celkovou kinetickou energii určíme jako součet kinetických energií všech <math>n</math> hmotných bodů soustavy, tzn.

<math>E_k = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} m_iv_i^2 = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}m_i r_i^2 \omega^2</math>,

kde <math>m_i</math> je hmotnost <math>i</math>-tého hmotného bodu, <math>v_i</math> je velikost jeho rychlosti, <math>r_i</math> je jeho (kolmá) vzdálenost od osy otáčení a bylo využito toho, že rychlost bodu při kruhovém pohybu je přímo úměrná vzdálenosti bodu od osy otáčení, tzn. <math>v = \omega r</math>. Předchozí vztah lze upravit na tvar

<math>E_k = \frac{1}{2}\omega^2 \sum_{i=1}^n m_i r_i^2 = \frac{1}{2}J \omega^2</math>,

kde veličina <math>J</math> představuje moment setrvačnosti tělesa k ose otáčení. Moment setrvačnosti soustavy hmotných bodů je tak definován vztahem

<math>J = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 + \cdots + m_n r_n^2 = \sum_{i=1}^n m_i r_i^2</math>

Spojité rozložení hmoty

V mechanice kontinua (tedy v případě spojitě rozložené hmoty) lze k určení momentu setrvačnosti použít vztah

<math>J = \int_M r^2 \mathrm{d}m</math>,

kde integrace se provádí přes celé těleso o celkové hmotnosti <math>M</math>.


Je-li <math>\rho</math> hustota tělesa, pak <math>\mathrm{d}m=\rho\mathrm{d}V</math>, kde <math>V</math> je objem tělesa a moment setrvačnosti lze vyjádřit ve tvaru

<math>J = \int_V r^2\rho\mathrm{d}V</math>

Integruje se přes objem celého tělesa <math>V</math>.

V případě, že je těleso homogenní, tzn. <math>\rho = \mbox{konst.}</math>, je možné předchozí vztah zjednodušit

<math>J = \rho \int_V r^2\mathrm{d}V</math>

Poloměr setrvačnosti

Moment setrvačnosti je také možné zapsat jako součin celkové hmotnosti tělesa <math>M</math> a čtverce jisté střední vzdálenosti <math>R</math>, ve které by musela být soustředěna veškerá hmotnost tělesa, aby moment setrvačnosti byl roven momentu celého tělesa.

<math>J = MR^2</math>

Vzdálenost <math>R = \sqrt{\frac{J}{M}}</math> se nazývá poloměr setrvačnosti nebo gyrační poloměr.

Momenty setrvačnosti některých těles

Pro praktické použití je vhodná znalost některých často používaných momentů setrvačnosti.

  • Moment setrvačnosti tyče délky <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem tyče kolmo k její délce
<math>J = \frac{1}{12}m l^2</math>
  • Moment setrvačnosti tyče délky <math>l</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející koncem tyče kolmo k její délce
<math>J = \frac{1}{3}m l^2</math>
  • Moment setrvačnosti koule o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose procházející středem koule.
<math>J = \frac{2}{5}mr^2</math>
  • Moment setrvačnosti plného válce o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
<math>J = \frac{1}{2}mr^2</math>
  • Moment setrvačnosti tlustostěnného pláště válce o vnitřním poloměru <math>r_1</math> a vnějším poloměru <math>r_2</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose souměrnosti.
<math>J = \frac{1}{2}m\left(r_2^2+r_1^2\right)</math>
  • Moment setrvačnosti tenké obruče o poloměru <math>r</math> a hmotnosti <math>m</math> vzhledem k ose otáčení.
<math>J = mr^2</math>

Steinerova věta

Moment setrvačnosti vzhledem k ose procházející mimo těžiště tělesa lze určit podle Steinerovy věty jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm a součinu hmotnost a čtverce vzdálenosti od těžiště, tzn.

<math>J = J_0 + m r_T^2</math>,

kde <math>J_0</math> je moment setrvačnosti vzhledem k rovnoběžné ose jdoucí těžištěm tělesa, <math>m</math> je hmotnost tělesa a <math>r_T</math> je kolmá vzdálenost těžiště od osy otáčení.

Tenzor setrvačnosti

Otáčí-li se soustava hmotných bodů kolem libovolné osy <math>S</math> úhlovou rychlostí <math>\mathbf{\omega}</math>, má kinetická energie tohoto rotačního pohybu hodnotu

<math>E_k = \frac{1}{2}J_S \omega^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_iv_i^2 = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n m_i {|\mathbf{\omega}\times\mathbf{r}_i|}^2</math>,

kde <math>J_S</math> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose <math>S</math>, <math>v_i</math> je rychlost <math>i</math>-tého hmotného bodu soustavy, a <math>\mathbf{r}_i</math> je polohový vektor <math>i</math>-tého hmotného bodu vzhledem k počátku zvolené soustavy souřadnic, kterým prochází osa <math>S</math>.

Vektor <math>\mathbf{\omega}</math>, který směřuje podél osy <math>S</math> lze vyjádřit prostřednictvím jeho složek <math>\omega_x, \omega_y, \omega_z</math> vzhledem k souřadnicovým osám <math>x, y, z</math>. Předchozí vztah je pak možno rozepsat do tvaru

<math>E_k = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n m_i\left[{\left(\omega_yz_i-\omega_zy_i\right)}^2 + {\left(\omega_zx_i-\omega_xz_i\right)}^2 + {\left(\omega_xy_i-\omega_yx_i\right)}^2\right]</math>

a rozepíšeme-li v tomto výrazu jednotlivé mocniny, dostaneme po úpravě

<math>2E_k = \omega_x^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(y_i^2+z_i^2\right) + \omega_y^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(z_i^2+x_i^2\right) + \omega_z^2 \sum_{i=1}^n m_i\left(x_i^2+y_i^2\right) - 2\omega_x\omega_y \sum_{i=1}^n m_ix_iy_i - 2\omega_y\omega_z \sum_{i=1}^n m_iy_iz_i - 2\omega_z\omega_x \sum_{i=1}^n m_iz_ix_i</math>

Pro kinetickou energii pak dostáváme výraz

<math>E_k = \frac{1}{2}\omega_x^2J_x + \frac{1}{2}\omega_y^2J_y + \frac{1}{2}\omega_z^2J_z - \omega_x\omega_yD_{xy} - \omega_y\omega_zD_{yz} - \omega_z\omega_xD_{zx}</math>,

kde

<math>J_x = \sum_{i=1}^n\left(y_i^2+z_i^2\right)m_i</math>
<math>J_y = \sum_{i=1}^n\left(z_i^2+x_i^2\right)m_i</math>
<math>J_z = \sum_{i=1}^n\left(x_i^2+y_i^2\right)m_i</math>

jsou momenty setrvačnosti vzhledem k souřadnicovým osám <math>x, y, z</math> a

<math>D_{xy} = \sum_{i=1}^n x_iy_im_i</math>
<math>D_{yz} = \sum_{i=1}^n y_iz_im_i</math>
<math>D_{zx} = \sum_{i=1}^n z_ix_im_i</math>

jsou deviační momenty.


Předchozí vztahy platí pro těleso popsané soustavou hmotných bodů. Považujeme-li hmotu v tělese za spojitě rozloženou, přejdeme od sumace k integraci a pro momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám dostaneme

<math>J_x = \int_M (y^2+z^2)\mathrm{d}m</math>
<math>J_y = \int_M (z^2+x^2)\mathrm{d}m</math>
<math>J_z = \int_M (x^2+y^2)\mathrm{d}m</math>

Pro deviační momenty získáme podobně vztahy

<math>D_{xy} = \int_M xy\mathrm{d}m</math>
<math>D_{yz} = \int_M yz\mathrm{d}m</math>
<math>D_{zx} = \int_M zx\mathrm{d}m</math>


Vektor <math>\mathbf{\omega}</math>, který leží v ose <math>S</math> je možné využít k získání směrových kosinů rotační osy, tzn. <math>\cos\alpha = \frac{\omega_x}{\omega}, \cos\beta=\frac{\omega_y}{\omega}, \cos\gamma=\frac{\omega_z}{\omega}</math>, kde <math>\omega</math> je velikost vektoru <math>\mathbf{\omega}</math>. Po dosazení do výrazů pro kinetickou energii a po úpravě dostaneme výraz pro výpočet momentu setrvačnosti <math>J_S</math> vzhledem k ose, která svírá se souřadnicovými osami <math>x, y, z</math> úhly <math>\alpha, \beta, \gamma</math>

<math>J_S = J_x\cos^2\alpha + J_y\cos^2\beta + J_z\cos^2\gamma - 2D_{yz}\cos\beta\cos\gamma - 2D_{zx}\cos\gamma\cos\alpha - 2D_{xy}\cos\alpha\cos\beta</math>

Změní-li se směr osy <math>S</math> vzhledem k tělesu, změní se také velikost momentu setrvačnosti <math>J_S</math>. Toto rozložení charakterizuje elipsoid setrvačnosti.


Momenty setrvačnosti k souřadnicovým osám a deviační momenty lze uspořádat do tzv. tenzoru setrvačnosti:

<math>\bold{J} = \int{ \left( \bold{E} r^2 - r \otimes r \right) \, dm} = \int{ \left[ \begin{matrix} y^2+z^2 & -xy & -xz \\ -xy & x^2+z^2 & -yz \\ -xz & -yz & x^2+y^2 \end{matrix} \right] dm}</math>,

kde symbol <math>\otimes</math> představuje tenzorový součin, jehož výsledkem je symetrická čtvercová matice.

Plošný moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k rovině, kdy mluvíme o plošném momentu setrvačnosti.

U plošného momentu setrvačnosti se obvykle jedná o moment rovinné plochy. Pro výpočet můžeme použít vztahy vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti k ose, přičemž položíme <math>z=0</math>. Hmotnostní element <math>\mathrm{d}m</math> je pak nahrazován plošným elementem <math>\mathrm{d}S</math>.


Plošné momenty setrvačnosti k osám <math>x, y</math> jsou tedy

<math>J_x = \int_S y^2\mathrm{d}S</math>
<math>J_y = \int_S x^2\mathrm{d}S</math>

Z deviačních momentů je nenulový pouze

<math>D_{xy} = \int_S xy\mathrm{d}S</math>

Namísto elipsoidu setrvačnosti dostáváme elipsu setrvačnosti.


Položíme-li do těžiště tělesa počátek pravoúhlé soustavy souřadnic, potom momenty setrvačnosti ke třem vzájemně kolmým rovinám, proloženým souřadnicovými osami, jsou

<math>J_{xy} = \int_M z^2\mathrm{d}m</math>
<math>J_{yz} = \int_M x^2\mathrm{d}m</math>
<math>J_{zx} = \int_M y^2\mathrm{d}m</math>

Srovnáním s momenty setrvačnosti k osám <math>x, y, z</math> pak platí

<math>J_x = J_{xy} + J_{zx}</math>
<math>J_y = J_{xy} + J_{yz}</math>
<math>J_z = J_{yz} + J_{zx}</math>

Polární moment setrvačnosti

Moment setrvačnosti můžeme určovat nejenom k ose, ale také k bodu, kdy se jedná o tzv. polární moment setrvačnosti.

Polární moment setrvačnosti části rovinné plochy (vzhledem k ose totožné se souřadnicovou osou <math>z</math>) je

<math>J_p = J_x+J_y = \int_S(x^2+y^2)\mathrm{d}S = \int_S r^2\mathrm{d}S</math>

Související články

Literatura

  • Jozef Kvasnica, Antonín Havránek, Pavel Lukáč, Boris Sprušil Mechanika, Nakladatel: Academia, ISBN 80-200-1268-0, EAN 9788020012685, Rok vydání: 2004 (2. vydání)
  • Landau LD and Lifshitz EM (1976) Mechanics, 3rd. ed., Pergamon Press. ISBN 0-08-021022-8 (hardcover) and ISBN 0-08-029141-4 (softcover).
  • Goldstein H. (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9
  • Symon KR. (1971) Mechanics, 3rd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7

Externí odkazy

Citováno z „http://www.multimediaexpo.cz/mmecz/index.php/Moment_setrva%C4%8Dnosti“